1.2 SUBESPAOS VETORIAIS

1.2 SUBESPAÇOS VETORIAIS
No exemplo 1 do item 1.1.3 nós mostramos que o R3, com as operações usuais, é um espaço vetorial. No
exemplo 4 do mesmo item nós mostramos que W, com as mesmas operações, é também um espaço vetorial. Entretanto, podemos observar que W é um subconjunto de R3 que é, ele próprio, um espaço vetorial. Na verdade, ocorre
que dado um espaço vetorial V, é muitas vezes possível formar outro espaço vetorial usando um subconjunto W de
V e as operações de V. Como V é um espaço vetorial, as operações de soma e multiplicação por um escalar sempre
produzem um outro vetor de V. Agora, para que um subconjunto W de V seja um espaço vetorial, o conjunto W
deve também ser fechado para as operações de soma e multiplicação por um escalar. Ou seja, a soma de dois elementos de W tem que ser um elemento de W e a multiplicação de um elemento de W por um escalar tem que pertencer a W.
1.2.1 Definição.
Um subconjunto W de um espaço vetorial V é um subespaço vetorial de V, se valem as seguintes propriedades:
(i) O vetor nulo de V está em W;
(ii) Se u ∈ W e v ∈ W então u + v ∈ W;
(iii) Se u ∈ W e α ∈ R então αu ∈ W.
Observações.
← Alguns textos substituem a propriedade (i), nessa definição, pela suposição de que W não é vazio. Nesse caso (i)
pode ser deduzido de (iii). A melhor forma de verificar se W é subespaço é observando primeiro se ele contém o
vetor nulo de V. Se 0 está em W, então as propriedades (ii) e (iii) precisam ser verificadas. De outro modo, se 0 não
está em W, então W não pode ser um subespaço e assim, as propriedades (ii) e (iii) não precisam ser verificadas;
↑ A propriedade (ii) diz que W é fechado para a soma, ou seja, a soma de dois elementos de W é sempre um elemento de W. E a propriedade (iii) diz que W é fechado para a multiplicação por um escalar, isto é, toda vez que um
elemento de W é multiplicado por um escalar, o resultado é um elemento de W;
→ É fácil ver que as oito propriedades da definição 1.1.1 continuam válidos em W. As propriedades A3 e A4 seguem do teorema 1.1.2 e da propriedade (iii) da subespaço. As outras seis propriedades são válidas para todos os
elementos de V, logo, em particular, são válidas para todos os elementos de W. Portanto, todo subespaço de um
espaço vetorial é ele próprio um espaço vetorial.
1.2.2 Exemplo. Consideremos, como no exemplo 2, item 1.1.4 desta unidade, o espaço vetorial V = R2 com as
operações
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2 – 1, y1 + y2 – 1)
λ(x1, y1) = (λx1 – λ + 1, λy1 – λ + 1).
e os seguintes subconjuntos de V:
W1 = {(1, 1)}
(lembre que (1, 1) = 0 de V)
W2 = {(x, x) ∈ R2 / x ∈ R}
W3 = V.
Verifiquemos que W1, W2 e W3 são subespaços vetoriais de V.
• Sejam u = (1, 1) ∈ W1, v = (1, 1) ∈ W1 e λ ∈ R;
0 = (1, 1) ∈ W1;
u + v = (1 + 1 – 1, 1 + 1 – 1) = (1, 1) ∈ W1;
λu = (λ.1 – λ + 1, λ.1 – λ + 1) = (1, 1) ∈ W1;
isto é, as propriedades da definição 1.2.1 estão verificadas em W1 que, portanto, é um subespaço vetorial de V. ♦
• Sejam u = (a, a) ∈ W2, v = (b, b) ∈ W2 e λ ∈ R;
14
0 = (1, 1) ∈ W2;
u + v = (a + b – 1, a + b – 1) = (c, c) ∈ W2;
λu = (λa – λ + 1, λa – λ + 1) = (d, d) ∈ W2,
de forma que W2 é também um subespaço vetorial de V. ♦
• É imediato que W3 é um subespaço vetorial de V, uma vez que todo conjunto é um subconjunto de si mesmo. ♦
Os subespaços W1 = {0} e W3 = V são ditos subespaços vetoriais triviais de V e W2 é dito um subespaço
próprio de V. Na verdade, todo espaço vetorial contém pelo menos dois subespaços, a saber: o subespaço nulo e o
próprio espaço, por isto ditos subespaços triviais. Os demais subespaços são ditos próprios.
1.2.3 Exemplo. O espaço vetorial R2 não é subespaço do R3, por que o R2 não é nem mesmo subconjunto do R3; os
vetores de R3 têm três componentes, enquanto que os vetores do R2 têm apenas duas componentes.
O conjunto
S = {(a, b, 0); a, b ∈ R}
é um subconjunto do R3 que se “parece” e “age” como o R2.
Temos que S é um subespaço do R3.
Prova.
Sejam u = (a1, b1, 0), v = (a2, b2, 0) ∈ S e α∈R.
• 0 = (0, 0, 0) ∈ S
•
u + v = (a1, b1, 0) + (a2, b2, 0) = (a1 + a2, b1 + b2, 0) ∈ S
•
αu = α(a1, b1, 0) = (αa1, αb1, 0) ∈S.
∴ S é subespaço do R3. ♦
1.2.4 Exemplos. Subespaços vetoriais do R2:
Exemplo 1. Os subespaços próprios do R2 são do tipo W = {(x, y) / y = ax}, que, geometricamente, representam retas que passam pela origem.
De fato, em
W = {(x, ax) / x ∈ R}
tomemos u = (x1, ax1) e v = (x2, ax2) e seja α ∈ R.
• 0 = (0, 0) ∈ W
•
u + v = (x1, ax1) + (x2, ax2) = (x1 + x2, ax1 + ax2) = (x1 + x2, a(x1, x2) ) = (x3, ax3) ∈ W;
•
αu = α(x1, ax1) = (αx1, aαx1) = (x4, ax4) ∈ W. ♦
Exemplo 2. Seja, agora, W = {(x, y) ∈ R2 / y = ax + b, b ≠ 0}, que representa, para cada par de números
reais a e b, uma reta que não passa pela origem. Temos que W não é um subespaço vetorial de R2 pois 0 = (0, 0) ∉
W. ♦
Exemplo 3. Um caso interessante é tomar W = {(x, y) ∈ R2 / y = x2}, que mesmo contendo o vetor nulo não
é subespaço vetorial de R2.
15
Tomemos, por exemplo,
u = (1, 1) ∈ W
v = (2, 4) ∈ W
u + v = (3, 5) ∉ W. ♦
1.2.5 Exemplos. Subespaços vetoriais de R3.
Exemplo 1. Os triviais: W1 = {(0, 0, 0)} e W2 = R3.
Exemplo 2. Os próprios: retas e planos que passam pela origem, isto é:
W3 = {(x, y, z) / y = ax e z = bx}
e
W4 = {(x, y, z) / ax + by + cz = 0}.
Para mostrar que W3 é um subespaço vetorial de R3 procedemos como no exemplo 1, item 1.2.4 . Deixamos como exercício.
Para W4, sejam u = (x, y, z) com ax + by + cz = 0, v = (x1, y1, z1) com ax1 + by1 + cz1 = 0 e k ∈ R.
u + v = (x + x1, y + y1, z + z1)
e
a(x + x1) + b(y + y1) + c(z + z1) = (ax + by + cz) + (ax1 + by1 + cz1)
=0+0
= 0,
de modo que u + v ∈ W4.
ku = (kx, ky, kz)
e
a(kx) + b(ky) + c(kz) = k(ax + by + cz) = k.0 = 0, ou seja, ku ∈ W4. ♦
A prova de que W4 é subespaço vetorial de R3 também poderia ser feita rescrevendo W4 da seguinte maneira:
⎧⎛
⎫
a
b ⎞
W4 = ⎨⎜ x, y,− x − y ⎟ /x, y ∈ R ⎬ , de forma que os vetores de W ficam genérica e explicitamente expressos.
c
c ⎠
⎩⎝
⎭
Refaça a prova anterior definindo os vetores de W4 como sugerido.
Exemplo 3. Seja W5 = {(x, y, z) / x + y – z – 2 = 0} um plano em R3. Como W5 não contém a origem, não é
subespaço vetorial. Também podemos mostrar que, por exemplo, (1, 1, 0) + (0, 1, – 1) = (1, 2, – 1) ∉ W5 ou
2.(1, 1, 0) = (2, 2, 0) ∉ W5. ♦
Exemplo 4. O subconjunto W6 = {(x, x , x) / x ∈ R+} não é um subespaço vetorial de R3, pois
u = (4, 2, 4) ∈ W6 e v = (9, 3, 9) ∈ W6 mas u + v = (13, 6, 13) ∉ W6. ♦
Observemos que 0 = (0, 0, 0) ∈ W6, o que não é suficiente para garantir que W é um subespaço vetorial, é
uma condição apenas necessária.
1.2.6 Exemplo. V = Rm. Consideremos v1, v2, ..., vn vetores arbitrários de V e
H = {v ∈ V / v = a1v1 + a2v2 + ... + anvn, com ai ∈ R, 1 ≤ i ≤ n}.
H é um subespaço vetorial de V e é chamado de subespaço gerado pelos vetores v1, v2, ..., vn.
Prova. Seja v = a1v1 + a2v2 + ... + anvn , u = b1v1 + b2v2 + ... + bnvn , 0 = 0v1 + 0v2 + ... + 0vn e α ∈ R.
u + v = a1v1 + b1v1 + a2v2 + b2v2 +... + anvn + bnvn
= (a1 + b1)v1 + (a2 + b2)v2 +... + (an + bn)vn
= c1v1 + c2v2 + ... + cnvn ∈ H.
16
αu = αb1v1 + αb2v2 + ... + αbnvn
= d1v1 + d2v2 + ... + dnvn ∈ H. ♦
17