variáveis aleatórias unidimensionais

CAPÍTULO 3
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS UNIDIMENSIONAIS
3.1 Introdução
Uma variável aleatória, representada sempre por letra maiúscula, pode ser discreta ou contínua.
Ela é discreta se tiver uma série finita (ou infinita numerável) de valores. Por exemplo: X=número
de caras em 3 arremessos de uma moeda, acarretando x=0,1,2,3 (série finita), em que x é um valor
específico que esta variável venha a tomar; X=número de arremessos necessários para conseguir a
primeira cara, acarretando x=1,2,3,... (série infinita numerável).
Uma variável aleatória contínua assume qualquer valor dentro de uma certa faixa. Por exemplo:
X=galões/h que passam através de um medidor de vazão, com capacidade de 50 galões/h. Assim, x
pode ser qualquer valor dentro desta faixa.
3.2 Variável Aleatória Discreta
Considere o seguinte exemplo: Suponha um casal que planeja ter 3 crianças. Eles estão
interessados em saber o número de meninas que poderiam ter. Este é um exemplo de uma variável
aleatória, que representa o evento:
X = {número de meninas}
Os possíveis valores de X são X={0,1,2,3}, onde x=0, x=1, x=2 e x=3. A probabilidade de X é
chamada P(X) e a de x é p(x). No entanto, estas possibilidades não são igualmente prováveis,
segundo uma pesquisa americana, que diz que há 52% de probabilidade de nascer menino e 48% de
probabilidade de nascer menina, para cada nascimento. Considere a Figura 1, que representa a
árvore de probabilidade para uma família de 3 crianças. Verifica-se a possibilidade de 8
combinações diferentes, que consiste no chamado espaço amostral.
As probabilidades da árvore foram obtidas da seguinte forma: P(HMH)=0.52*0.48*0.52=0.13.
A variável aleatória X pode tomar 4 valores diferentes, X={0,1,2,3}, cada um deles representando 0,
1, 2 e 3 meninas, resultando nas probabilidades iguais a 0.14, 0.39, 0.36 e 0.11, respectivamente,
como mostrado na Tabela 3.1.
Tabela 3.1 – Distribuição de Probabilidade
x
p(x)
0
0.14
1
0.13+0.13+0.13=0.39
2
0.12+0.12+0.12=0.36
3
0.11
1
Espaço
Amostral
H
H
Probabilidade
HHH
0.14
HHM
0.13
HMH
0.13
M
HMM
0.12
H
MHH
0.13
MHM
0.12
MMH
0.12
MMM
0.11
M
H
H
M
H
M
M
H
M
M
Figura 3.1 – Árvore de Probabilidade
A distribuição de probabilidade de X é chamada (xi, p(xi), i=1,2...}, em que p(x) é conhecida
como distribuição ou função de probabilidade. A representação gráfica dessa distribuição é dada na
Figura 3.2.
0.39
0.36
0.14
0.11
x
0
1
2
3
Figura 3.2 – Gráfico de Distribuição de Probabilidade
A função probabilidade p(x) deve satisfazer:
i)
p(xi)  0  i
(1)

ii)
 p( x )  1
i 1
i
(2)
e pode ser dada em função das distribuições binomial, hipergeométrica e Poisson, que serão vistas
posteriormente.
3.3 Variável Aleatória Contínua
As variáveis aleatórias contínuas são típicas de medidas físicas ou temporais. O tratamento
matemático de probabilidade destas variáveis envolve conceitos de cálculo.
2
Para uma variável aleatória contínua define-se a probabilidade P(X) como:
b
P(a  X  b)   f ( x)dx
(3)
a
em que a função f(x) é chamada função densidade de probabilidade (pdf), que satisfaz:
i)
ii)
f(x)  0  x  RX
 f ( x)dx  1
(4)
(5)
RX
onde RX é o espaço amostral, chamado de contradomínio, que contém todos os valores numéricos
possíveis de X. A Figura 3.3. apresenta um exemplo de f(x).
f(x)
x
Figura 3.3. – Função Hipotética da Densidade de Probabilidade
É importante frisar que f(x) não representa a probabilidade de algo; esta probabilidade surge
como o resultado da integração da função entre dois pontos.
A função densidade de probabilidade pode ser representada pela distribuição normal
(Gaussiana), exponencial, uniforme e gama, que serão vistas posteriormente.
3.4 Média e Variância de Variáveis Aleatórias (ou de Distribuições)
i)
Média ou Valor Esperado ou Primeiro Momento (Origin Moment):
a) Variável Discreta:
  E ( X )   xi p ( xi )
(6)
i
b) Variável Contínua:
  E( X ) 

 xf ( x)dx
(7)

ii)
Variância ou Segundo Momento (Origin Moment):
a) Variável Discreta:  2  Var ( X )   ( xi   ) 2 p( xi )   xi2 p( xi )   2 (8)
i
b) Variável Contínua:

 2  Var ( X )   ( x   ) 2 f ( x)dx 


x
2
f ( x)dx   2  E ( X 2 )  E ( X ) 2
(9)

De uma forma geral, os momentos em torno da origem podem ser expressos pelas equações
abaixo:
3
a) Variável Discreta:
 k'   xík p( xi )
k=0,1,2, ...
(10)
i
b) Variável Contínua:  k' 

x
k
f ( x)dx
(11)

Os momentos centrais (momentos em torno da média) são calculados através das equações
abaixo:
a) Variável Discreta:
 k   ( xí   ) k p ( xi )
k=0,1,2, ...
(12)
i

b) Variável Contínua:  k   ( x   ) k f ( x)dx
(13)

em que =1 e 2=2.
Ex.: Considere o exemplo dado anteriormente sobre o número de meninas na família.
3.5 Função Distribuição
A função distribuição ou função distribuição cumulativa de uma variável aleatória X é
denotada por FX e definida por:
a) Variável Discreta:
FX ( x )   p ( x i )
para xi  x
(14)
i

b) Variável Contínua:
FX ( x ) 
 f ( x)dx
(15)

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