Variáveis Aleatórias Discretas

ITA - Laboratório de Guerra Eletrônica
EENEM 2008
Estatística e Probabilidade
Aula 03: Variáveis
Aleatórias Discretas
Qual a similaridade na
natureza dessas grandezas?
• Tempo de espera de um ônibus
• Resultados de lançamento de um
dado
• Soma de dois dados
• Erro em relação ao centro do alvo no
lançamento de uma bomba
• Pontos onde caem gotas de chuva
numa região demarcada na calçada
Definição
• Emprega-se o termo variável aleatória
para descrever o valor que corresponde
ao resultado de determinado
experimento. A palavra aleatória indica
que em geral só conhecemos aquele
valor depois que o experimento é
realizado.
contínua x discreta
• As propriedades das variáveis
aleatórias discretas são estudadas por
somas e diferenças, enquanto o
estudo das variáveis contínuas requer
ferramentas do Cálculo como
integrais e derivadas.
Distribuição de Probabilidades
• Uma distribuição de probabilidades
dá a probabilidade de cada valor de
uma variável aleatória
• condições para uma distribuição de
probabilidades:
0 ≤ p(x) ≤ 1 para todo x
Σ
todos os valores
possíveis de x
p(x) = 1
Distribuição de probabilidades
para variáveis aleatórias discretas
• A distribuição de probabilidade ou
função massa de probabilidade de
uma variável aleatória discreta
especifica as probabilidades de
observação para cada valor quando o
experimento ocorre.
Exemplo
• Lançamento de dois dados:
1/36
se x = 2 ou 12
2/36
se x = 3 ou 11
p(x) =
3/36
se x = 4 ou 10
4/36
se x = 5 ou 9
5/36
se x = 6 ou 8
6/36
se x = 7
Exemplo
p(x)
6/36
5/36
4/36
3/36
2/36
1/36
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
x
Função distribuição cumulativa
F(x) = P(X ≤ x) =
Σ
p(y)
y: y ≤ x
Exemplo (dois dados)
F(x) =
0
1/36
3/36
6/36
10/36
15/36
21/36
26/36
30/36
33/36
35/36
36/36
se x < 2
se 2 ≤ x < 3
se 3 ≤ x < 4
se 4 ≤ x < 5
se 5 ≤ x < 6
se 6 ≤ x < 7
se 7 ≤ x < 8
se 8 ≤ x < 9
se 9 ≤ x < 10
se 10 ≤ x < 11
se 11 ≤ x < 12
se 12 ≤ x
F(x)
36/36
30/36
24/36
18/36
12/36
6/36
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
x
Exemplo
• Para quaisquer dois números a e b com
a ≤ b:
P(a ≤ X ≤ b) = F(b) — F(a-) = F(b) — F(a — 1)
No exemplo dos dois dados:
P(3 ≤ X ≤ 6) = F(6) — F(2) = 15/36 - 1/36 = 14/36
P(X ≤ 5) = F(5) = 10/36
P(X = 8) = F(8) — F(7) = 26/36 - 21/36 = 5/36
Esperança
E(x) = μx =
Σx·p(x)
• A média de uma variável aleatória
discreta é o resultado médio teórico
de um número infinito de provas
Exemplo (dois dados)
E(X) = μ = 2·(1/36) + 3·(2/36) +
+ 4·(3/36) + 5·(4/36) +
+ 6·(5/36) + 7·(6/36) +
+ 8·(5/36) + 9·(4/36) +
+ 10·(3/36) + 11·(2/36) +
+ 12·(1/36) = 252/36 = 7
Variância e Desvio-padrão
V(X)= σ2 = E[(X- μ)2] =
=
Σ[(x - μ) ·p(x)] = Σ[x ·p(x) ] - μ
2
2
2
σ = V(X)0,5
• O desvio-padrão nos dá uma medida do
quanto a distribuição de probabilidade se
dispersa em torno da média
Exemplo (dois dados)
V(X) = (2-7)2·(1/36) + (3-7)2 ·(2/36) +
+ (4-7)2 ·(3/36) + (5-7)2 ·(4/36) +
+ (6-7)2 ·(5/36) + (7-7)2 ·(6/36) +
+ (8-7)2 ·(5/36) + (9-7)2 ·(4/36) +
+ (10-7)2 ·(3/36) + (11-7)2 ·(2/36) +
+ (12-7)2 ·(1/36) = 5,833
σ = 5,8330,5 = 2,415
Distribuições de
probabilidade discretas
• Uniforme
• Bernoulli
• Binomial
• Hipergeométrica
• Binomial negativa
• Poisson
Uniforme
p(x)
1/6
0
1
2
3
4
5
6
x
Bernoulli
• Se um experimento pode ter apenas dois
resultados possíveis (sucesso ou fracasso, por
exemplo). Se fizermos X=1 quando o resultado
for sucesso e X=0 quando for fracasso, então:
P(X=1) = p
P(X=0) = 1-p
• Esta variável aleatória é chamada de Bernoulli
e sua esperança é dada por:
E[X] = 1.p + 0.(1-p) = p
Binomial
• O experimento consiste de uma
seqüência de n experimentos de
Bernoulli, onde n é fixado antes do
experimento
• As tentativas são idênticas e cada uma
resulta em sucesso (S) ou falha (F)
• As tentativas são independentes
• A probabilidade de sucesso (p) é
constante entre as tentativas
n=3
• SSS, SSF, SFS, SFF, FSS, FSF, FFS, FFF
P(SSS) = P(S)·P(S)·P(S) = p3
P(SSF) = p·p·(1—p) = p2·(1—p)
P(SFS) = p·p·(1—p) = p2·(1—p)
P(SFF) = p·(1—p)·(1—p) = p·(1—p)2
P(FSS) = p·p·(1—p) = p2·(1—p)
P(FSF) = p·(1—p)·(1—p) = p·(1—p)2
P(FFS) = p·(1—p)·(1—p) = p·(1—p)2
P(FFF) = (1—p)·(1—p)·(1—p) = (1—p)3
Binomial
n
x px(1-p)n-x
(
)
b(x; n, p) =
E[X] = np
V[X] = np(1-p) = npq
x = 0, 1, 2... n
q = 1- p
Exemplo
• Nas condições do exercício 8 (aula 2),
qual a probabilidade de que
exatamente duas bombas atinjam o
alvo?
4
b(2; 4, 40%) = 2 0,42(1-0,4)4-2 =
= 6 . 0,16 . 0,36 = 0,3456
()
Exercício 15
• Quando fuzis são testados, verifica-se
uma taxa de defeitos igual a 5%. Seja
X = nº de fuzis em pane numa amostra
aleatória de 20 fuzis.
a) determine P(X ≤ 2)
b) qual a probabilidade de que nenhum
fuzil da amostra esteja em pane
c) calcule a esperança e o desvio-padrão
de X
Exercício 16
• 20% de todos os telefones de um
certo tipo são submetidos à
manutenção enquanto estão no
período de garantia. Desses, 60%
podem ser reparados enquanto os
outros 40% devem ser substituídos
por novos. Se uma companhia compra
dez desses telefones, qual a
probabilidade de que exatamente dois
sejam substituídos em garantia?
Exercício 17
• Um teste de Estatística consiste em 10
questões do tipo múltipla escolha, cada
uma com 5 respostas possíveis. Para
alguém que responda aleatoriamente (por
palpite) todas as questões, determine a
probabilidade de passar, se o percentual
mínimo para aprovação é 60%. A
probabilidade é suficientemente elevada
para justificar o risco de tentar passar por
palpite em lugar de estudar?
Exercício 18
• Uma empresa aérea adota a política
de vender 15 passagens para um
avião que dispõe de apenas 14
assentos. Determine a probabilidade
de não haver assentos suficientes
sabendo-se que, historicamente,
apenas 85% dos passageiros que
fazem reserva apresentam-se para
embarque.
Distribuição de Poisson
• Distribuição discreta de
probabilidade, aplicável a ocorrências
de um evento em um intervalo
especificado.
• A variável aleatória x é o número de
ocorrências do evento em um
intervalo.
• O intervalo pode ser o tempo, a
distância, a área, o volume etc.
Distribuição de Poisson
p(x;λ) = e—λλx
x!
x = 0, 1, 2...
Para qualquer experimento binomial
em que n é grande e p é pequeno:
b(x; n, p) ≈ p(x;λ) onde λ = np
E(X) = V(X) = λ
Distribuição de Poisson
A distribuição de Poisson exige:
• que a variável aleatória x seja o número de
ocorrências de um evento em um intervalo
• que as ocorrências sejam aleatórias
• que as ocorrências sejam independentes
umas das outras
• que as ocorrências sejam distribuídas
uniformemente sobre o intervalo
considerado
Exemplo
• Para fins de análise dos impactos de
bombas V-1 na II GM, o sul de Londres
foi subdividido em 576 regiões com
área de 0,25 km2 cada. A área
conjunta das 576 regiões foi atingida
por 535 bombas. Escolhida
aleatoriamente uma região,
determine a probabilidade de ela ter
sido atingida exatamente duas vezes.
Exemplo (cont.)
• Número médio de impactos por região:
λ = 535/576 = 0,929
• Queremos a probabilidade de dois
impactos em uma região, fazemos x = 2
p(x;λ) = e—λλx = 2,71828-0,929.0,9292 = 0,170
x!
2!
Exercício 19
• Em um teste de placas de circuito, a
probabilidade de que qualquer diodo vai
falhar é 0,01. Suponha que uma placa tenha
200 diodos.
a) Quantos diodos se espera que falhem e
qual é o desvio-padrão?
b) Qual é a probabilidade (aproximada) de
que pelo menos quatro diodos irão falhar
em uma placa aleatoriamente selecionada?
Exercício 19 (cont.)
c) Se cinco placas são enviadas para um
cliente, qual a probabilidade de que
pelo menos quatro funcionarão
apropriadamente?
Exercício 20
• Um aviso é enviado a todos os proprietários de
um certo tipo de automóvel solicitando que
levem seus carros a uma concessionária para
checar a presença de um defeito de
fabricação. Suponha que 0,05% dos carros
apresentem o defeito e considere uma
amostra aleatória de 10.000 carros.
a) Quais são a esperança e o desvio-padrão do
número de carros na amostra que apresentam
defeito?
b) Qual é a probabilidade (aproximada) que mais
de 10 carros amostrados apresentem defeito?
Exercício 21
• Num certo local distante da explosão
de uma bomba, o número médio de
fragmentos por metro quadrado é
0,1. Queremos determinar a
probabilidade de que pelo menos um
fragmento atingirá uma área alvo de
2 m2.
Processo de Poisson
Pk(t) = e—αt(αt)k
k!
Pk(t) denota a probabilidade de que k
eventos com taxa α ocorrerão durante
um intervalo de tempo t. Equivale a
uma distribuição de Poisson em que
λ = αt.
Exercício 22
• Suponha que aeronaves de pequeno
porte cheguem a um aeroporto de
acordo com um processo de Poisson a
uma taxa α de 8 anv/hora. Portanto,
tem-se λ = 8t.
a) Qual a probabilidade de que
exatamente 5 aeronaves cheguem
durante um período de uma hora?
Pelo menos 5? Pelo menos 10?
Exercício 22 (cont.)
b) Quais são a esperança e o desviopadrão do número de aeronaves que
chegam num período de 90 min?
c) Qual é a probabilidade de que pelo
menos 20 aeronaves cheguem num
intervalo de 2,5 horas? E que no
máximo 10 cheguem nesse período?
Exercício 23
• Uma missão de reconhecimento tem
duração de d horas. Foi antecipado
que 60% do tempo durante a missão o
sensor estará no modo passivo com
taxa λp de falhas por hora e que no
restante 40% do tempo o sensor
estará no modo ativo, com λa falhas
por hora.
Exercício 23 (cont.)
• Encontre a probabilidade de que não
haja falha no sensor durante a
missão.
• É relevante que o período de
operação ativa ocorra no início da
missão, no final ou em fragmentos ao
longo da missão?