Lista 7

Universidade de São Paulo
Escola Superior de Agricultura “Luiz de Queiroz”
Departamento de Ciências Exatas
LCE0212 - Estatística Aplicada às Ciências dos Alimentos
Prof.: Izabela Regina C. de Oliveira
7a Lista de exercícios - Distribuições contínuas de probabilidade
1) Verificar se
(
2x + 3,
0,
se
se
0<x≤2
x ≤ 0 ou x > 2
é uma f.d.p.
R: Não é f.d.p.
2) Seja
(
kx,
0,
se
se
0<x≤1
x ≤ 0 ou x > 1.
Determinar:
a. O valor de k a fim de que f (x) seja f.d.p.
R: k = 2
b. O gráfico de f (x).
c. P (0 ≤ X ≤ 1/2).
R: 1/4
d. E(X).
R: 2/3
e. V ar(X).
R: 1/18
3) Seja X: tempo de durante o qual um equipamento elétrico é usado em carga máxima, num
certo período de tempo, em minutos. A função densidade de probabilidade de X é dada por:

1


x,

 15002




0 ≤ x < 1500
se
1
(3000 − x),
15002
se
1500 ≤ x ≤ 3000.
Calcular a E(X), ou seja, o tempo médio em que o equipamento será utilizado em carga máxima.
R: 1500 min.
4) Uma variável aleatória contínua X tem f.d.p. dada por:

 k e−x ,
2

0,
se
x≥0
se
x < 0.
Calcule o valor de k.
R: k = 2.
5) O diâmetro X de um cabo elétrico é uma variável aleatória contínua com f.d.p. dada por:
(
k(2x − x2 ),
0,
0≤x≤1
x < 0 ou x > 1.
se
se
a. Determinar k.
R: k = 3/2.
b. Calcular E(X) e V ar(X).
R: 5/8 e 19/320.
c. Calcular P (0 ≤ X ≤ 1/2).
R: 5/16.
6) A f.d.p.
(
2e−2x ,
0,
se
se
x≥0
x<0
representa a distribuição do índice de acidez (X) de um determinado produto alimentício. O
produto é consumível se este índice for menor que 2. O setor de fiscalização apreendeu 30
unidades do mesmo. Qual a probabilidade de que pelo menos 10% da amostra seja imprópria
para consumo? R: 0,02172.
7) Dadas as funções abaixo, verificar para que valores de k elas podem ser consideradas f.d.p.
Calcular E(X) e V ar(X).
(
a.
kx2 ,
0,
se
se
0≤x≤2
x < 0 ou x > 2
(
b.
k(2 − x),
0,
(
c.
se
se
ke−2x ,
0,
0≤x≤1
x < 0 ou x > 1
se
se
x≥0
x<0
R: a. 3/8,3/2,3/20; b. 2/3, 4/9, 13/162; c. 2, 1/2, 1/4
8) A duração de uma lâmpada é uma variável aleatória T , cuja f.d.p. é:


1 −t/1000
e
,
1000

0,
para
t ≥ 0 (em horas)
para
t < 0.
Calcular a probabilidade de uma lâmpada:
a. Se queimar antes de 1000 horas.
R: 0,632
b. Durar entre 800 e 1200 horas.
R: 0,148
9) O diâmetro X de um tubo é uma variável aleatória contínua com f.d.p. dada por:

 3x − 3 x2 ,
2

0,
se
0≤x≤1
se
x < 0 ou x > 1.
A probabilidade de um tubo sair com defeito (diâmetro fora das especificações) é p = 0, 5125 −
P (x ≤ 0, 5). Se 25 tubos são fabricados, qual a probabilidade de que sejam defeituosos:
a. pelo menos 4 tubos?
R: 0,76600
b. exatamente 6 tubos?
R: 0,16335
Referência:
MORETTIN, L. G. Estatística básica. v.1. 7 ed. São Paulo: Makron Books. 1999.