Universidade Federal do Pará Instituto de Ciências Exatas e

Universidade Federal do Pará
Instituto de Ciências Exatas e Naturais
Programa de Pos-graduação em Matemática e Estatı́stica - PPGME
Curso de Análise Funcional
Lista de Exercı́cios 7
Professor: Giovany M. Figueiredo
Data: 19/10/2010
1. Sejam E um espaço de Banach e k.k1 e k.k2 duas normas fixadas em E. Se existir
C > 0 tal que
kxk2 ≤ Ckxk1 , ∀x ∈ E,
mostre que k.k1 e k.k2 são normas equivalentes.
2. Seja T : IR2 → IR definida por T (x, y) = x. Mostre que T é uma aplicação aberta.
A aplicação T : IR2 → IR2 definida por T (x, y) = (x, 0) é uma aplicação aberta ?
Justifique sua resposta.
3. Seja E um espaço normado cujos elementos são sequências de números reais x = (ξj )
com um número finito de termos não nulos, com norma definida por kxk = sup |ξj |.
j∈IN
Seja T : E → E definida por y = T x =
(ξ1 , ξ22 , ξ33 , ...).
Mostre que:
a) T é linear, continua e bijetiva, mas T −1 : E → E não é contı́nua. Justifique
porque este caso não contradiz o Teorema de aplicação aberta.
4. Sejam X, Y espações de Banach e T : X → Y um operador linear, contı́nuo e injetivo.
Mostre que T −1 : T (X) → X é um operador linear contı́nuo se, e somente se T (X)
for fechado.
5. Sejam E um espaço de Banach e M , N subespaços fechados de E. Mostre que a
aplicação T : ExE → E definida por T (x, y) = x + y é contı́nua e tem inversa
T −1 : E → ExE contı́nua quando E = M ⊕ N .
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6. Seja T : X → Y um operador linear limitado, onde X e Y são espaços de Banach. Se
T é bijetiva, mostre que existem constantes a, b tais que
akxk ≤ kT xk ≤ bkxk, ∀x ∈ X
7. Se o inverso T −1 de um operador linear fechado existe, mostre que T −1 é um operador
linear fechado.
8. Sejam X e Y espaços normados e T : X → Y um operador linear fechado.
a) Mostre que a imagem A de subconjunto compacto C ⊂ X é fechado em Y .
b) Mostre que a imagem inversa B de um subconjunto K ⊂ Y é fechado em
X.
9. Se T : X → Y é um operador linear fechado, onde X, Y são espaços normados com
Y compacto, mostre que T é limitado.
10. Sejam X e Y espaços normados e X compacto. Se T : X → Y é um operador linear
fechado e bijetivo, mostre que o T −1 é limitado.
11. Mostre que o núcleo de um operador T : X → Y linear e fechado é um subespaço
fechado de X.
12. Sejam E e F espaços de Banach e T : E → F um operador fechado. Se T é bijetivo,
mostre que T −1 é fechado.
13. Sejam E e F espaços de Banach e T : E → F um operador fechado bijetivo. Mostre
usando o Teorema do gráfico fechado que T −1 é contı́nuo.
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