Álgebra Linear 2- 2008/2 Gabarito do Primeiro Exame Primeira

Álgebra Linear 2- 2008/2
Gabarito do Primeiro Exame
Primeira questão (2 pontos): Se
são m vetores que
geram um subespaço de dimensão k em um espaço vetorial real V de
dimensão n, considere U
dado por
U=
Mostre que U é subespaço vetorial de
. Determine a dimensão de U,
caso possível. Caso contrário, que informações adicionais são necessárias?
Justifique sua resposta.
Resolução: Se
e
então
Logo
Logo
. Além disso,
, para qualquer
Concluímos que U é subespaço vetorial de
.
.
Escolhendo uma base para V e escrevendo cada
como um vetor coluna,
vemos que a equação vetorial
se transforma em um sistema com n equações e m incógnitas, cujo espaço
solução é precisamente U e cujo posto é k, que é a dimensão do seu
espaço coluna. A dimensão de U será portanto a nulidade do sistema, que
é igual a mk .
Outra forma: podemos aplicar o teorema do núcleo e da imagem à
transformação linear
dada por
cujo núcleo é U e cuja imagem é W, obtendo
Segunda questão (2 pontos): Seja
definida por
“a i-ésima coordenada de
Mostre que
k = m.
é igual a
”
e que
(a segunda igualdade decorre da primeira, mas também pode ser
mostrada a partir da expressão para )
Resolução: Escrevamos
Mostrar que
é o mesmo que mostrar que
para cada .
Como
Obtemos que
Para cada
, podemos escrever
Vemos que
está em
Assim,
, e obviamente
. Como
está em
.
. Para mostrar que a soma é direta, falta
mostrar que
e
e portanto
. Se
, para algum . Logo
.
, então
Uma vez mostrado que
, também é possível usar o
teorema do núcleo e da imagem e a fórmula para a dimensão da soma de
subespaços para mostrar que
.
Terceira questão (2 pontos): Que propriedades, em número mínimo,
caracterizam a função determinante de matrizes
? (enuncie
matematicamente as propriedades e explique o que significa
“caracterizar” neste contexto).
Enuncie a regra de Cramer para sistemas
e use apenas as
propriedades da função determinante para demonstrá-la.
Resolução: As propriedades que caracterizam o determinante podem ser
encontradas, por exemplo, na página 264 do capítulo 19 do Elon, na
página 221 do capítulo 8 do Lipschutz, ou ainda na página 84 da segunda
seção do capítulo VI do Lang, nesta última com uma pequena variação na
propriedade de alternância, substituída por outra equivalente. As
propriedades caracterizam a função determinante no sentido de que o
determinante é a única função nas colunas de uma matriz
que as
satisfaz.
O enunciado da regra de Cramer, bem como sua demonstração, podem
ser encontrados, por exemplo, no exemplo 19.6 do capítulo 19 do Elon, e
na terceira seção do capítulo VI do Lang (teorema 2)
Quarta questão (3 pontos) : Suponha que
base do espaço vetorial V , e denotemos um vetor
seja uma
por
Suponha que o anulador de um subespaço W V seja gerado por
,
com coordenadas dadas em relação à base dual de .
a) Descreva W como o conjunto solução de um sistema linear. Escreva
as equações do sistema e justifique;
b) No item anterior, é necessário usar que o espaço anulado pelo
anulador de W é o próprio W? Justifique;
c) Encontre uma base para W, expressando cada um de seus vetores
em termos dos vetores de .
Resolução: (a) Chamemos de
os funcionais geradores de
que foram dados. O espaço anulado por
V anulados por cada um dos
é o conjunto dos vetores de
, ou seja, o conjunto solução do sistema
Escrevendo
e lembrando que a
ação do i-ésimo funcional da base dual de  sobre
é tomar a coordenada
, obtemos o sistema
Como o espaço anulado pelo anulador de W é o próprio W, o conjunto
solução deste sistema descreve W.
(b) Sim, veja o último parágrafo acima.
(c) Escalonando a matriz do sistema acima, chegamos a
Temos duas variáveis livres. Fazendo
. Fazendo
Concluímos que uma base para W é
, obtemos a solução
, obtemos
.
Quinta questão (3 pontos): Sejam
Sabendo que
é uma base de
transformação linear
na base
a) Expresse
e que a matriz da
é
na base canônica de
b) Mostre que
;
é base de
c) Encontre a matriz de
na base
;
d) Encontre o núcleo de ;
e) Encontre
de
em
tal que
. Expresse
na base canônica
.
Resolução: (a) Da matriz dada obtemos
(b) Como são quatro vetores em
, é suficiente mostrar que são
linearmente independentes.
(c) Chamemos
. Obtemos
Logo
Portanto a matriz de
na base
é
Também é possível obter esta matriz a partir de
(d) Escrevendo
, com
, obtemos de
que
núcleo de
. Assim, o
é formado pelos múltiplos de
(e) Como observado no item (c),
. Ou seja
. Logo, podemos escolher