Álgebra Linear I – Lista 1

Álgebra Linear I – Lista 1
Alex Farah Pereira
abril/17
Exercícios da Seção 1.1: Corpos
√
1. Prove que Q[ 2] munido das operações definidas no Exemplo 1.1.3 é um corpo.
Exercícios da Seção 1.2: Espaços Vetoriais
1. Mostre que os exemplos 1.2.1 a 1.2.7 são espaços vetoriais sobre K.
2. Verifique que os conjuntos abaixo são espaços vetoriais sobre R:
(x, x2 ) ⊕ (y, y 2 ) = (x + y, (x + y)2 )
2
(a) V = {(x, x ) ; x ∈ R} com as operações
.
α (x, x2 ) = (αx, α2 x2 )
(x1 , y1 ) ⊕ (x2 , y2 ) = (x1 x2 , y1 y2 )
(b) V = {(x, y) ; x, y > 0} com as operações
.
α (x, y) = (xα , y α )
(c) V = R∞ = {(x1 , x2 , . . .) ; xi ∈ R, ∀i ∈ N} com as operações
(x1 , x2 . . .) ⊕ (y1 , y2 , . . .) = (x1 + y1 , x2 + y2 , . . .)
.
α (x1 , x2 , . . .) = (αx1 , αx2 , . . .)
3. Verifique que os conjuntos abaixos não são espaços vetoriais sobre R. Indique qual propriedade que
falha.
(x1 , y1 ) ⊕ (x2 , y2 ) = (x1 − x2 , y1 − y2 )
2
(a) R com as operações
.
α (x, y) = (αx, αy)
(x1 , y1 ) ⊕ (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 )
(b) R2 com as operações
.
α (x, y) = (αx, y)
(x1 , y1 , z1 ) ⊕ (x2 , y2 , z2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 )
(c) R3 com as operações
.
α (x, y, z) = (0, 0, 0)
(x1 , y1 ) ⊕ (x2 , y2 ) = (x1 , x2 )
2
(d) R com as operações
.
α (x, y) = (αx, αy)
(x1 , y1 ) ⊕ (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 )
(e) R2 com as operações
.
α (x, y) = (α2 x, α2 y)
(x1 , y1 ) ⊕ (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 )
(f) R2 com as operações
.
α (x, y) = (αx, 0)
4. Prove as propriedades 4), 5) e 6) da Observação 1.2.1.
Exercícios da Seção 1.3: O Espaço das Matrizes
1. Prove as propriedades (II) e (III) da Proposição 1.3.1.
2. Dada uma matriz A = (aij ) ∈ Mm×n (R) denomina-se a transposta de A, denotada por At , a matriz
n × m definida por At = (aji ), i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n (isto é, At é a matriz onde troca-se linha por
coluna da matriz A). Prove que valem as seguintes propriedades: se A e B são matrizes reais e α é um
número real não nulo, então
(a) (A + B)t = At + B t ;
(b) (αA)t = αAt ;
(c) (At )t = A;
(d) (AB)t = B t At ;
desde que as operações acima indicadas estejam definidas.
3. Uma matriz A ∈ Mn (R) é dita simétrica quando At = A e anti-simétrica quando At = −A.
(a) Mostre que a soma de matrizes simétricas é simétrica e que o mesmo vale para matrizes antisimétricas.
(b) O produto de matrizes simétricas é uma matriz simétrica? Justifique!
(c) O produto de matrizes anti-simétricas é uma matriz anti-simétrica? Justifique!
4. Mostre que a inversa de uma matriz quadrada, quando existe, é única.
5. Demonstre a Proposição 1.3.2.
6. Seja A ∈ Mn (R). Prove que Ar+1 = Ar As e (Ar )s = Ars para todos r, s ∈ Z.
7. Uma matriz A ∈ Mn (R) é dita ortogonal quando At = A−1 . Prove que o produto de matrizes
ortogonais é uma matriz ortogonal.
8. Prove a Proposição 1.3.3 para as operações elementares (1) e (2).
9. Complete a prova da Proposição 1.3.4.
10. Sejam A, B ∈ Mn (R) tais que B ∼ A. Mostre que existe uma matriz inversível P ∈ Mn (R) tal que
B = P A.
Exercícios da Seção 1.4: Subespaços Vetoriais
1. Prove a Proposição 1.4.1.
2. Verifique que os conjuntos dos exemplos 1.4.3, 1.4.4 e 1.4.5 são subespaços vetoriais.
3. Verifique que:
(a) W = {A ; At = A} é um subespaço de Mn (R).
(b) W = {p ; p(0) = 2p(1)} é um subespaço de P(R).
(c) W = {f ; f (x) = f (−x)} é um subespaço de C([a, b], R).
4. Verifique que os conjuntos abaixos não são subespaços vetoriais.
(a) W = {(x, y, z) ; y é irracional } de R3 .
(b) W = {p ; p(t) > 0} de P(R).
R1
(c) W = {f ; 0 f (x) dx = 1} de C([0, 1], R).
Exercícios da Seção 1.5: Sistemas Lineares
1. Complete a demonstração de (3) na página 17.
2. Prove que um sistema linear homogêneo com mais incógnitas que equações é sempre compatível indeterminado. Isso vale para sistemas não-homogêneos?