Análise de Dados e Probabilidade Caderno de Exercícios VIII

Análise de Dados e Probabilidade
Caderno de Exercícios
VIII – Distribuições de Probabilidade
70.
a)
Comecemos por calcular a probabilidade associada aos valores que Y pode assumir:
𝑃𝑃(𝑌𝑌 = 1) =
𝑃𝑃(𝑌𝑌 = 2) =
1
10
1
9 1
× =
10 9 10
Onde a probabilidade acima foi obtida como P(Y=2) = P(bola preta não sair na primeira
extracção) X P(bola preta sair na segunda extracção|bola preta não saiu na primeira extracção)
= 9/10 X 1/9 = 1/10.
Seguindo a mesma lógica, obtemos:
𝑃𝑃(𝑌𝑌 = 3) =
1
9 8 1
× × =
10 9 8 10
𝑃𝑃(𝑌𝑌 = 4) =
1
9 8 7 1
× × × =
10 9 8 7 10
e
É fácil de ver que todas a probabilidades serão iguais a 1/10. As diferentes ordens de saída são
equiprováveis. A função de probabilidade é então dada por:
1
𝑓𝑓(𝑦𝑦) = �10 ,
0,
𝑦𝑦 ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
Uma vez que todos os eventos possíveis são equiprováveis, a função segue uma distribuição
uniforme.
b)
10
10
y=1
y=1
1
1 1 + 10
1
×y=
�y =
×
= 5,5
E[Y] = � f(y) × y = �
10
10
2
10
y
Série aritmética
Em alternativa, poderíamos usar directamente a expressão do valor esperado da distribuição
uniforme,
E(Y) =
i+j
,
2
onde i = 1 e j = 10.
2
2
10
Var(Y) = � f(y) × y − E[Y] = �
y
= (… ) = 8,25
y=1
1
1 2
(1 + 22 + 32 + ⋯ + 102 ) − 5,52
× y 2 − 5,52 =
10
10
Tal como no caso do valor esperado, poderíamos recorrer directamente à expressão da
variância da distribuição uniforme:
Var(Y) =
71.
(j+i−1)2 −1
12
.
a)
A variável X representa uma experiência feita uma única vez e que pode assumir dois
resultados possíveis com uma dada probabilidade de sucesso. Segue, portanto, uma
distribuição de Bernoulli,
1
2
𝑋𝑋~𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 �𝑝𝑝 = �,
com a seguinte função de probabilidade:
𝑓𝑓(𝑥𝑥) =
1
,
2
�1 ,
2
0,
𝑥𝑥 = 1
.
𝑥𝑥 = 0
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
A distribuições de Bernoulli possuem valor esperado E[X] = p e variância Var(X) = p ×
(1 − p):
1
2
1
2
1
2
E[X] = ∑x f(x) × x = × 1 + × 0 = = p,
1
1 2 1
1
Var(X) = � f(x) × x 2 − E[X]2 = × 12 + × 02 − � � = = p × (1 − p).
2
2
4
2
x