Lista de exercícios

Universidade Federal Rural do Semiárido-UFERSA
Departamento de Ciências Exatas e Naturais
Curso: Bacharelado em Ciência e Tecnologia e Computação
Disciplina: Álgebra Linear
Aluno(a):
Lista de exercícios
1. Sejam n um inteiro positivo (n ≥ 2) e V o espaço vetorial das n × n matrizes. Quais dos seguintes
conjuntos de matrizes A em V são subespaços de V ?
(a)
(b)
(c)
(d)
todas A
todas A
todas A
todas A
inversíveis.
não inversíveis.
tais que AB = BA, onde B é uma certa matriz xa em V .
tais que A2 = A
2. Demonstrar que um subespaço de R ou é R ou é o subespaço nulo.
3. Sejam W1 e W2 subespaços de um espaço vetorial V tais que a reunião de W1 e W2 também seja
um subespaço. Demonstrar que um dos espaços Wi está contido no outro.
4. Seja V o espaço das funções de R em R. Seja Vp o subconjunto das funções pares, f (−x) = f (x);
seja Vi o subconjunto das funções ímpares f (−x) = −f (x).
(a) Demonstrar que Vp e Vi são subespaços de V .
(b) Demonstrar que Vp + Vi = V
(c) Demonstrar que Vp ∩ Vi = {0}
5. Sejam W1 e W2 subespaços de um espaço vetorial V tais que W1 + W2 = V e W1 ∩ W2 = {0}.
Demonstrar que para cada vetor α em V existem vetores bem determinados α1 em W1 e α2 em
W2 , tais que α = α1 + α2 .
6. Seja V um espaço vetorial e suponha que u, v e w são vetores L.I.. Mostre que u + v, u + w e v + w
são vetores L.I..
7. Seja V um espaço vetorial. Suponhamos que existam um número nito de vetores v1 , v2 , . . . , vr
que gerem V . Mostrar que V é de dimensão nita.
8. Seja V um espaço vetorial e u, v ∈ E . O segmento de reta de extremidades u, v é, por denição, o
conjunto
[u, v] = {(1 − t)u + tv; 0 ≤ t ≤ 1}.
Um conjunto X ⊂ V chama-se convexo quando u, v ∈ X ⇒ [u, v] ⊂ X , prove que a interseção
X1 ∩ X2 ∩ . . . ∩ Xm de conjuntos convexos X1 , . . . , Xm ⊂ E é um conjunto convexo.
9. Considere os subespaços F1 , F2 ⊂ R3 assim denidos: F1 é o conjunto de todos os vetores v =
(x, x, x) que tem as três coordenadas iguais e F2 é o conjunto de todos os vetores w = (x, y, 0) que
tem a última coodenada igual a zero. Mostre que R3 = F1 ⊕ F2
10. Seja V um espaço vetorial e X um subconjunto de V . Prove que o subespaço gerado pelo conjunto
X é ainterseção de todos os subespaços vetoriais que contêm o conjunto X ⊂ V .
11. Diz-se que uma função f : X → R é limitada quando existe k > 0(dependendo da f ) tal que
|f (x)| ≤ k para todo x ∈ X . Prove que o conjunto das funções limitadas é um subespaço vetorial
de F(X).
12. Obtenha uma base e consequentemente determine a dimensão de cada um dos subespaços de Mn×n
abaixo descritos:
(a)
(b)
(c)
(d)
matrizes cuja soma dos elementos da diagonal é zero.
matrizes que tem a primeira e a última linha iguais a zero.
matrizes cuja segunda linha é igual à terceira coluna.
matrizes nas quais a soma dos elementos da primeira linhaé igual `soma dos elementos da
segunda coluna.
13. Prove que num espaço vetorial V existe um único vetor nulo e cada elemento de V possui um único
inverso.
14. Seja V = R3 e B = {(0, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 2, 1)} ⊂ R3
(a) Mostrar que B não é base do R3 .
(b) Determinar uma base do R3 que possua dois elementos de B .
15. Usando derivada, prove que:
(a) {ex , e2x , x3 , x2 , x} é um conjunto L.I.
(b) {1, ex , e2x , e3x , e4x } é um conjunto L.I.