Principais Distribuições de Probabilidade

Principais Distribuições de Probabilidade
Distribuições discretas
Binomial. Seja  um experimento aleatória e seja A em evento pertencente a . Considere n repetições
independentes de  (experimentos de Bernoulli) e que P(A) = p e P(Ac) = 1 – p . Seja X o número de vezes
que A tenha ocorrido (k sucessos em n provas), nestes termos X é uma variável aleatória binomial, cuja
probabilidade é dada por
Probabilidade:
 p
p( X  k ) 
n
k
k
q nk ,
onde, Onde
   k ! nn! k !
n
1
Px  a     nk  p k q nk
a
Distribuição:
x 0
Parâmetros do modelo: Valor esperado ou média: E[X] = p = np e variância: var[X] = npq
Ex. 1. Um torno inutiliza uma peça a cada 20 toneladas. Qual é a média e o desvio padrão de inúties em 5000
itens? Qual é a chance de uma amostra de cinco ter três úteis?
Multinomial. Trata de k provas independentes, caracterizadas por
Probabilidade:
Distribuição:
px1  x2   P px1  pxk 
Px1  a1  x2  ak    P px1  pxk 
Parâmetros do modelo: E[X] = p = np e var[X] = npq
Onde P 
n!
, ni = n são as permutações com repetição dos x1 itens do tipo 1 e ..., xk do tipo k.
x1 ! x k !
Quando k = 2, tem-se a binomial.
Distribuição de Poisson. Quando os fenômenos estudados, estatisticamente, ocorrem num intervalo de tempo
extremamente pequeno, ou então, que surgem aleatoriamente distribuídos no tempo, com pequenas
probabilidades de sucesso (p < 0,02), mas o número total de eventos é muito grande, ou ainda quando
conhecemos o número de sucesso, porém se torna difícil e, às vezes, sem sentido, determinar o número de
fracassos, ou o número total de provas. Quando n   de modo que n.p =  seja uma constante finita, ou
quando n  , P  0 de modo que n.p , 0 <  < , então a distribuição binomial é dada por
Probabilidade:
Distribuição:
p( X  k ) 
Px  a   e
k
k!

e 
a
k
 k!
k 0
Parâmetros do modelo: E[X] = var[X] = 
Ex. 2. A probabilidade de um paciente sofrer um choque alérgico, resultante da aplicação de um antibiótico, é
de 0,1%. Qual a probabilidade de que dois ou mais pacientes, selecionados aleatoriamente dentre 3000,
sofram choque alérgico ao tomarem o medicamento?
Geométrica. Suponha a realização de um experimento  e que lhe interesse a ocorrência ou não de algum
evento A. Suponha que cada prova é independente. O experimento é repetido até a ocorrência de A pela
primeira vez (afastamento da distribuição binomial, pois na mesma o número de repetições era
predeterminado). Seja X o número de repetições até obter a primeira ocorrência de A, inclusive. A
probabilidade é dada por
Probabilidade: p( X  k )  (1  p) k 1 p , com k = 1, 2, 3, ...
a
Distribuição:
Px  a    p q n1
x 1
Parâmetros da distribuição: E[X] =1/p e var[X] = q/p2
Ex. 3. Se a probabilidade de um certo ensaio de reação positiva for 0,4, qual é a probabilidade de que menos
de 5 reações negativas ocorram antes de uma positiva?
Pascal (generalização da distribuição geométrica). Suponha que um experimento seja realizado até que um
evento A ocorra na n-ésima vez. Considere P(A) = p e P(Ac) = 1 - p = q. Define-se a variável aleatória Y =
{número de repetições necessárias a fim de que A ocorra exatamente r vezes} através da expressão
 p q
Distribuição: P ( X  k )     p
k 1
r 1
a
Probabilidade: p( X  k ) 
k 1
r
k 1
r 1
k r
r
, k = r, r+1, ...
q k r
Parâmetros da distribuição: E[X] = r/p e var[X] = rq/p2
Hipergeométrica. Suponha um lote de N peças, das quais r são defeituosas. Escolhe-se n peças ao acaso (n<
N) sem reposição. Seja X o número de peças defeituosas encontradas. Tem-se {X = k} se e somente se forem
obtidas exatamente k peças defeituosas e n – k boas,
Probabilidade: p( X  k ) 
Distribuição: P ( X  k ) 
 . /  
r
k
N r
nk
N
n
  . /  
a
k 0
r
k
N r
nk
N
n
Parâmetros da distribuição: E[X] = nr/N e var[X] = {nr(N-r)(N-n)}/{N2(N-1)}
Ex. 4. Uma urna contém 30 bolas verdes e 20 azuis. Qual a probabilidade de obter 3 azuis ao extrair 5 bolas
sem reposição?
Distribuições contínuas
Distribuição Beta. Utilizada para estudar variáveis cujos valores se restringem a um intervalo particular.
Função densidade de probabilidade: p( x) 
1
 1
x 1 1  x 
B ,  
a
Distribuição de probabilidade:
P( x  a ) 
1
 1
x 1 1  x  dx

B ,   0
a
Onde
B( ,  )   x 1 1  x 
 1
dx é a função beta, sendo que  e  definem a forma da distribuição
0
Parâmetros: E[X] = /(+) e var[X] = /[(+)2 (++1)]
Distribuição Gamma. Descreve o tempo necessário para a ocorrência da n-ésimo evento. Aplicada a
variáveis positivas, como em teoria de filas, medidas físicas e econômicas.
Se uma variável aleatória X tiver uma tiver densidade de probabilidade dada por
f(x) = {(x) - 1 e-x} / ( ), x > 0 e
f(x) = 0 caso contrário,
então f(x) é denominada de distribuição gamma com parâmetros  > 0 e  > 0.  é um escalar que afeta as
mudanças nas unidades de medida (por exemplo minutos pora horas) e  é um parâmetro de forma da
distribuição. (.) é a função gamma dada por

( x)   x t 1e  x dt , t > 0
0
Sabe-se que: (+1) = n!, n = 0, 1, 2, ...
(+1) = (), para todo > 0.
Função acumulada: F(x) = 1 - ex { 1 + x + (x)2 / 2! + ... + (ax)n-1 / (n-1)!}, para x  0
Parâmetros do modelo: E[X] =  / e var[X] = /2
Uniforme. Seja X uma variável aleatória contínua com valores em [a,b], sendo a e b finitos. Se a densidade
for
f(x) = 1/(b-a), se x  [a,b] e
f(x) = 0 caso contrário,
a variável X é uniformemente distribuída sobre [a,b].
A função acumulada: F(x) = 0, para x  0,
F(x) = (x-a)/(b-a), para a < x < b e
F(x) = 1, para x  b.
Parâmetros do modelo: E[X] = (a+b)/2 e var[X] = (a-b)2/12
Ex. 6) Um ponto é escolhido em [0,2].Qual é a probabilidade de que o ponto esteja entre 1 e 1/3.
Exponencial. Se uma variável aleatória X tiver densidade de probabilidade
f(x) =  e-x, x  0,
f(x) = 0 caso contrário,
então X terá uma distribuição de probabilidade exponencial com parâmetro .
A função acumulada: P(x  t) = F(x) = 1 – e-x = 1 – exp(-x/E[x])
P(x > t) = e-x
Parâmetros da distribuição: E[x] = 1/ e var[x] = 1/2
Ex. 7) Se clientes chegam a um banco a uma razão de oito por hora, qual a chance de o primeiro deles entrar
(a) um quarto de hora após ter sido aberto? e (b) nos primeiros dez minutos de funcionamento?
Distribuição Normal ou Gaussiana. Uma variável aleatória X que assuma valores -   x   tem
distribuição normal se sua densidade de probabilidade for
f ( x) 
1
 2
 x   2
e
2 2
, os parâmetros  e  devem satisfazer ás condições: -  <  <  e  > 0.
Distribuição Erlang. Utilizada quando se tem k etapas idênticas e independentes em linhas de produção,
cada uma tendo uma distribuição exponencial para os tempos de serviço.
Se T é uma variável aleatória com densidade
f(t) = {k (kt)k-1 / (k-1)!, para t > 0 e
f(t) = 0, caso contrário,
então f(t) é uma distribuição Erlang de parâmetro k e .
Função acumulada: F(t) = 1 – e-yt [1 + yt/1! + (yt)2/2! + ...+ (yt)k-1/(k-1)!], onde y = k
Parâmetros do modelo: E[T] = 1/, var[T] = 1/{k2}
Distribuição hiperexponencial. Quando o tempo de serviço de um sistema de filas apresentar um desvio
grande em relação à média, pode-se usar uma distribuição hiperexponencial. A função densidade de
probabilidade para duas etapas paralelas é dada por
f(t) = q11 e-1 t + q22 e-2 t, com t  0.
Integrando: W(t) = 1 - q11 e-1 t + q22 e-2 t
Parâmetros do modelo: E[T]= q1 /1 + q2 /2 e var[T] = 2q1 /1 + 2q2 /2 – (q1 /1 + q2 /2)2