Modelos Teóricos Discretos de Probabilidade

Modelos Teóricos Discretos
de Probabilidade
Aula 6
Modelos Teóricos Discretos de
Probabilidade

Na resolução de problemas estatísticos, muitos
deles apresentam características semelhantes.

Portanto, pode-se desenvolver modelos
específicos para cada tipo de problema, em
função de suas características:
– Os possíveis valores que a variável aleatória x pode
assumir
– A função de probabilidade associada à variável
aleatória x
– O valor esperado da variável aleatória
– A variância e o desvio-padrão da variável aleatória x.
Distribuição de Bernoulli

Características do modelo:
– Variável aleatória x só pode assumir valores 0 e 1.
– P(x=0)=q e P(x=1) = p
– Onde p + q =1

Descrição do modelo:
– Neste caso o
  p ,  2 ( x)  p  q
 ( x)  p.q
e
Distribuição de Bernoulli

Exemplo:
– No lançamento de uma moeda, a variável aleatória x
anota o número de caras obtidas. Determine a média,
a variância e o desvio-padrão.
 Neste caso os valores de x são 0 e 1, portanto é uma
distribuição Bernoulli.
– Então:
X
0
1
P(x) 0,5 0,5
– Média:
p
– Variância:
  0,5
 ( x)  p  q  0,5  0,5  0,25
2
– Desvio-padrão:
 ( x)  p.q  0,25  0,5
Distribuição de Bernoulli
- exercícios 
Uma caixa contém 12 canetas das quais 5
são
defeituosas.
Uma
caneta
é
selecionada ao acaso e a variável aleatória
x anota o número de canetas defeituosas
obtidas. Determine a média e o desviopadrão de x.
– Resp: Média =1/6 e Desv. Padr = 0,37
Distribuição Binomial

Características do modelo:
– Experimento admite apenas dois resultados – S: Sucesso, F: fracasso.
– Com p(S)=p e p(F)=q - Com eventos independentes.
– Onde ocorrem “k” sucesso e “(n-k)” fracassos.

Descrição do modelo:
– X: 0, 1, 2, 3, ......., n
– .
 n  k nk
p( x  k )     p  q
k 
– Média:
  n p
– Variância:
 2 x   n. p.q
Onde k = numero de sucesso e
n
n!
  
 k  (n  k )! k!
Distribuição Binomial

Exemplo:
– Uma empresa produz 10% de peças defeituosas. As peças são
embaladas em caixas que contém 12 peças. Calcule a
probabilidade de um cliente comprar uma caixa contendo uma
peça defeituosa, a média e o desvio padrão.
 Experimento: Examinar uma peça. CD - p(cd)=0,1
SD - p(sd)=0,9
 N= 12 repetições independentes.
 Se convencionarmos CD como sucesso. Então
estamos procurando por 1 sucesso (k=1)
Distribuição Binomial

Respostas :Probabilidade:
 n  k n k 12 
p( x  k )     p  q     (0,1)1  (0,9)121
1 
k 
– Mas
12!
12!
n
n!


  
 k  (n  k )! k! (12  1)!1! (11)!1!
 n  12 11 10  9  8  7  6  5  4  3  2 1 479001600
  

 12
39916800
 k  11 10  9  8  7  6  5  4  3  2 1 1
– Então:
 n  k n k 12 
1
121  12  (0,1)1  (0,9)11  0,3766
p( x  k )     p  q     (0,1)  (0,9)
1 
k 
– A probabilidade de sair uma peça com defeito é de
37,66%. Logo, a probabilidade de sair um a peça sem
defeito é 62,34%
Distribuição Binomial

Agora podemos calcular a média, e desvio
padrão:
X
Defeito Sem Defeito
P(x) 0,3766 0,6234
p

Média:

Variância:
q
  n  p 12  0,3766  4,5192
 x   n. p.q 12  0,3766  0,6234  2,8172
2

Desvio padrão:
 ( x)  n. p.q  2,8172  1,6785
Exercícios

Um levantamento efetuado em um pregão da
bolsa de valores mostrou que naquele dia 40%
das empresas tiveram aumento do valor de suas
ações, enquanto que as ações das empresas
restantes ficaram estáveis ou perderam valor.
Um fundo negocia com ações de 10 destas
empresas. Calcule a probabilidade de que neste
dia:
– Todas as ações tenham se valorizado
– Exatamente 3 ações tenham se valorizado.
Resp: a) 0,1% b) 21,5%