Variáveis Aleatórias e Principais Modelos Discretos

AULA 6-8:
Variáveis Aleatórias e Principais
Modelos Discretos
VICTOR HUGO LACHOS DAVILA
VARIÁVEL ALEATÓRIA
Vamos incorporar o conceito de probabilidade
ao estudo de variáveis associadas a
características em uma população.
2
Variável Aleatória (v.a.): Uma função X que associa
a cada elemento do espaço amostral um valor num
conjunto enumerável de pontos da reta é
denominada variável aleatória discreta.
Se o conjunto de valores é qualquer intervalo de
números reais, X é denominada variável aleatória
contínua.
3
Exemplos:
1) Observar o sexo das crianças em famílias com três
filhos.
Ω={(MMM), (MMF), (MFM), (FMM), (MFF), (FMF), (FFM),(FFF)}
Defina X: nº. de crianças do sexo masculino (M).
Então X é uma v.a. discreta que assume valores no
conjunto {0, 1, 2, 3}.
2) Observar o tempo de reação a um certo
medicamento.
Defina X: tempo de reação ao medicamento.
X é uma v.a. contínua que assume qualquer valor real
positivo.
4
VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA
O termo aleatório indica que a cada possível valor da
v.a. atribuímos uma probabilidade de ocorrência.
Função de probabilidade( f.p.): É a função que
atribui a cada valor xi da v. a. discreta X sua
probabilidade de ocorrência e pode ser apresentada
pela tabela:
Uma função de probabilidade deve satisfazer:
0 ≤ P(X = xi ) ≤ 1
e
n
∑ P(X = xi ) = 1
i=1
5
Exemplo 1:
O Departamento de Estatística é formado por 35
professores, sendo 21 homens e 14 mulheres.
Uma comissão de 3 professores será constituída
sorteando, ao acaso, três membros do
departamento. Qual é a probabilidade da
comissão ser formada por pelo menos duas
mulheres?
Vamos definir a v.a.
X: nº de mulheres na comissão.
6
7
Exemplo 2: Um dado é lançado duas vezes de forma
independente. Qual é a probabilidade da soma dos
pontos ser menor do que 6?
Ω = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6),
(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6),
(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6),
(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6),
(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6),
(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}.
Qual é a probabilidade de cada ponto wi de Ω ?
Admitindo que o dado é perfeitamente homogêneo
e sendo os lançamentos independentes, então
P(wi) = 1/36 , ∀ wi ∈ Ω.
8
Defina X: soma dos pontos.
Função de probabilidade de X:
Então,
P (X < 6) = P(X=5) + P(X=4) + P(X=3) + P(X=2)
= 4/36 + 3/36 + 2/36 + 1/36
= 10/36 = 0,278
9
Podemos estar interessados em outras v.a.’s.
Y: valor máximo obtido dentre os dois lançamentos
Z: diferença entre os pontos do 2º e do 1º lançamento
U: pontos do 2º lançamento
10
MÉDIA E VARIÂNCIA (v.a. discretas)
Qual é o valor médio da soma dos pontos no
lançamento de dois dados?
Valor Esperado (média): Dada a v. a. X, assumindo os
valores x1, x2, ..., xn, chamamos de valor médio ou
valor esperado ou esperança matemática de X o valor
n
E(X) = x1.P(X= x1) + ... + xn.P(X= xn ) = ∑xi .P(X= xi )
i=1
Notação: μ = E(X)
No exemplo,
E(X) = 2.(1/36) + 3. (2/36) + ... + 11. (2/36) + 12. (1/36)
= 252/36 = 7
ou seja, em média, a soma dos pontos no lançamento
dos dois dados é 7.
11
Variância: É o valor esperado da v.a. (X – E(X))2, ou
seja, se X assume os valores x1, x2, ..., xn,
n
Var(X) = ∑ [x i - E(X)] . P(X = x i )
2
i =1
Notação: σ2 = Var(X).
Da relação acima, segue que
2
2
Var(X) = E(X ) – [E(X)] .
Desvio Padrão: É definido como a raiz quadrada
positiva da variância, isto é,
DP(X) =
Var(X) .
Notação: σ = DP(X).
12
No exemplo,
Var(X)= (2 - 7) .
2
=
1
2
1
2
2 2
2
+ (3 - 7) .
+ ... + (11- 7) .
+ (12- 7) .
36
36
36
36
210
= 5,83.
36
Alternativamente, poderíamos calcular
1
1
2
2
2
2
2
+ 3 .
+ ... + 11 .
+ 12 .
E(X ) = 2 .
36
36
36
36
1974
=
= 54 ,83
36
2
2
2
e, portanto, Var(X) = 54,83 – 7 = 5,83.
13
Propriedades:
1) Se Y = aX + b, onde a e b são constantes, então
E(Y) = E(aX + b) = aE(X) + b
e
Var(Y) = Var(aX + b) = a2 Var(X).
2) Se X1, X2, ..., Xn são n variáveis aleatórias, então
E(X1 + ... + Xn) = E(X1) + E(X2) + ... + E(Xn).
Se X1, X2, ..., Xn são independentes, então
Var(X1 + ... + Xn) = Var(X1) + Var(X2) + ... + Var(Xn).
14
Função de Distribuição Acumulada (f.d.a.)
A função de distribuição ou função de distribuição
acumulada de uma variável aleatória discreta (ou
continua) X é definida, para qualquer valor real x, pela
seguinte expressão:
F ( x) = P ( X ≤ x), x ∈ R.
Observe que o domínio de F é todo o conjunto dos
números reais, ao passo que o contradomínio é o
intervalo [0,1]
15
Exemplo 3
Considere o experimento que consiste no
lançamento independente de uma moeda duas vezes.
Seja a v.a. X: nº de caras obtidas. Encontre a f.d.a. da
v.a. X.
0, se x < 0
F ( x) = P( X ≤ x) =
0,25, se 0 ≤ x < 1
0,75, se 1 ≤ x < 2
1, se x ≥ 2
Gráficar !
16
Exemplo 4
No exemplo 1 usando a tabela da f.p. de X: nº de
mulheres na comissão.
a f.d.a. de X será dada por
0,
0,203,
F ( x ) = 0,684,
0,975,
1,
se x < 0
se 0 ≤ x < 1
se 1 ≤ x < 2
se 2 ≤ x < 3
se x ≥ 3
Gráficar !
17
Da relação anterior se estamos interessados na
probabilidade de se ter até duas mulheres na
comissão a resposta é imediata:
F ( 2 ) = P ( X ≤ 2 ) = 0,975
F(x)
1
0.975
0.684
0.203
0
1
2
3
x
18
Exemplo 5
Uma variável aleatória X tem a seguinte função de distribuição:
⎧0
⎪0,2
⎪
⎪⎪ 0,5
F ( x) = ⎨
⎪ 0,7
⎪0,9
⎪
⎪⎩ 1
se x < -1; ⎫
se - 1 ≤ x < 2;⎪⎪
se 2 ≤ x < 5; ⎪⎪
⎬
se 5 ≤ x < 6; ⎪
se 6 ≤ x < 15;⎪
⎪
se x ≥ 15 ⎪⎭
Determine:
a) A função de probabilidade de X
b) Calcule o valor esperado e a variância de X.
c) P(X<=2)
d) P(3<=X<=12)
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Principais modelos probabilísticos discretos
1. Modelo Uniforme Discreto
Exemplo 5: Considere o experimento que consiste no lançamento de um
dado, e estamos interessados na v.a. X: No da face obtida. Neste caso
todos os possíveis resultados ocorrem com a mesma probabilidade e,
assim, podemos dizer que a probabilidade se distribui uniformemente
entre os diversos resultados, ou seja, podemos escrever a seguinte f.p. :
X
1
2
3
4
5
6
P(X=xi)
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
Distribuição de uma v.a. Uniforme Discreta
Seja X uma variável aleatória cujos possíveis valores são representados por
x1, x2...,xk. Dizemos que X segue o modelo Uniforme discreto se atribui a mesma
probabilidade( 1/k) a cada um desses k valores, isto é sua f.p. é dada por
1/k,
P(X = x i ) =
0,
∀i = 1,2,..., k.
caso contrario
20
Notação: X~Ud(x1,..,xk)
Se X~Ud(x1,..,xk), pode-se mostrar que:
1 k
E ( X ) = ∑ xi
k i =1
1 k 2
Var ( X ) = {∑ x i −
k i =1
Obter a f.d.a. !
n
(∑ xi ) 2
i =1
k
}
No exemplo 5, temos que:
1
E ( X ) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 3,5
6
1
2
Var ( X ) = {(1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36) − 21 / 6} = 2,9
6
21
2. Modelo Bernoulli
Na prática muitos experimentos admitem apenas dois resultados
Exemplo:
1.
Uma peça é classificada como boa ou defeituosa;
2.
O resultado de um exame médico para detecção de uma doença é positivo ou
negativa.
3.
Um entrevistado concorda ou não com a afirmação feita;
4.
No lançamento de um dado ocorre ou não face 6;
5.
No lançamento de uma moeda ocorre cara ou coroa.
Estas situações tem alternativas dicotômicas e podem ser representadas
genericamente por resposta do tipo sucesso-fracasso.
Esses experimentos recebem o nome de Ensaios de Bernoulli e originam uma
v.a. com distribuição de Bernoulli.
22
Distribuição de uma v.a. de Bernoulli
Uma V.A. (X) de Bernoulli é aquela que assume apenas dois valores 1
se ocorrer sucesso (S) e 0 se ocorrer fracasso (F), com
probabilidade de sucesso p, 0 < p <1. Isto é, se X(S)=1 e X(F)=0. Logo
a função de probabilidade é dada por:
x
P(X=x)
0
1
1-p
p
⎧ p x (1 − p )1− x ; x = 0,1
f ( x) = P( X = x) = ⎨
0;
c.c
⎩
Notação: X~Bernoulli (p), indica que a v.a. X tem distribuição de Bernoulli com
parâmetro p
Se X~Bernoulli(p) pode-se mostrar que:
E(X)=p
Var(X)=p(1-p).
Obter a f.d.a. !
Repetições independentes de um ensaio de Bernoulli dão origem ao
modelo Binomial.
23
3. Modelo Binomial
Exemplo 1: Suponha que uma moeda é lançada 3 vezes e probabilidade de
cara seja p em cada lançamento. Determinar a distribuição de probabilidade
da variável X, número de caras nos 3 lançamentos.
Denotemos, S: sucesso, ocorrer cara (c) e F:fracasso, ocorrer coroa(k).
O espaço amostral para o experimento de lançar um moeda 3 vezes é:
Ω={FFF.FFS, FSF,SFF,FSS, SFS, SSF,SSS}
Seja, Xi
é uma variável aleatória Bernoulli (i=1,2,3). Então a variável
X=X1+X2+X3, representa o número de caras nos 3 lançamentos.
Ω
FFF
FFS
FSF
SFF
FSS
SFS
SSF
SSS
Probabilidade
(1-p)3
(1-p)2p
(1-p)2p
(1-p)2p
(1-p)p2
(1-p)p2
(1-p)p2
P3
X1
0
0
0
1
0
1
1
1
X2
0
0
1
0
1
0
1
1
X3
0
1
0
0
1
1
0
1
X=X1+X2+X3
0
1
1
1
2
2
2
3
24
Daí temos que:
P( X = 0) = P ({FFF }) = (1 − p ) 3
P( X = 1) = P ({FFS , FSF , SFF }) = 3 p (1 − p ) 2
P ( X = 2) = P ({FSS , SFS , SSF }) = 3 p 2 (1 − p )
P( X = 3) = P ({SSS }) = p 3
A função de probabilidade da v.a. X é dada por:
x
f (x) = P(X = x)
0
(1− p)3
1
2
3p(1− p)2 3p2 (1− p)
3
p3
O comportamento de X , pode ser representado pela seguinte função:
⎧⎛ 3 ⎞ x
⎪⎜⎜ ⎟⎟ p (1 − p ) 3 − x ,
f ( x ) = ⎨⎝ x ⎠
⎪
0,
⎩
⎛3⎞
3!
onde ⎜⎜ ⎟⎟ =
⎝ x ⎠ x! (3 − x )!
x = 0,1, 2,3
c.c
25
Distribuição de uma v.a. Binomial
Considere a repetição de n ensaios de Bernoulli independentes e todos com a
mesma probabilidade de sucesso p. A variável aleatória que conta o número
total de sucessos nos n ensaios de Bernoulli é denominada de variável
aleatória Binomial com parâmetros n e p e sua função de probabilidade é dada
por:
⎧ n
⎛ ⎞ x
⎪⎜⎜ ⎟⎟ p (1 − p ) n − x , x = 0,1, L , n
f ( x ) = p ( X = x ) = ⎨⎝ x ⎠
⎪
c.c
0,
⎩
⎛n⎞
n!
onde ⎜⎜ ⎟⎟ =
, representa o coeficient e Binomial.
⎝ x ⎠ x! ( n − x )!
Notação, X~B(n,p), para indicar que v.a. X tem distribuição Binomial com
parâmetros n e p.
Se X~B(n,p) pode-se mostrar que:
E(X)=np
Var(X)=np(1-p).
26
Distribuição Binomial com parâmetros n=10 e p
4
6
8
0
6
p=0,8
4
6
x
8
8
0.00
0.20
p=0,5
0.15
2
4
x
0.00
0
2
x
P(X=x)
2
0.00
P(X=x)
0.2
0.0
P(X=x)
P(X=x)
0
0.20
p=0,3
0.4
p=0,1
0
2
4
6
8
x
27
Distribuição Binomial com parâmetros n=20 e p
5
0.15
0
5
10 15 20
x
p=0,5
p=0,8
10 15 20
x
0.15
x
0.00 0.10
0
0.00
10 15 20
0.00
5
P(X=x)
0
P(X=x)
p=0,3
P(X=x)
0.20
0.00
P(X=x)
p=0,1
0
5
10 15 20
x
28
Distribuição Binomial com parâmetros n=30 e p
20
0.10
30
0
10
20
x
p=0,5
p=0,8
20
x
30
0.00
P(X=x)
10
30
0.15
x
0.00
0
0.00
P(X=x)
0.15
10
0.10
0
P(X=x)
p=0,3
0.00
P(X=x)
p=0,1
0
10
20
30
x
29
Exemplo 2.
O professor da disciplina de Estatística elaborou
um prova de múltipla
escolha, consistente em 10 questões cada uma com 5 alternativas cada
questão. Suponha que nenhum dos estudantes que vão a fazer a prova não
vão as aulas e não estudaram para a prova (o que é muito freqüente). O
professor estabeleceu que para aprovar deve contestar corretamente ao
menos 6 questões. Se 200 alunos se apresentaram, quantos alunos
aprovaram a disciplina?.
S: “questão respondida corretamente”
F:”questão respondida incorretamente”
A probabilidade se sucesso é constante e c/ estudante responde
independentemente a questão
Solução:Seja a v.a. X: número de questões respondidas corretamente nas 10
questões. Então o evento de interesse é:
x
10−x
⎧⎛10⎞⎛ 1⎞ ⎛ 4⎞
⎪⎜⎜ ⎟⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ , x = 0,1,L,10
P(S)=1/5 e P(F)=4/5. Logo, X~B(10,p).
P(X = x) = ⎨⎝ x ⎠⎝ 5⎠ ⎝ 5⎠
⎪
0,
c.c
P( X ≥ 6) = 1 − P( X < 6) = 0,006369
⎩
A probabilidade de aprovar a prova um aluno é:
Portanto, dos 200 alunos que fizeram a prova aprovariam:200(0,00636)≈2, alunos
30
Exemplo 3.
Suponha uma urna com 20 bolas brancas e 15 bolas pretas, extraímos da urna
consecutivamente e com reposição 12 bolas. Encontre a probabilidade de se
obter 5 bolas brancas.
S: “obter uma bola branca em cada extração”
F:” obter uma bola preta em cada extração”
A probabilidade se sucesso é constante em c/ extração e os resultado
são independentes em cada extração.
Solução:Seja a v.a. X: número de bolas brancas (sucessos) nas 12
extrações da urna. Então o evento de interesse é:
x
12−x
⎧
⎛12⎞⎛ 4⎞ ⎛ 3⎞
P(S)=4/7 e P(F)=3/7. Logo, X~B(12,4/7).
⎪⎜ ⎟
, x = 0,1,L,12
f (x) = ⎨⎜⎝ x ⎟⎠⎜⎝ 7⎟⎠ ⎜⎝ 7⎟⎠
A probabilidade de obter 5 bolas brancas é:
⎪
0,
c.c
⎩
f (5) = P( X = 5) = 0.12
31
4. Modelo Hipergeométrico
Suponha uma população finita de N elementos, dividida em duas classes. Uma
classe com M (M<N) elementos (sucessos) e a outra com N-M elementos
(fracasso). Por exemplo, no caso particular de N peças produzidas, podem ser
consideradas as classes: M artigos defeituosos
e (N-M) artigos não
defeituosos.
Uma amostra aleatória de tamanho n (n<N) é sorteada sem reposição é
sorteada dessa população. A v.a. X definida como, o número de elementos com
a característica de interesse (sucesso) na amostra de tamanho n. A função de
probabilidade da v.a. X, é dada por:
⎧ ⎛ M ⎞⎛ N − M ⎞
⎟⎟
⎪ ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜
⎪⎪ ⎝ x ⎠⎝ n − x ⎠ , x = 0, L min(n, M )
f ( x) = P( X = x) = ⎨
⎛N⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎪
⎝n⎠
⎪
⎪⎩
0,
c.c
Notação, X~H(N,M, n), para indicar
Hipergeométrica parâmetros N, M e n.
E ( X ) = np, Var ( X ) = np (1 − p )(
que
v.a.
X
tem
distribuição
N −n
M
), com p =
N −1
N
32
Exemplo 3.
Em um Departamento de inspeção de recebimento, lotes de eixo de bomba
são recebidos periodicamente. Os lotes contêm 100 unidades, e o seguinte
plano de amostragem de aceitação é usado. Seleciona-se uma amostra
aleatória de 10 unidades sem reposição. O lote é aceito se a amostra tiver,
no máximo, um defeituoso. Suponha que um lote seja recebido e que 5% é
defeituoso. Qual é probabilidade que seja aceito o lote?
X: Número de defeituosos na amostra
⇒ X~H(100,5,10)
P ( aceitar o lote ) = P ( X ≤ 1) = P ( X = 0 ) + P ( X = 1)
⎛ 5 ⎞ ⎛ 95 ⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎛ 95 ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟
0 ⎠ ⎝ 10 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 9 ⎠
⎝
=
+
= 0 ,923
⎛ 100 ⎞
⎛ 100 ⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎝ 10 ⎠
⎝ 10 ⎠
33
Observação: Se X~H(N,M,n) e n/N< 0,10. Então X~B(n, M/N).
Exemplo. Foram colocados em uma caixa 100 peças, 40 dos quais foram
fabricados pela industria B e as outras pela industria A. Foram sorteadas
aleatoriamente, sem reposição, 8 peças, qual é a probabilidade de que 4
sejam da industria A?
Seja X: número de peças da industria A na amostra. Então X~H(100,40,8).
⎛ 60 ⎞⎛ 40 ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟
4 4
P ( X = 4) = ⎝ ⎠⎝ ⎠ = 0,2395.
⎛100 ⎞
⎜
⎟
10
⎝
⎠
Já que, 8/100=0,08<0,10. Então, X~B(8, 60/100) (aproximadamente).
⎛8⎞
4
4
P ( X = 4) = ⎜⎜ ⎟⎟(0,6 ) (0,4 ) = 0,2322.
⎝ 4⎠
34
4. Modelo Geométrico
A distribuição Geométrica pode ser pensada como o número de ensaios de
Bernoulli, com probabilidade de sucesso constante p, que precedem ao
primeiro sucesso. Dizemos que uma variável aleatória X tem distribuição
Geométrica de parâmetro p se sua função de probabilidade tema forma
f ( x) = P ( X = x) = p (1 − p ) k ,
Notação, X~G(p)
k = 0,1,2,...
(1 − p )
(1 − p )
E( X ) =
, Var ( X ) =
p
p2
Exemplo. Uma linha de produção está sendo analisada para efeito de
controle da qualidade das peças produzidas. Tendo em vista o alto padrão
requerido, a produção é interrompida para regulagem toda vez que uma
peça defeituosa é observada. Se 0,01 é a probabilidade da peça ser
defeituosa, estude o comportamento da variável Q, quantidade de peças
boas produzidas antes da 1a defeituosa.
Exemplo. Se X~G(p), prove que
P ( X > m + n | X > n) = P ( X ≥ n)
35
5. Modelo Poisson
Na prática muitos experimentos consistem em observar a ocorrência de
eventos discretos em um intervalo contínuo (unidade de medida)
Exemplo:
1.
Número de consultas a uma base de dados em um minuto.
2. Número de casos de Dengue por kilometro quadrado no estado de
SP
3.
Número de machas (falhas) por metro quadrado no esmaltado de uma
geladeira.
4.
Número de chamadas que chegam a uma central telefônica de uma empresa
num intervalo de tempo (digamos das 8,0 a.m. às 12,0 a.m.).
5.
Número de autos que chegam ao Campus entre 7,0 a.m. a 10,0 a.m.
36
Distribuição de uma v.a. Poisson
Uma variável discreta X tem distribuição de Poisson com parâmetro μ se sua
função de probabilidade é dada por:
⎧ e −μ μ
⎪
f ( x ) = ⎨ x!
⎪⎩ 0 ;
x
x = 0 ,1, 2 , L
c .c .
Onde: X: número de eventos discretos em t unidades de medida,
λ: media de eventos discretos em uma unidade de medida,
t: unidade de medida
μ= λ t: media de eventos discretos em t unidades de medida
Notação: X~P(μ), para indicar que a v.a. X tem distribuição de Poisson com
parâmetro μ. Pode-se mostrar que se X~P(μ)
E(X)= μ, Var(X)=μ
37
0.06
0
40
40
80
x
0.04
0
0.00
P(X=x)
0.00
P(X=x)
0.15
0.00
0.08
P(X=x)
0.00
P(X=x)
P(4)
P(10)
80
0
0
40
80
x
x
P(20)
P(50)
40
80
x
38
Exemplo 4. Suponha que a central telefônica de uma empresa de grande porte
recebe em média 3 chamadas cada 4 minutos. Qual é a probabilidade que a
central recepcione 2 ou menos chamadas em um intervalo de 2 minutos?
Se X: número de chamadas que recebe a central telefônica da empresa
em 2 minutos, então, X ~P(μ). Aqui t=2 e λ=3/4=0,75, então μ=(0,75)(2)=1,5.
Ou seja X~P(1,5)
e −1,5 1,5 x
f ( x) =
, x = 0,1,2,3....
x!
P ( X ≤ 2) = P( X = 0) + P( X = 1) + P( X = 2) = e
−1, 5
1,5 2
[1 + 1,5 +
] = 0,808847.
2
39
A Distribuição Poisson Como Aproximação da Distribuição Binomial
A distribuição Binomial para x sucessos em n ensaios de Bernoulli ´e
dada por:
⎛n⎞ x
P( X = x) = ⎜⎜ ⎟⎟ p (1 − p ) n − x , x = 0, L , n.
⎝ x⎠
Se μ=np,⇒ p=μ/n, substituindo p na função probabilidade temos
μ⎞
n
⎛ n⎞⎛ μ ⎞
P( X = x) = ⎜⎜ ⎟⎟⎜ ⎟
⎝ x⎠⎝ n ⎠
x
n−x
⎛ μ⎞
⎜1− ⎟
⎝ n⎠
⎛
x ⎜1− ⎟
⎛ 1 ⎞⎛ 2 ⎞ ⎛ x +1⎞ μ ⎝ n ⎠
= ⎜1− ⎟⎜1− ⎟L⎜1−
⎟
x
!
n
n
n
x
⎠ ⎛ μ⎞
⎠ ⎝
⎝
⎠⎝
⎜1− ⎟
⎝ n⎠
Fazendo n → ∞, temos P ( X = x) =
μe
x
−μ
x!
40
Exemplo 5. A probabilidade de um rebite particular na superfície da asa de
uma aeronave seja defeituosa é 0,001. Há 4000 rebites na asa. Qual é a
probabilidade de que seja instalados não mais de seis rebites defeituosos?
Se X: número de rebites defeituosos na asa da aeronave. Então,
X~B(400,0,001)
⎛ 4000 ⎞
P( X ≤ 6) = ∑ ⎜
⎟(0,001) (0,999)
⎝ x ⎠
6
x
x =0
400− x
= 0,8894.
Usando a aproximação de Poisson, μ=4000(0,001)=4 ⇒X~P(4)
e −4 4 x
P( X ≤ 6) = ∑
= 0,889.
x!
x =0
6
41
Teorema: Se X ,K, X são variáveis aleatórias independentes, com
distribuição de Poisson com parâmetros, μ ,K, μ , respectivamente,
então a variável aleatória,
1
n
1
Y = X +LX
1
n
n
tem distribuição de Poisson com parâmetro, μ = μ + L μ .
1
n
Exemplo 6. Em uma fabrica foram registradas em três semanas a média de
acidentes: 2,5 na primeira semana, 2 na segunda semana e 1,5 na terceira
semana. Suponha que o número de acidentes por semana segue um processo de
Poisson. Qual é a probabilidade de que haja 4 acidentes nas três semanas?
Seja a variável aleatória, X : número de acidentes na i-ésima
semana, i=1,2,3. X ~ P ( μ ) , então, a v.a. , Y = X + X + X tem distribuição
de Poisson com parâmetro, μ = 2,5 + 2 + 1,5 = 6 .(y~P(6))
i
i
i
1
2
3
e −6 6 4
P (Y = 4 ) =
= 0 ,1339
4!
42