X - IME

Introdução ao Estudo dos Grupos de
Homologia Singular de um
Espaço Topológico X
Andresa Baldam Marchioli ([email protected])
III Bienal da SBM - IME/UFG - 2006
Campus de São José do Rio Preto
Orientadora: Maria Gorete Carreira Andrade ([email protected])
Resumo
A sequência
Dado um espaço topológico X e k um número inteiro não negativo,
podemos associar a X um objeto algébrico Hk (X) denominado grupo de
homologia singular de X. Intuitivamente, este grupo mede o número de
“buracos”k-dimensionais de X. Neste trabalho fazemos uma introdução
ao estudo desses grupos e apresentamos alguns exemplos do ponto de vista
geométrico.
Objetivo
O principal objetivo deste trabalho é, com o estudo dos grupos de homologia singular de um espaço topológico X, apresentar esses grupos para certos
espaços, usando apenas a geometria do espaço, ou seja a conexidade e o
número de “buracos k-dimensionais”do mesmo.
Homologia Singular
Definição 1. Um subconjunto C ⊆ IRn é convexo se, dados x e y em
C, o segmento que vai de x a y está inteiramente contido em C.
Note que uma interseção arbitrária de conjuntos convexos é convexa.
Definição 2. Se A ⊆ IRn, a envoltória convexa (ou fecho convexo)
de A é a interseção de todos os conjuntos convexos do IRn que contêm
A.
Definição 3. Um p-simplexo s em IRn é a envoltória convexa de uma
coleção de (p + 1) pontos {x0, ..., xp} em IRn no qual x1 − x0, ..., xp − x0
formam um conjunto linearmente independentes. Note que isto é independente da escolha do ponto x0. Os elementos x0, ..., xp são chamados
vértices de s.
Observação 1. Observe que um 1-simplexo é um segmento de reta, um
2-simplexo é um triângulo cheio (fronteira + interior), um 3-simplexo
é um tetraedro cheio (faces + interior), e assim por diante.
∂
∂
∂
· · · −→ Sn(X) −→ Sn−1(X) −→ Sn−2(X) −→ · · · −→ S0(X) −→ 0
é chamada de complexo de cadeias singulares associado ao espaço
topológico X.
Definição 8. Um elemento c ∈ Sn(X) é um n-ciclo se ∂(c) = 0
(ou ∂ n(c) = 0).Um elemento d ∈ Sn(X) é um n-bordo se existe
e ∈ Sn+1(X) tal que d = ∂(e) (ou d = ∂ n+1(e)). Visto que ∂ é um
homomorfismo, definimos
Observação 2. Note que a Proposição anterior implica que Bn(X) ⊆
Zn(X) como subgrupo.
Definição 9. Seja X um espaço topológico. Para cada n ∈ N o grupo
quociente
Zn(X)
Hn(X) :=
Bn(X)
é chamado de n-ésimo grupo de homologia singular de X.
Observação 3. O n-ésimo grupo de homologia singular de X mede
o número de n-ciclos que não são n+1-bordos. Geometricamente,
ciclos são objetos (combinações lineares de n-implexos) que
“começam”e “terminam”no mesmo lugar e dizer que não são bordos (fronteira) é o mesmo que dizer que existem “buracos”no espaço.
O número de gerador de Hn(X) fornece o número de buracos ndimensionais de X.
Teorema 1. Se X é conexo por caminhos então H0(X) ' Z.
Exemplos
∂i(φ)(t0, ..., tp−1) = φ(t0, t1, ..., ti−1, 0, ti, ..., tp−1).
Temos que ∂i(φ) é a i-ésima face de φ.
Definição 6. Se X é um espaço topológico, definimos Sn(X) o grupo
abeliano livre cuja base é o conjunto de todos n-simplexos singulares
de X. Um elemento de Sn(X) é chamado uma n-cadeia singular de
X e tem a forma
X
nφ.φ,
φ
onde nφ é um inteiro, igual a zero para todo, exceto para um número
finito de φ0s.
Veremos agora, sob o ponto de vista geométrico, exemplos de cálculo dos
grupos de homologia singular de alguns espaços. É claro que o calculo
rigoroso desses grupos requer o uso de ferramentas poderosas, como o Teorema de Mayer-Vietoris, que não apresentaremos aqui, tendo em vista que
o objetivo deste trabalho é apenas fornecer uma idéia da geometria que os
grupos de homologia podem medir.
Exemplo 1. Seja X = {x0} o espaço com um único ponto. É claro que
X é conexo por caminhos e não tem nenhum buraco. Assim podemos
mostrar que a homologia singular de X é dada por:
½
ZZ, se k = 0,
Hk ({x0}) =
0, se k 6= 0.
Exemplo 2. Seja X = Rn. Como Rn tem o mesmo tipo de homotopia
do ponto, pelo Teorema 2, temos
½
ZZ, se k = 0,
n
Hk (IR ) =
0, se k 6= 0.
∂i : Sn(X) → Sn−1(X)
X
X
∂i (
nφ.φ) =
nφ∂iφ.
Definição 7. O operador bordo, denotado ∂, é dado pelo homomorfismo
∂ : Sn(X) → Sn−1(X)
onde
∂ = ∂0 − ∂1 + ∂2 + ... + (−1)n∂n =
n
X
(−1)i∂i
i=0
0
0
∂
00
Sn(X) −→ Sn−1(X) −→ Sn−2(X)
é a aplicação nula.
Exemplo 6. Consideremos agora a esfera X = S 2.
Como S 2 é conexo por caminhos, temos H0(S 2) = Z e, além disso,
como não possui buracos de dimensão 1 e possui apenas um buraco
de dimensão 2, temos que H1(S 2) = 0 e H2(S 2) = Z.
Logo,
½
ZZ, se k = 0, 2;
Hk (S 2) =
0, se k 6= 0, 2.
Exemplo 7. Seja X = T 2 o toro 2-dimensional.
Temos que o Toro é conexo por caminhos, possui dois buracos
dimensão um e um ”buraco” de dimensão 2. Então,

se k = 0, 2;
 ZZ,
Hk (T 2) = ZZ ⊕ ZZ, se k = 1;

0,
se k > 2.
de
Exemplo 8. Consideremos agora Y = T 2 − D, onde D é um disco
aberto.
Como S 1 é conexo por caminhos, pelo Teorema 1, H0(S 1) = Z. Além
disso como S 1 tem um único buraco, que é de dimensão um, pode-se
mostrar que que H1(S 1) = Z.
Portanto,
½
ZZ, se k = 0, 1;
Hk (S 1) =
0, se k 6= 0, 1.
Exemplo 4. Seja X o espaço formado pela união de dois circulos tangentes (figura 8).
Pode ser mostrado que X possui o mesmo tipo de homotopia da figura
8. Assim

se k = 0;
 ZZ,
Hk (T 2 − {pt}) = ZZ ⊕ ZZ, se k = 1;

0,
se k > 1.
Referências
[1] Hu, Sze - Tsen, Introduction to Homological Algebra., Holden - Day,
San Francisco,(1968).
[2] Vick, J.W,Homology Theory.,Academic Press,(1973).
00
Proposição 1. A composição ∂ ◦ ∂ em
∂

se k = 0,
 ZZ,
Hk (X) = ZZ ⊕ ZZ ⊕ ... ⊕ ZZ(n vezes), se k = 1,

0,
se k > 1.
Exemplo 3. Considere a circunferência X = S 1.
Como o i-ésimo operador ∂i é uma função do conjunto de n-simplexos
singulares no conjunto de (n − 1)-simplexos singulares, existe uma única
extensão a um homomorfismo
dado por
então,
Para apresentarmos alguns exemplos de determinação dos grupos de
homologia singular de certos espaços topológicos, vamos necessitar dos
seguintes resultados:
x0 = (1, 0, ..., 0), x1 = (0, 1, 0, ..., 0), ..., xp = (0, ..., 0, 1).
Definição 5. Se φ é um p-simplexo singular e i é um inteiro com
0 ≤ i ≤ p, definimos ∂i(φ), um (p − 1)−simplexo singular em X, por
i=1
Bn(X) := Im∂ = Im∂ n+1 = {d ∈ Sn(X) | d é um n-bordo}.
Teorema 2. Se X tem o mesmo tipo de homotopia de Y então
Hk (X) ' Hk (Y ), para todo k ≥ 0. Em particular Se X é homeomorfo a Y então Hk (X) ' Hk (Y ), para todo k ≥ 0.
Definição 4. Seja X um espaço topológico. Um p-simplexo singular em X é uma função contı́nua φ : σp → X sendo
σp o p-simplexo padrão.
Exemplo 5. Analogamente ao exemplo anterior, se
n
_
X=
S 1i é o bouquet de n - cı́rculos,
Zn(X) := Ker∂ = Ker∂ n = {c ∈ Sn(X) | c é um n-ciclo} e
Se aos vértices de s for dada uma ordenação especı́fica, então s é um
simplexo ordenado. Assim, s é um simplexo ordenado com vértices
x0, x1, ..., xp.
Vamos denotar por σp o p-simplexo do Rp+1 com vértices
σp é chamando p-simplexo padrão com ordem natural.
Os pontos x0 = (1, 0, ..., 0), x1 = (0, 1, 0, ..., 0), ..., xp = (0, ..., 0, 1) são
chamados vértices de σp.
Sendo X conexo por caminhos, temos que H0(X) = Z. Além disso, X
tem dois ”buracos” de dimensão um e assim H1(S 1) = Z ⊕ Z.
Portanto,

se k = 0
 ZZ,
Hk (X) = ZZ ⊕ ZZ, se k = 1

0,
se k > 1.
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