VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
DISCRETAS
OBJETIVO
Incorporar o conceito de probabilidade ao
estudo de variáveis aleatórias (características
associadas a uma população).
Variável Aleatória (v.a.): Uma função X que associa
a cada elemento do espaço amostral um valor em
um conjunto enumerável de pontos da reta é
denominada variável aleatória discreta.
OBS: Se o conjunto de valores é qualquer intervalo
de números reais, X é denominada variável aleatória
contínua.
Exemplos:
1) Observar o sexo de filhotes em ninhadas de três
filhotes.
 ={(MMM), (MMF), (MFM), (FMM), (MFF), (FMF), (FFM),(FFF)}
Defina X: nº. de filhotes machos (M).
Então X é uma v.a. discreta que assume valores no
conjunto, ou seja, X = {0, 1, 2, 3}.
2) Observar o tempo de vida de um equipamento.
VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA
Uma variável aleatória pode ser caracterizada por
funções, gráficos e medidas descritivas.
Função de probabilidade ( f.p.): É uma função que
atribui a cada valor xi da v. a. discreta X sua
probabilidade de ocorrência e pode ser apresentada
pela tabela:
Uma função de probabilidade deve satisfazer:
0 ≤ P(X = x i ) ≤ 1
e
n
∑ P(X = xi ) = 1
i=1
Exemplo 1:
Uma turma de estudantes é formada por 35
pessoas, sendo 21 homens e 14 mulheres. Uma
comissão de 3 alunos será constituída
sorteando, ao acaso (sem reposição), três
membros da turma. Considerando como v.a. o
número de mulheres na comissão: (a) Determine
a função de probabilidade; (b) Calcule a
probabilidade da comissão ser formada por, pelo
menos, duas mulheres; (c) Construa o gráfico
apropriado.
Seja X a variável aleatória que representa o
número de mulheres na comissão.
GRÁFICO - VARIÁVEL ALEATÓRIA
DISCRETA
O gráfico associado a função de probabilidade é
denominado de gráfico de linhas. É semelhante ao
gráfico de colunas.
Gráfico de linhas: Cada valor xi da v. a. discreta X é
representado por uma linha com altura igual a sua
probabilidade de ocorrência.
O gráfico é obtido diretamente da tabela da função de
probabilidade.
Gráfico de linha do Exemplo 1:
Interpretações:
Comissões com uma mulher são mais prováveis.
Distribuição ligeiramente assimétrica a direita.
Exemplo 2: Um dado é lançado duas vezes de forma
independente. Seja X a v.a. que representa a soma dos
resultados. (a) Determine a função de probabilidade. (b)
Qual é a probabilidade da soma dos pontos ser menor
do que 6? (c) Construa o gráfico apropriado e
interprete-o.
 = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6),
(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6),
(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6),
(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6),
(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6),
(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}.
Admitindo que o dado é perfeitamente homogêneo
e sendo os lançamentos independentes, então
X: soma dos pontos {2, 3, 4, ...,12}
Função de probabilidade de X:
Então,
P (X < 6) = P(X=5) + P(X=4) + P(X=3) + P(X=2)
= 4/36 + 3/36 + 2/36 + 1/36
= 10/36 = 0,278
Gráfico de linha do Exemplo 2:
Interpretações:
A soma 7 é a mais provável, enquanto as somas
1 e 12 são as menos prováveis.
Distribuição perfeitamente simétrica.
MÉDIA
E VARIÂNCIA (v.a.
Qual é o valor médio
(ponto de equilíbrio da
discretas)
distribuição de probabilidade) da soma dos pontos no
lançamento de dois dados?
Valor Esperado (média): Dada a v. a. X, assumindo os
valores x1, x2, ..., xn, chamamos de valor médio ou
valor esperado ou esperança matemática de X o valor
n
E(X) = x 1.P(X = x 1 ) + ... + x n .P(X = x n ) = ∑ x i .P(X = x i )
i= 1
Notação: μ = E(X)
No exemplo,
E(X) = 2.(1/36) + 3. (2/36) + ... + 11. (2/36) + 12. (1/36)
= 252/36 = 7 pontos
ou seja, em média, a soma dos pontos no lançamento
dos dois dados é 7 pontos.
Variância: É o valor esperado da v.a. (X – E(X))2, ou
seja, se X assume os valores x1, x2, ..., xn,
n
Var(X) = ∑ [xi - E(X)] . P(X = x i )
2
i =1
Notação: σ2 = Var(X).
Da relação acima, segue que
2
2
Var(X) = E(X ) – [E(X)] .
Desvio Padrão: É definido como a raiz quadrada
positiva da variância, isto é,
DP(X) = Var(X).
Notação: σ = DP(X).
No exemplo (soma das faces de dois dados)
Var(X)= (2 - 7)2.
=
1
2
2
1
+ (3 - 7)2 .
+ ... + (11- 7)2.
+ (12- 7)2.
36
36
36
36
210
= 583
, (pontos^2).
36
2
2
Alternativamente, poderíamos calcular Var(X) = E(X ) – [E(X)] .
1
2
2
1
+ 32 .
+ ... + 112 .
+ 122 .
36
36
36
36
1974
=
= 54,83
36
E(X2 ) = 2 2.
e, portanto, Var(X) = 54,83 – 72 = 5,83 (pontos^2).
Propriedades:
1) Se Y = aX + b, onde a e b são constantes, então
E(Y) = E(aX + b) = aE(X) + b
e
Var(Y) = Var(aX + b) = a2 Var(X).
2) Se X1, X2, ..., Xn são n variáveis aleatórias, então
E(X1 + ... + Xn) = E(X1) + E(X2) + ... + E(Xn).
3) Se X1, X2, ..., Xn são independentes, então
Var(X1 + ... + Xn) = Var(X1) + Var(X2) + ... + Var(Xn).
Função de Distribuição Acumulada (f.d.a.)
A função de distribuição acumulada (ou função de
distribuição) de uma variável aleatória discreta (ou
continua) X é definida, para qualquer valor real x,
pela seguinte expressão:
F ( x) = P( X ≤ x)
Observe que o domínio de F é todo o conjunto dos
números reais, ao passo que o contradomínio é o
intervalo [0,1]
Exemplo 1
Considere o exemplo da tabela da f.p. de X: nº de
mulheres na comissão.
a f.d.a. de X será dada por
0, se x < 0
F ( x) =
0,203, se x ≤ 0
0,684, se x ≤1
0,975, se x ≤ 2
1, se x ≤ 3 (x ≥ 3)
18
F(x)
1
0.975
0.684
0.203
0
1
2
3
x
19
Use o gráfico anterior e calcule a probabilidade de se
ter até duas mulheres na comissão.
F(x)
1
0.975
0.684
0.203
0
1
2
3
x
F (2) = P ( X ≤ 2) = 0,975
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