(1) Uma matriz quadrada a = [a ij] chama

EXERCÍCIOS DE SMA-123 COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR - REVISÃO
PROFESSORA: SUELI M. TANAKA AKI - 2017
(1) Uma matriz quadrada a = [aij ] chama-se simétrica (resp. anti-simétrica) quando aij = aji
(resp. aij = −aji ) para todo i e todo j. Prove que o conjunto S das matrizes simétricas e
o conjunto A das matrizes anti-simétricas n × n são subespaços vetoriais de Mn×n e que se
tem Mn×n = S ⊕ A
(2) Seja S o conjunto das matrizes simétricas n × n. Para cada par (i, j) de números naturais
de 1 até n, com i ≤ j, seja sij a matriz n × n cujos elementos nas posições ij e ji são iguais
a 1 e as demais são zero. Prove que estas matrizes constituem uma base para o subespaço
vetorial S. De modo análogo, obtenha uma base do espaço A das matrizes anti-simétricas
n × n. Conclua que dim(S) = n(n+1)
e dim(A) = n(n−1)
.
2
2
(3) Seja V = W1 ⊕ · · · ⊕ Wt e sejam Bi ⊂ Wi , i = 1, · · · , t . Considere B = B1 ∪ · · · ∪ Bt .
a) Mostre que se Bi for l.i., para cada i = 1, · · · , t, então B é l.i.
b) Mostre que se Bi for uma base de Wi , para cada i = 1, · · · , t, então B é uma base de V .
(4) Determine a transformação linear T : R2 → R2 , sabendo que, para todo u = (x, y), o segmento
de reta que liga u a T u = (x0 , y 0 ) é horizontal e tem seu ponto médio sobre a reta x = y. Qual
é a imagem do eixo vertical pelo operador T ?
(5) Prove que os operadores linerares E11 , E12 , E21 , E22 : R2 → R2 definidos por E11 (x, y) = (x, 0),
E12 (x, y) = (0, x), E21 (x, y) = (y, 0) e E22 (x, y) = (0, y), contituem uma base do espaço
vetorial L(R2 ).
(6) Seja X ∈ L(V, W ) sobrejetiva. Suponha que S, T ∈ L(W, Z) cumprem a igualdade SX = T X.
Prove que T = S.
(7) Encontre uma expressão de T ∈ L(R2 ) cujo núcleo seja a reta x = y e cuja imagem seja a
reta y = 2x.
R1
(8) Seja T : P2 (R) → R transformação linear definida por T (p) = −1 p(t) dt,
p ∈ P2 (R).
Determine a matriz de T em relação as seguintes bases.
a) B = 1, t, t2 , C = {1} .
b) B = 1, 1 + t, 1 + t + t2 , C = {−2} .
(9) Mostre que se p = p(t) é um polinômio e λ é autovalor de T ∈ L(V ) então p(λ) é autovalor
de p(T ), onde p(T ) = ao I + a1 T + · · · + an T n , com p(t) = a0 + a1 t + · · · + an tn .
(10) Verificar em cada um dos itens abaixo se o operador T ∈ L(R4 ) dado pela sua matriz com
relação à base canônica é diagonalizável.




1 1
1
1
−1 −4 −2 −2
 1 1 −1 −1 
 −4 −1 −2 −2 



a) [T ]C = 
b)
[T
]
=
C
 2
 1 −1 1 −1 
2
1
4 
1 −1 −1 1
2
2
4
1
(11) Mostre que o conjunto infinito
{1, cos x, cos 2x, cos 3x, . . . , sen x, sen 2x, sen 3x, . . . }
é um conjunto ortogonal
R 2πno espaço das funções contı́nuas C([0, 2π], R) com relação ao produto interno hf, gi = 0 f (x)g(x)dx. A partir do conjunto acima, encontre um conjunto
ortonormal deste espaço. Conclua daı́ que C([0, 2π], R) tem dimensão infinita.
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