Aula 4 – Autovalores, Autovetores e Diagonalização

Lista 5
1. Seja W = {(x, y, z)  R3 / x + y + z = 0}. Encontre uma base para W e uma base de W .
Descreva os elementos de W.
2. Seja u = (x, y) e v = (x’, y’) em R2. Defina u, v = 2xx’ – xy’ – x’y + 2yy’. Prove que isso
define um produto interno em R2.
3. Seja u = (a, b, c)  R3 um vetor unitário, com abc  0. Determine t de modo que
v = (–bt, at, 0) e W = (act, bct,  1 t ) são tais que u, v = 0 = u, w = v, w. (... é o
canônico).
4. Seja V um espaço vetorial real com produto interno  . Prove que  u, v  V, ||u| – |v|| 
 |u – v|.
5. Num espaço vetorial real V com produto interno, o cosseno do ângulo entre dois vetores
não-nulos u e v é definido como cos(u, v) =
 u , v
. Prove se u e v são ortogonais e
u v
não-nulos , então cos2(u, u – v) + cos2(v, u – v) = 1.
6. Se V é um espaço vetorial real com produto interno, prove que | u |v + | v |u e | u |v – | v |u
são ortogonais.
 1 
 
7. Seja v =   2  e W o subespaço de R3 gerado por u =
 3 
 
1
 
 2  e u1 =
3
 
 0 
 
  4  . Sabemos que
 5 
 
R3 = W W. Determine vetores w  W e z  W tais que v = w + z.
8. Use a desigualdade de Cauchy-Schwarz para provar que (acos + bsen) 2  a2 + b2,
 a, b,   R.
9. Seja V um espaço vetorial real com produto interno. Mostre que se u e v são vetores
ortogonais em V tais que | u | = | v | = 1. Prove que | u – v | = 2 .
10. Seja W a interseção dos dois planos x + y + z = 0 e x – y + z = 0. Encontre uma equação
para W. Determine também dimW e dimW.