variável aleatória

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8 VARIÁVEL ALEATÓRIA
Definição: Sejam E um experimento e  o espaço amostral associado a esse experimento. Uma
função X, que associe a cada elemento    um número real X   é denominado variável
aleatória.
Exemplo: Seja uma família com duas crianças.
(a) Escreva todas as situações possíveis de ocorrer quanto ao sexo das crianças.
(b) Seja a variável aleatória X que representa o número de meninos. Determine os possíveis valores
de X.
8.1 Tipos de Variáveis Aleatórias
 Uma variável aleatória X é dita discreta quando seu contradomínio R X  é um conjunto
finito ou infinito enumerável.
 Uma variável aleatória X é dita contínua quando seu contradomínio
RX 
é um
conjunto infinito.
8.2 Função de Probabilidade
Seja X uma variável aleatória (v.a.) discreta. A cada resultado possível xi associaremos
um número pxi   P X  xi  , denominado de probabilidade de xi . A função p é denominada de
função de probabilidade da variável aleatória X.
De modo geral, px é uma função de probabilidade se:
(i) 0  pxi   1, i
(ii)
 pxi   1
i
O conjunto de pares xi , pxi  é denominado de distribuição de probabilidade de X. O
gráfico de px é chamado de gráfico de probabilidade.
2
Exemplos
1) Seja E o evento “lançamento de duas moedas” e X a variável aleatória que representa o número
de “caras” que aparecem.
a) Determine o espaço amostral  ;
b) Determine os valores possíveis de X;
c) Determine a função de probabilidade correspondente à v.a. X;
d) Construa o gráfico de probabilidade.
2) Na construção de um certo prédio, as fundações devem atingir 15 metros de profundidade e, para
cada 5 metros de estacas colocadas, o operador anota se houve alteração no ritmo de perfuração
previamente estabelecido. Essa alteração é resultado de mudanças para mais ou para menos, na
resistência do subsolo. Nos dois casos, medidas corretivas serão necessárias, encarecendo o custo da
obra. Com base em avaliações geológicas, admite-se que a probabilidade de ocorrência de
alterações é de 0,1 para cada 5 metros. O custo básico inicial é de 100 UPCs (unidade padrão de
construção) e será acrescido de 50k , com k representando o número de alterações observadas.
Como se comporta a variável custo das obras de fundação?
8.3 Função de Distribuição de Probabilidade
A função de distribuição de probabilidade, ou função acumulada de probabilidade, de uma
variável aleatória X é definida como:
F x  P X  x
onde x é um número real.
Se X for discreta, podemos escrever:
F x  
 px 
i
xi x
Se X assume apenas um número finito de valores x1 , x 2 , , x n , então a distribuição de
probabilidade é dada por:
3
0


px1 

F x    px1   px 2 



 px1     px n 
se
x  x1
se
x1  x  x 2
se x 2  x  x3

se

x  xn
Exemplo
Uma população de 1000 crianças foi analisada num estudo para determinar a efetividade de uma
vacina contra um tipo de alergia. No estudo, as crianças recebiam uma dose de vacina e, após um
mês, passava por um novo teste. Caso ainda tivessem tido alguma reação alérgica, recebiam outra
dose da vacina. Ao fim de 5 doses todas as crianças foram consideradas imunizadas. Os resultados
completos estão na tabela a seguir.
Doses
Freqüência
1
2
3
4
5
245
288
256
145
66
a) Determine a função de probabilidade da v.a. X que conta o número de doses recebidas.
b) Determine a função de distribuição da v.a. X, e faça sua representação gráfica.
8.4 Propriedades da Função de Distribuição
(1) 0  F x   1
(2) lim F x   0
x
(3) lim F x   1
x
(4) F x  é uma função não-decrescente, isto é, se x1  x2  F x1   F x2 
(5) Px1  X  x2   F x2   F x1  sendo x 2  x1 .
(6) Px1  X  x2   F x2   F x1   P X  x1 
(7) Px1  X  x2   F x2   F x1   P X  x2 
4
8.5 Função Densidade de Probabilidade
Seja X uma variável aleatória contínua. Define-se função densidade de probabilidade como
sendo a função f que satisfaz as seguintes propriedades:
(i) f x  0,  x  (,  )

(ii)
 f xdx  1

A propriedade (ii) indica que a área total limitada pela curva que representa f x  e o eixo
das abscissas é igual a 1.
Seja o intervalo a, b R X . Então, a probabilidade de um certo valor x pertencer a esse
intervalo será dada por:
Pa  X  b 
 f xdx
b
a
Exemplos
cx 2 ,
0 x3


f
x

1) Considere a função
.

 0, caso contrário
a) Determinar a constante c de modo que a função seja uma f.d.p.
(b) Calcule P1  X  2.
x
 ,
2 x6
2) Seja X uma variável contínua, cuja f.d.p. é dada por f x   16
. Calcular:
 0, caso contrário
a) P3  X  4
b) P X  5
c) Represente graficamente a f.d.p.
3) Num teste educacional com crianças, o tempo para a realização de uma bateria de questões de
raciocínio verbal e lógico é medido e anotado para ser comparado com um modelo teórico. Este
teste é utilizado para identificar o desenvolvimento das crianças e auxiliar a aplicação de medidas
corretivas. O modelo teórico considera T, tempo de teste em minuto, como uma variável aleatória
contínua com função densidade de probabilidade dada por:
5
1
se 8  t  10
 40 t  4,

3
f t   
,
se 10  t  15
 20
0,
caso contrário


a) Verifique se essa função é realmente um f.d.p.
b) Represente graficamente a f.d.p. da v.a. T.
c) Calcule P9  T  12.
8.6 Função de Distribuição de uma Variável Aleatória Contínua
Sendo X uma variável aleatória contínua com f.d.p. f , a função de distribuição de X será:
F  x   P X  x  
 f udu
x

Quando a função de distribuição acumulada F x  de uma v.a. contínua X for conhecida,
pode-se determinar a função densidade de probabilidade fazendo:
f x  
dF x 
.
dx
Exemplos
1) Determine a f.d.p. da v.a. contínua X, que tem a seguinte função de distribuição:
x0
 0, se
 2
F x    x , se 0  x  1 .
 1, se
x 1

1  e 2 x , x  0
2) A função distribuição de uma variável aleatória X é: F x   
. Determine:
x0
 0,
(a) A f.d.p. da v.a. X.
(b) P X  2
(c) P 3  X  4