desvio padrão

Média e valor médio
No estudo da estatística descritiva, para além das
tabelas de frequências e gráficos, estudam-se
outros métodos para resumir a informação obtida a
partir da amostra.
Entre esses métodos destacam-se as medidas de
localização (média, mediana, moda e quartis) e as
medidas de dispersão (desvio médio, variância e
desvio padrão).
Nas probabilidades tem particular interesse o
estudo da média (valor médio) e do desvio padrão.
Média versus valor médio *
 
A média x é uma
característica da amostra
e portanto o seu valor
varia de amostra para
amostra, sendo calculado
para cada uma delas.
O valor médio () é uma
característica da população
em estudo, e, embora na
maior parte das vezes seja
desconhecido, tem um valor
fixo.
n
   xi  pi
n
x
 f x
i 1
i
n
i
n
  fri  xi
i 1
i 1
(*) também se chama esperança
matemática ou valor esperado.
Desvio padrão amostral / Desvio padrão populacional
O desvio padrão diz-nos se os dados (se a população)
estão muito ou pouco concentrados em torno da média
(do valor médio). Portanto, quanto maior for o desvio
padrão mais dispersos são os dados.
 x  x
n

i 1
i
n
2
 fi

n
2
(
x


)
 pi
 i
i 1
Nota: As fórmulas do valor médio e do desvio padrão
populacional resultam de substituirmos, nas fórmulas da
amostra, as frequências relativas pela probabilidade. Assim,
obtemos as correspondentes medidas para a população.
Problema 1
Uma questão de escolha múltipla tem 4 hipóteses de
resposta, das quais apenas uma está correta. Se o aluno
responder corretamente ganha 9 pontos e se responder
erradamente perde 3 pontos (isto é, são-lhe retirados 3
pontos).
Se o aluno responder ao acaso, quantos pontos deve,
em média, obter?
Resolução
Temos de calcular o valor médio da variável aleatória X
(pois estamos a supor que o aluno responde ao acaso)
X:= pontuação obtida na questão
A variável X toma os valores -3 e 9, isto é, X{-3, 9}
A distribuição de probabilidades desta variável é
X = xi
P(X=xi)
-3
3/4
9
1/4
3
1
9 9
Assim, o valor médio é   3   9      0
4
4
4 4
Portanto, se o aluno responder ao acaso, a pontuação
média ou valor esperado é zero.
Nota: Até 2005?, a classificação das questões de escolha múltipla nos exames
do 12º ano de Matemática seguia este critério. Qual era o objetivo?
Pretendia-se que o aluno não respondesse ao acaso, pois caso o fizesse,
obtinha, em média, zero pontos.
Problema 2
Uma questão de escolha múltipla tem 5 hipóteses de
resposta, das quais apenas uma está correta.
Se cada resposta certa valer 12 pontos, quanto deve ser
descontado por cada resposta errada para que a
pontuação esperada por um aluno que responda ao
acaso seja zero pontos?
Resolução
Pretende-se que o valor médio da variável X seja zero, isto é,
4
1
E   12   0
5
5
de onde resulta
12
E    3
4
Assim, cada questão errada deverá ter um desconto de 3 pontos.
Problema 3 (Teste Intermédio de dezembro de 2005)
O João vai lançar 6 mil vezes um dado equilibrado, com as faces
numeradas de 1 a 6, e adicionar os números obtidos.
De qual dos seguintes valores se espera que a soma obtida pelo
João esteja mais próxima?
(A) 20 000
(B) 21 000
(C) 22 000
(D) 23 000
Resolução
Sendo X a variável aleatória: número obtído no lançamento do
dado, temos a seguinte distribuição de probabilidades:
X=xi
1
2
3
4
5
6
P(X=xi)
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
O valor médio esperado para a variável X (por cada lançamento) é
  1
1
1
1
1
1
1
21
 2   3  4   5  6  
 3, 5
6
6
6
6
6
6
6
Assim, em 6 mil lançamentos a soma esperada é 60003,5 = 21 000
Exercício 5 (Exame 2006 – 2ª fase)
A tabela de distribuição de probabilidades de uma variável
aleatória X é
X = xi
P(X=xi)
0
a
1
a
2
0,4
Qual é o valor médio desta variável aleatória ?
(A) 1,1
(B) 1,2
(C) 1,3
(D) 1,4