Estatística 1 Cap04 Distribuicoes de

Estatística
Capítulo 4:
Distribuições Teóricas de
Probabilidades de Variáveis
Aleatórias Discretas
Professor Fernando Porto
Capítulo 4
• Baseado no Capítulo 4 do livro texto,
Distribuições Teóricas de Probabilidades de
Variáveis Aleatórias Discretas.
Distribuição de Bernoulli
Na área de teoria das probabilidades e estatística, a distribuição
de Bernoulli, nome em homenagem ao cientista suíço Jakob
Bernoulli, é a distribuição discreta de espaço amostral {0, 1},
que tem valor 1 com a probabilidade de sucesso p e valor 0 com a
probabilidade de falha q = 1 p.
Neste caso a variável aleatória X tem distribuição de Bernoulli e
sua função de probabilidade é dada por:
P(X = x) = px . q1-x
X
P(X)
X . P(X)
X2 . P(X)
0
q
0
0
1
p
p
p
1
p
p
Esperança:
E(X) = p
Variância:
VAR(X) = p – p2 = p . (1 – q) = p . q
Exemplo: Uma urna tem 30 bolas brancas e 20 verdes. Retira-se
uma bola dessa urna. Sendo X o número de bolas verdes,
calcular E(X) e VAR(X) e determinar P(X).
Distribuição Geométrica
A distribuição geométrica é constituída por duas funções de
probabilidade discretas:
a) a distribuição de probabilidade do número X de tentativas de
Bernoulli necessárias para alcançar um sucesso, suportadas
pelo conjunto { 1, 2, 3, ... }, ou
b) a distribuição de probabilidade do número Y = X 1 de
insucessos antes do primeiro sucesso, suportadas pelo
conjunto { 0, 1, 2, 3, ... }.
Se a probabilidade de sucesso de cada tentativa é p, então a
probabilidade de n tentativas serem necessárias para ocorrer um
sucesso é
P(X = n) = (1 – p)n-1 . p
para n = 1, 2, 3, .... De forma equivalente, a probabilidade de
serem necessários n insucessos antes do primeiro sucesso é
P(Y = n) = (1 – p)n . p
para n = 0, 1, 2, 3, ....
Em qualquer caso, a sequência de probabilidades é uma
progressão geométrica.
Média:
E(X) =
Variância:
VAR(X) =
Demonstrações no livro texto.
Exemplo: A probabilidade de se encontrar aberto o sinal de
trânsito numa esquina é 0,20. Qual a probabilidade de que seja
necessário passar pelo local 5 vezes, para encontrar o sinal aberto
pela primeira vez?
X: número de vezes necessárias para encontrar o sinal aberto.
p = 0,20; q = 0,80
P(X = 5) = (0,80)4 – (0,20) = 0,08192 = 8,192%
Distribuição de Pascal
A distribuição de Pascal ou distribuição binomial negativa indica
o número de tentativas necessárias para obter r sucessos de igual
probabilidade p ao fim de x experimentos de Bernoulli, sendo a
última tentativa um sucesso. A sua função de probabilidade é
dada por:
x = r, r + 1, ...
X é o número de repetições necessárias para que ocorram r
sucessos.
Importante: A distribuição Geométrica e fortemente relacionada
com a Binomial negativa. Na Geométrica queremos o número de
tentativas para obter o primeiro sucesso, ou seja, o tempo de
espera até que se tenha o evento de importância ou sucesso.
Média:
E(X) =
Variância:
VAR(X) =
Exemplo: Numa linha de montagem, 10% das peças são
defeituosas. Qual a probabilidade de que a quinta peça analisada
seja a segunda defeituosa?
Assim, x = 5; p = 10% ou 0,10; r = 2; q = 0,9
Distribuição Hipergeométrica
A distribuição hipergeométrica descreve a probabilidade de se
retirar k elementos do tipo A numa sequência de n extrações de
uma população finita de tamanho N, com r elementos do tipo A e
N-r elementos do tipo B, sem reposição.
Seja um conjunto com N elementos tal que existem r elementos
do tipo A e N-r elementos do tipo B. Um conjunto de n elementos
é selecionado, aleatoriamente e sem reposição, do conjunto de N
elementos. A variável aleatória X denota o número de elementos
tipo A. Então, X tem distribuição hipergeométrica e
onde k = 0,1,2,..., min(r, n) e onde
refere-se ao coeficiente
binomial, o número de combinações possíveis ao selecionar b
elementos de um total a.
O valor esperado da variável aleatória X é dado por E(X) = n.p e
a sua variância
Quando o tamanho da população é muito maior do que a amostra
(isto é, N é muito maior que n) a distribuição hipergeométrica é
razoavelmente bem aproximada pela distribuição binomial com
parâmetros n (número de tentativas) e p = K / N (probabilidade de
sucesso numa tentativa única).
Exemplo: Pequenos motores são guardados em caixas de 50
unidades. Um inspetor de qualidade examina cada caixa, antes da
posterior remessa, testando 5 motores. Se nenhum motor for
defeituoso, a caixa é aceita. Se pelo menos um for defeituoso,
todos os 50 são testados. Há 6 motores defeituosos numa caixa.
Qual a probabilidade de que seja necessário examinar todos os
motores dessa caixa?
X: número de motores defeituosos da amostra.
N = 50; r = 6; n = 5.
Distribuição Binomial
É a distribuição de probabilidade discreta do número de sucessos
numa sequência de n tentativas tais que:
1. Cada tentativa tem exclusivamente como resultado duas
possibilidades, sucesso ou fracasso;
2. Cada tentativa é independente das demais;
3. A probabilidade de sucesso p a cada tentativa permanece
constante independente das demais;
4. A variável de interesse é o número de sucessos k nas n
tentativas.
A variável aleatória X é o número de tentativas que resultam em
sucesso. A probabilidade de ter exatamente k sucessos é dado pela
função de probabilidade:
Esperança:
E(X) = n . p
Variância:
VAR(X) = n . p . (1 – p)
Demonstrações no livro texto.
Exemplo: Uma moeda é lançada 20 vezes. Qual a probabilidade
de saírem 8 caras?
X: número de sucessos (caras)
X = 0, 1, 2, ..., 20
Probabilidades de cara em um lançamento: p = 0,5
Portanto k = 8; n = 20; p = 0,5
Exemplo: Uma prova tipo teste tem 50 questões independentes.
Cada questão tem 5 alternativas. Apenas uma das alternativas é a
correta. Se um aluno resolve a prova respondendo a esmo as
questões, qual a probabilidade de acertar metade das questões?
X: número de acertos
X: 0, 1, 2, ..., 50
Probabilidades de acerto de 1 questão: p = 1/5 = 0,2
Portanto k = 25; n = 50; p = 0,2
Exemplo: Achar a média e a variância da variável aleatória Y =
3X + 2, sendo X com n = 20; p = 0,3
E(X) = n ´ p = 20 ´ 0,3 = 6
VAR(X) = n ´ p ´ q = 20 ´ 0,3 ´ 0,7 = 4,2
Logo
E(Y) = E(3X + 2) = 3 ´ E(X) + 2 = 3 ´ 6 + 2 = 20
VAR(Y) = VAR(3X + 2) = 9 ´ VAR(X) = 9 ´ 4,2 = 37,8
Distribuição Multinomial
A distribuição multinomial ou polinomial é uma generalização da
distribuição binomial.
Assim consideremos a possibilidade de k alternativas, isto é
repartirmos o espaço amostral em k eventos X1, X2, X3, ..., Xk
mutuamente exclusivos, com probabilidades p1, p2, p3, ..., pk, tais
que
p1 + p2 + p3 + ... + pk = 1
Então em k eventos a probabilidade de que X1 ocorra n1 vezes, X2
ocorra n2 vezes, X3 ocorra n3 vezes ... Xk ocorra nk vezes, é dado
por:
Esperança:
E(Xi) = ni . pi
Variância:
VAR(Xi) = ni . pi . (1 – pi)
sendo i = 1, 2, ... k
Demonstrações no livro texto.
Exemplo: Uma urna tem 6 bolas brancas, 4 pretas e 5 azuis.
Retiram-se 8 bolas com reposição. Qual a probabilidade de sair 4
bolas brancas, 2 pretas e 2 azuis?
X1: saída de 4 bolas brancas
X2: saída de 2 bolas pretas
X3: saída de 2 bolas azuis
X1 + X2 + X3 = 8
Distribuição de Poisson
A distribuição de Poisson expressa a probabilidade de uma série
de eventos ocorrer num certo período de tempo se estes eventos
ocorrem independentemente de quando ocorreu o último evento.
A distribuição foi descoberta por Siméon-Denis Poisson (17811840) e publicada, conjuntamente com a sua teoria da
probabilidade, em 1838 no seu trabalho Recherches sur la
probabilité des jugements en matières criminelles et matière
civile ("Inquérito sobre a probabilidade em julgamentos sobre
matérias criminais e civis"). O trabalho focava-se em variáveis
aleatórias N que contavam, entre outras coisas, o número de
ocorrências discretas de um certo fenômeno durante um intervalo
de tempo de determinada duração.
A probabilidade de que existam exatamente k ocorrências (k
sendo um inteiro não negativo, k = 0, 1, 2, ...) é
onde
• e é base do logaritmo natural (e = 2,718281828...),
• λ é um número real, igual ao número esperado de ocorrências
que ocorrem num dado intervalo de tempo. Por exemplo, se o
evento ocorre a uma média de 4 minutos, e estamos
interessados no número de eventos que ocorrem num intervalo
de 10 minutos, usaríamos como modelo a distribuição de
Poisson com λ = 10/4 = 2,5.
Esperança:
E(X) = l
Variância:
VAR(X) = l
Demonstrações no livro texto.
Exemplo: A probabilidade de uma lâmpada se queimar ao ser
ligada é de 1/100. Numa instalação com 100 lâmpadas, qual a
probabilidade de 2 lâmpadas se queimarem ao serem ligadas,
usando Poisson?
l = n . p = 100 ´ 0,01 = 1
Exemplo: Numa central telefônica chegam 300 telefonemas por
hora. Qual a probabilidade de que:
a) Num minuto não haja nenhum chamado.
b) Em 2 minutos haja 2 chamados.
c) Em t minutos não haja chamados.
a) X: número de chamadas por minuto ® l = 5
b) Dois minutos ® l = 10
c) Tempo de t minutos ® l = 5t
• A distribuição de Poisson representa um modelo
probabilístico adequado para o estudo de um grande
número de fenômenos observáveis. Eis alguns exemplos:
•
•
•
•
Chamadas telefônicas por unidade de tempo;
Defeitos por unidade de área;
Acidentes por unidade de tempo;
Chegada de clientes a um supermercado por unidade de
tempo;
• Número de glóbulos sanguíneos visíveis ao microscópio
por unidade de área;
• Número de partículas emitidas por uma fonte de material
radioativo por unidade de tempo.
• Estatística Básica
• Luiz Gonzaga Morettin
• Pearson Prentice Hall, 2010.
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• Distribuição de Bernoulli;
• Distribuição Geométrica;
• Distribuição Hipergeométrica;
• Distribuição de Pascal;
• Distribuição Binomial;
• Distribuição Multinomial;
• Distribuição de Poisson.