Matemática - Estuda Que Passa

Matemática
Formas de Representação de Um Número Complexo
Professor Dudan
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Matemática
FORMAS DE REPRESENTAÇÃO DE UM NUMERO COMPLEXO
•• Os números complexos são uma extensão do conjunto dos números reais. Na verdade,
número complexo é um par ordenado de números reais (a, b).
••
Escrito na forma normal, o par ordenado (a, b) fica z = a + bi. Representando esse número
complexo no plano de Argand-Gauss, teremos:
•• O segmento de reta OP é chamado de módulo do número complexo. O arco formado
entre o eixo horizontal positivo e o segmento OP, no sentido anti-horário, é chamado de
argumento de z.
•• O módulo de um complexo é dado por |z|= a2 +b2 ou ainda |z|²= a²+b² (Pitágoras).
Exemplo Resolvido:
Dado o número complexo z = 2 + 2i, determine o módulo e o argumento de z.
Solução: Pelo número complexo z = 2 + 2i, sabemos que a = 2 e b = 2. Segue que:
|z|= 22 + 22 = 8 = 2 2 ,
cosθ =
a
2
2
=
=
|z| 2 2 2
senθ =
b
2
2
2
=
=
.
|z| 2 2 2 2 2
e
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Exemplo:
1. Calcule o módulo dos complexos abaixo:
a) z = 3 + 10i
b) z = – 5 – 4i
c) z = – 3i
d) z = 6i
e) z = 5
f) z = – 3
FORMA ALGÉBRICA
Todo número complexo pode ser escrito na forma a + bi, chamada de forma algébrica ou forma
normal, onde a é chamado de parte real e bi, de parte imaginária.
Exemplos Resolvidos:
4
a) z = 3 – 2i
onde a = 3 e b = – 2
b) w = 1 + 5i
onde a =1 e b = 5
c) u = 3i
onde a = 0 e b = 3
d) v = 7
onde a = 7
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FORMA TRIGONOMÉTRICA ou POLAR
Na representação trigonométrica, um número complexo z = a + bi é determinado pelo módulo
do vetor que o representa e pelo ângulo que faz com o semi-eixo positivo das abscissas.
Assim é possível representar, a partir da sua forma trigonométrica, usando o módulo e o
argumento .
Exemplo:
2. Dado o complexo z = – 2 – 2i, represente-o no plano de Argand-Gauss.
Sendo a = – 2 e b = – 2, temos a representação desse complexo no plano Argand-Gauss:
Assim temos |z|= 2 2 e α = 45° logo θ = 180° + 45° = 225°
Portanto z = 2 2 ( cos 225° + isen 225°)
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3. Calcule a forma trigonométrica dos complexos abaixo.
a) z = – 1 + i
b) z = 3 – i
4. O número complexo z está representado no Plano de Argand-Gauss conforme indica a figura. A
forma trigonométrica de z é:
⎛
3π
3π ⎞
a) 2 ⎜ cos − i sen ⎟
2
2 ⎠
⎝
⎛
3π
3π ⎞
b) 2 ⎜ cos − i sen ⎟
2
2 ⎠
⎝
⎛
⎞
c) 4 cos 3π + i sen π
⎜⎝
2
2 ⎟⎠
⎛
⎞
d) 4 cos π − i sen π
⎜⎝
2
2 ⎟⎠
⎛
3π
3π ⎞
e) 2 cos + i sen
⎜⎝
2
2 ⎟⎠
5. O número complexo, cujo módulo é igual a 2, e para o qual uma determinação do argumento
vale 330°, pode ser escrito:
a) −2 3 + i
b) − −3 − 2i
c) − 3 − i
d) 3 − i
e) 2 3 − 2i
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6. Represente e determine a forma polar do complexo z = −3+ 3 3i .
( )
(
)
7. Geometricamente, a adição dos números complexos Z1 = 2,4 e Z2 = 1,−1 é.
a)
b)
c)
d)
e) n.d.a.
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8. O argumento do número complexo z é
π
, e o seu módulo é 2. Então a forma algébrica de z é:
6
a) – i
b) i
c) 3i
d) 3 −i
e) 3 +i
9. Na figura a seguir, o ponto P é o afixo do número complexo z = x + yi no plano de Argand-Gauss.
É verdade que:
5π
a) o argumento principal de z é
.
6
b) a parte imaginária de z é i.
c) o conjugado de z é 3 +i .
d) a parte real de z é 1.
e) o módulo de z é 4.
10. A figura indica a representação dos números Z1 e Z2 no plano complexo.
Se Z1. Z2 = a + bi, então a + b é igual a:
( )
b) 2( 3 −1)
c) 2(1+ 3 )
d) 8( 3 −1)
e) 4( 3 +1)
a) 4 1− 3
Gabarito: 4. E 5. D 7. B 8. E 9. A 10. A
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