complexos+-Resumo

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Números Complexos
Números complexos: definições, potências de i,
propriedades, operações.
Exemplos:
a) i61 = i1 = i pois 61 dividido por 4 tem quociente 15 e resto
Introdução
Os números reais podem ser representados por pontos em uma reta
numerada denominada reta real.
      IR
-2 -1 0 1 2 3
4
Você percebeu que se quisermos inventar outros conjuntos de
números, não há mais “lugar vazio” na reta real para representá-los.
Imagine que você queira encontrar números que sejam soluções de
equações do tipo: x2 + 1 = 0.
Nenhum número real, multiplicado por ele mesmo dará como
resultado –1 e portanto a solução da equação deverá ter uma
interpretação geométrica de pontos fora da reta real, sugerindo o
aparecimento de pelo menos mais um eixo.
Uma revista da Academia Dinamarquesa, em
1798, publicou pela primeira vez as idéias de
Wessel de se representar graficamente os
números complexos, porém o fato ficou
praticamente desconhecido até que, 30 anos
depois, Gauss fez nova divulgação.
Gauss
É estranho que antes de Wessel e Gauss ninguém tivesse pensado
em representar os números complexos como coordenadas
retangulares de um ponto no plano e por esse motivo o plano que
representa os complexos é conhecido como plano de Gauss.
A partir de então, cada número complexo podia corresponder a um
ponto no plano e vice-versa, proporcionando um grande alívio para
os matemáticos da época, pois era possível “enxergar” os números
imaginários.
Definitivamente estavam sepultadas as concepções de absurdo,
inutilidade e inexistência dos números com raiz quadrada de
número negativo.
Conjunto dos números complexos, unidade imaginária:
Chama-se unidade imaginária o número i, tal que:
i2 = - 1
61
1
4
15
b)i2006 = i2 = -1, pois 2006 dividido por 4 tem quociente 501 e resto
2.
c)i48 = i0 = 1, pois 48 é múltiplo de 4.
Forma algébrica de um número complexo
Adotaremos a forma algébrica para escrevermos um número
complexo: Z = a + bi
Onde a e b são números reais e i2 = -1.
Exemplos:
a) Z1 = 2 + 3i


b) Z2 = 4i = 0 + 4i c)Z3 = 4 = 4 + 0i
O número real a é denominado parte real do número Z.
Notação: Re(Z) = a
O número real b é denominado parte imaginária do
número Z. Notação: Im(Z) = b
Conseqüências imediatas:
1-Z = a + bi é real se, e somente se, sua parte imaginária é zero.
Observe que para a = 0 temos o ponto (0,0).
2-Z = a + bi é imaginário puro se, e somente se, sua parte real é
nula e a parte imaginária é diferente de zero.
As três propriedades fundamentais do conjunto dos números
complexos são:

Igualdade a + bi = c + di  a = c e b = d

Adição ( a + bi ) + ( c + di ) = ( a +c ) + ( b + d )i

Multiplicação Observe que aplicando a propriedade
distributiva temos:
( a + bi )( c + di ) = ac + adi + bci + bdi2
como i2 = -1 e colocando i em evidência podemos escrever:
( a + bi )( c + di ) = ( ac – bd ) + ( ad + bc )i
Exemplos:
a) ( 2 + 3i ) + ( 5 – 2i ) = -3 + i
b) ( -4 + 3i ) – ( 2 – i ) = -4 + 3i – 2 + i = -6 + 4i
c) ( -4 + 3i ) ( 2 + i ) = -8 – 4i + 6i + 3i2 = -11 + 2i
d) ( 2 + 3i )( 2 – 3i ) = 4 – 9i2 = 4 + 9 =13
Complexo conjugado
Potências de i
Dado um número complexo Z = a + bi, o conjugado de Z é
Como estamos agora, com dois eixos coordenados pois os números
estão no plano, encontraremos quatro pontos nesses mesmos eixos
distantes uma unidade da origem, ao calcularmos in.
definido por
b
i  i  (0,1)
1

(-1,0)
i  1  (1,0)
2
Observação:
Z 
Im(Z)
 (0,1)
i 0  1  (1,0)
Z  a  bi
Z = (a,b) = a + bi
bi

(1,0)
Re(Z)
i  i .i  i  (0,1)
3
2
 (0,-1)
Veja como as demais potências de i com expoente n natural têm
valores repetidos:
0
i =1
i1 = i
i2 = -1
i3 = -i
4
2 2
i = i .i = 1
i5 = i. i4 = i
i6 = i2.i4 = -1
i7 = i3. i3 = -i
8
i =1
i9 = i
i10 = -1
i11 = -i
12
i =1
i13 = i
i14 = -1
i15 = -i
-b
Z  (a,b)  a  bi
4k
i =1
i4k + 1 = i
i4k + 2 = -1
i4k + 3 = -i
Observando a tabela anterior, podemos concluir que basta
dividirmos o expoente n por 4 e utilizarmos o resto da divisão,
desprezando a parcela de n que é múltipla de 4.
a 2  0 e b 2  0 temos
Z .Z  a 2  b 2  0
Sendo a e b reais,
Exemplos:
a) ( 1 + 2i)(1 – 2i ) = 12 + 22 = 5
b) ( 3 – 4i )( 3 + 4i ) = 32 + 42 = 25
“leia Z barra”
Números Complexos
c) (7i).(-7i ) = 49
Divisão
Dados dois números complexos Z1 e Z2 com Z2  0, devemos
efetuar a divisão Z1/Z2 multiplicando numerador e denominador
pelo conjugado do número Z2.
a  bi  . c  di   ac  bd  bc  ad i
c  di  c  di  c 2  d 2 c 2  d 2
determinado através da sua distância até a origem  e o ângulo 
que o segmento orientado OP faz com o semi-eixo positivo real.
Do triângulo retângulo da figura temos:
cos  
a
sen  
O plano de Argand-Gauss
Conforme vimos anteriormente, representar os números complexos
a + bi através de pontos no plano proporciona uma visão da raiz
quadrada de números negativos, eliminando a concepção de que são
números irreais no sentido de inexistentes.
O ponto ( a,b ) é a imagem ou afixo do número Z e o conjunto de
todos esses pontos que representam os números complexos é
denominado plano de Argand-Gauss.
Módulo de um número complexo
Você aprendeu o conceito de módulo de um número real definindo
|x| como:
|x| = x se x  0 e |x| = -x se x < 0
A interpretação geométrica de módulo nos faz visualizar o módulo
como a distância do ponto que representa o número até a origem.
Considere agora um complexo Z = a + bi e o seu afixo no plano
Re(Z)
a
Aplicando o Teorema de Pitágoras temos:
2 = a2 + b2 onde a hipotenusa  mede a distância do afixo de Z até
a origem. Então: | Z |   a  b
Como o produto de um complexo pelo seu conjugado é a2 + b2
2
podemos escrever:
 b   . sen 
|   a 2  b 2  12  12  2
Para determinar o seu argumento, basta verificar que  = 45°
utilizando os conceitos de geometria plana ou aplicando
trigonometria do triângulo retângulo, como:
cos  
a
1
2
b
1
2
e sen  




2

2
2
2



Z  2  cos  i. sen 
4
4


Operações com números complexos na forma trigonométrica
Z1 = 1.(cos1 + i.sen1) e Z2 = 2.(cos2 + i.sen2)
1-Multiplicação:



Módulo: | Z
Resposta:
(a,b) = a + bi
b
Substituindo em Z = a + bi o número fica: Z = .cos + i.sen
Ou ainda:
Z = .(cos + i.sen) que é a forma
trigonométrica de Z.
Exemplo: Qual a forma trigonométrica do número Z = 1 + i ?
Resolução
Z=1+ia=1eb=1
Im(Z)
b
 a   . cos  e

2
 2 | Z |2  Z .Z  a 2  b 2
Argumento principal
O argumento  de um número complexo não nulo Z = a + bi é o
ângulo que o segmento orientado OP com o semi-eixo real
positivo, onde P é o afixo de Z.
O valor de  pode ser dado em graus ou em radianos e o intervalo
de variação é:
0°   < 360° ou 0   < 2
Se o ponto é origem do sistema de coordenadas temos | Z | = 0 e o
ângulo  não é definido.
Notação:  = arg(Z)
Veja como reduzir os valores de arcos para o intervalo da definição,
que corresponde aos valores de arcos côngruos da primeira
determinação não negativa:

Não escreva, por exemplo, 400°. Faça 400° - 360° = 40°

No caso de 360°   = 0°.
No caso de encontrar algum valor negativo, faça também a redução
para valor de seu arco côngruo da primeira determinação não
negativa como: -30° transforme em 330°.
Forma Trigonométrica
Podemos determinar um ponto num plano através das suas
coordenadas cartesianas (a,b), porém, o mesmo ponto pode ser
Z1.Z2  12 cos1  2   i sen1  2 
2-Divisão:
Z1 1
cos1   2   i sen 1   2 

Z 2 2
3-Potenciação: Observe que se Z1 = Z2 = Z, temos
Z2 = 2( cos2 + i sen2 )
Para calcularmos Z3 basta efetuarmos Z2.Z = 3( cos3 + i.sen3 ) e
assim sucessivamente.
Portanto se quisermos saber Zn podemos generalizar o resultado
anterior e escrever:
Zn = n[ cos(n) + i.sen(n)]
(primeira fórmula de Moivre.)
Exemplo: Suponha que
Z1 = 3( cos70° + i.sen70°) e Z2 = 4.(cos20° + i.sen20°)
a) Então Z1.Z2 = 12( cos90° + i.sen90° )
Como sen90° =1 e cos90° = 0, o resultado pode ser escrito como
Z1.Z2 = 12i
b) Z1/Z2 = 3/4(cos50° + i sen50°)
c) Z2/Z1 = 4/3(cos310° + i sen310°) Faça a redução para valor de
seu arco côngruo da primeira determinação não negativa como: 50° transforme em 310°.
d) (Z1)4 = 34[ cos(4.70°) + i.sen(4.70°)] = 81(cos280° + i.sen280°)
Exercícios
1- a)Dada a equação x2 – 4x + c = 0, determine x no campo
complexo, nos seguintes casos:
I) c = 5
II) c = - 5
b) Escreva a soma S = i100 + i101 + i1010 + i1011 na forma a + bi
2- Considere os números Z1 = 2 + i e Z2 = 1 – 2i.
Números Complexos
Represente no plano complexo os seguintes números:
a) Z1 + Z2
b) Z1 – Z2
c) Z1.Z2
d) Z1/Z2
e) Z2/Z1
3-Para que valores de m real o número
Z = ( m2 – 4 ) + ( m2 – 5m + 6 ).i é:
a) Real
b) imaginário puro
4- Considere o complexo Z = 1 - i e calcule o valor da soma:
S = Z + Z 2 + Z3 + Z4
5- Qual o complexo conjugado que satisfaz a igualdade:
Im(Z)
(a,b) = a + bi
b


iZ  2Z
= 4 – 3i
6- Qual o valor de:
1 i  1 i 

 

1 i  1 i 
4
4
7- Um número complexo Z = a + bi satisfaz as seguintes condições:

O produto de Z pelo seu conjugado é 13

A soma do número Z com seu conjugado é o triplo de sua
parte imaginária. Determine Z.
8- Para que valores de k, o número
a)
b)
2i
é:
k  2i
real
imaginário puro
c)
1
3

i
2
2
Z3   3  i
Z2 
d) 5i
11- Sabendo que Z e W são dois números complexos tais que:
Z = 10( cos60° + i.sen60° ) e W = 2( cos30° + i.sen30° )
a)Determine os complexos
Z3
13- Dados os números complexos Z1 e Z2 escritos na forma
algébrica:
Z1 = 2 + 2i
e
Z2 = 2 - 2i
a) Determine os módulos e os argumentos de Z1 e de Z2.
b) Escreva esses números na forma polar.
c) Represente os afixos de Z1, Z2 e Z1.Z2 no plano complexo.
d) Escreva Z2/Z1 na forma trigonométrica.
14-. Determine o módulo e o argumento de Z7 sabendo que:
Z  2(cos 60  i sen 60)
15- Qual deve ser o menor valor inteiro positivo de n para que

 

 cos  i sen 
12
12 

n
seja imaginário puro.
16-( Fatec-SP )Na figura a seguir, o ponto P é o afixo do número
9-(Uel-PR) Seja o número complexo z = x + yi, no qual
x, y  IR. Se z.(1 - i) = (1 + i)2, então
a) x = y
b) x - y = 2
c) x . y = 1
d) x + y = 0
e) y = 2x
10- Transforme os complexos a seguir escrevendo-os na forma
trigonométrica:
a) Z1 = 1 – i
b)
Re(Z)
a
Z
W
e Z.W
W9
b) Calcule e
12- Na figura a seguir, temos que  = 45° e a = 2.
Escreva o complexo representado no plano na forma algébrica e na
forma polar ( trigonométrica ).
complexo z = x + yi no plano de Argand-Gauss.
É verdade que
a) o argumento principal de z é 5/6.
b) a parte imaginária de z é i.
c) o conjugado de z é 3 + i.
d) a parte real de z é 1.
e) o módulo de z é 4.
17-( Fgv-SP) Seja o número complexo Z = (x-2i)2, no qual x é um
número real. Se o argumento principal de Z é 90°, então 1/Z é igual
tg (2 arg Z ) 
2ab
a  b2
2
a
a) -i/8
b) -8i
c) 4i
d) -1 + 4i e) 4 - i
18-(Vunesp-SP ) Se Z = a + bi com a > b > 0 prove que:
Sugestão: Utilize a fórmula de arco duplo tg 2 x
Bom Trabalho!
Rodrigo Serra

2tgx
1  tg 2 x
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