lista de exercícios - complexos

MATEMÁTICA – LISTA DE EXERCÍCIOS – NÚMEROS COMPLEXOS
PROF: Claudio Saldan
CONTATO: [email protected]
PARTE 1
complexo z = x + iy, podemos afirmar corretamente que
z2
01 - (MACK SP/2010/Janeiro)
Se y = 2x, sendo x =
a)
b)
c)
d)
e)
1+ i
2
e i = − 1 , o valor de (x+y) é
1− i
9i
–9 + i
–9
9
9–i
z
2
é igual a
a)
b)
c)
d)
02 - (FGV /2010/Janeiro)
20
20
Sendo i a unidade imaginária, então (1+i) – (1–i) é
igual a
a)
–1024.
b)
–1024i.
c)
0.
d)
1024.
e)
1024i.
07 - (UEPG PR/2009/Julho)
O número complexo z ≠ 0 e seu inverso
1
têm o
z
mesmo módulo. Então, é correto afirmar:
01.
02.
03 - (UFV MG/2010/Janeiro)
Considere os números complexos z = i ⋅ (5 + 2i) e
2
w = 3 + i , onde i = –1. Sendo z o conjugado complexo
de z, é CORRETO afirmar que a parte real de z + w 2 é:
a)
3
b)
4
c)
5
d)
6
3 4
+ i.
5 5
3 4
− i.
5 5
3 4
+ i.
5 5
3 4
− − i.
5 5
−
04.
08.
1
são conjugados.
z
1
z +
é um número real.
z
1
z e têm módulo igual a 1.
z
1
z - é um imaginário puro.
z
z e
16.
Se o afixo de z está no 4º quadrante, então o
afixo de
1
está no 1º quadrante.
z
08 - (UFF RJ/2009/Janeiro)
04 - (UEG GO/2009/Julho)
50
A soma S = ∑ i j = i 0 + i1 + i 2 + ... + i 49 + i 50 em que i é
j= 0
um número complexo, é igual a:
a)
1+i
b)
–i
c)
1–i
d)
i
05 - (IBMEC SP/2009/Julho)
Considere dois números reais p e q. Suponha que z e w
são dois números complexos cuja soma é igual a p e cuja
diferença é igual a qi, um imaginário puro, sendo i a
2
unidade imaginária (tal que i = –1). Então
a)
z é um imaginário puro.
b)
z e w são conjugados.
c)
w é um imaginário puro.
2
2
d)
z – w é um número real.
e)
zw é um imaginário puro.
06 - (UECE/2009/Julho)
Se o par de números reais positivos (x,y) é solução do
 2 + y2 = 1
, então, em relação ao número
 2x - y = 0
sistema  x
No período da “Revolução Científica”, a humanidade
assiste a uma das maiores invenções da Matemática que
irá revolucionar o conceito de número: o número
complexo. Rafael Bombelli (1526 – 1572), matemático
italiano, foi o primeiro a escrever as regras de adição e
multiplicação para os números complexos.
Dentre as alternativas a seguir, assinale aquela que
indica uma afirmação incorreta.
a)
o conjugado de (1 + i) é (1 i)
1+ i = 2
b)
c)
d)
e)
(1 + i) é raiz da equação z 2 − 2z + 2 = 0
–1
(1 + i) = (1– i)
2
(1 + i) = 2i
09- (UFPel RS/2009/Janeiro)
Três números complexos somam 9 + 3i e formam uma
progressão aritmética de razão 1 - 2i .
Com base no texto, é correto afirmar que o décimo
segundo termo é igual a
a)
14 – 21i.
b)
13 – 23i.
c)
14 –25i.
d)
16 –19i.
e)
13 –19i.
f)
I.R.
10 - (FGV /2009/Janeiro)
Sendo i = − 1 a unidade imaginária do conjunto dos
números complexos, o valor da expressão
(1 + i ) 6 − (1 − i) 6 é:
a)
0
b)
16
c)
-16
d)
16i
e)
-16i
PARTE 2
01 - (UNICID SP/2009)
Seja o número complexo Z = 2 + 5a i onde a é real.
2
Sabendo-se que | Z | = 7 então a pertence ao intervalo,
a)
[0,0 ; 0,5]
b) [0,7 ; 1,2]
c)
[1,5 ; 2,0]
d) [2,2 ; 2,7]
e)
[3,0 ; 3,5]
02 - (UEPB/2009)
O valor da expressão ( 2 + 3i )( 4 − 2i ) +
a:
a)
c)
e)
13 – 14i
13 + 14i
i
6 + 8i 123
é igual
+i
1− i
b) 14 + 13i
d) 14 – 13i
03 - (UFAC/2009)
Considere x um número real. Dados os números
complexos w 1 = ( x − 7 ) i e w 2 = −2 + ( x + 7 ) i , o único
caso em que ocorre a igualdade w 1 = w 2 é quando:
a)
x=0
c)
x=-
e)
x=
b) x =
1
7
1
7
d) x = -
2
2
2
é tal que
a)
b)
w = 4 para qualquer valor de z.
w = 4 se z = 1 .
c)
w = 2 se z = 1 .
d)
e)
w = 2 para qualquer do valor de z.
w = 2 se z ≠ 1 .
06 - (UFPel RS/2008/Julho)
Considerando o número complexo Z = a + bi , em que i é
a unidade imaginária, a < b , módulo de Z é igual a 5 e
módulo de Z + i é igual a 2 5 , é correto afirmar que a
diferença entre esse número Z e o seu conjugado é igual
a
a)
6i.
b) – 8.
c)
– 6i.
d) 8.
e)
0.
07 - (FGV /2008/Janeiro)
Os quatro vértices de um quadrado no plano ArgandGauss são números complexos, sendo três deles 1 + 2i ,
−2 + i e −1 − 2i . O quarto vértice do quadrado é o
número complexo
a)
2+i
b) 2 – i
c)
1 – 2i
d) −1 + 2i
e)
−2 – i
08 - (UEPG PR/2008/Janeiro)
Seja z = a + bi um número complexo, em que a e b são
reais tais que ab ≠ 0 e i é a unidade imaginária. Sabendo
que o afixo de z se encontra no 1º quadrante e que z
denota o conjugado de z, assinale o que for correto.
01.
O afixo de –z está no 4º quadrante.
02.
O afixo de − z está no 3º quadrante.
04.
O afixo de z está no 4º quadrante.
08.
O afixo de iz está no 2º quadrante.
09O número complexo z que verifica a equação
iz − 2 z + (1 + i) = 0 é:
a)
z=1+i
c)
z=
e)
z=1–i
1
−i
3
i
d) z = 1 +
3
b) z =
1− i
3
α 2 + β 2 é igual a
Se i é a unidade imaginária, então
i
0
–1
2
módulo, então w = 1 − z + 1 + z
10 - (ITA SP/2008)
Sejam α, β ∈ C tais que α = β = 1 e α − β = 2 . Então
2 3
3
04 - (UFRR/2009)
a)
c)
e)
05 - (UFGD MS/2009)
Se z é um número complexo qualquer e z é o seu
i13 + i14
i15 − i16
b) – i
d) 1
é:
a)
d)
−2
2
b) 0
e) 2i
c) 1
PARTE 3
b)
2(cos π + i . sen π )
01 - (UFJF MG)
A figura abaixo mostra, no plano complexo, o círculo de
raio 1, os afixos de cinco números complexos e as
bissetriz dos quadrantes. O número complexo i z , onde
“i” é a unidade imaginária e z é o conjugado de z, é
igual a:
c)
2(cos
d)
2(cos
e)
2(cos
.
.
.
..
z
r
s
a)
b)
c)
d)
e)
w
t
z;
w;
r;
s;
t;
02 - (INTEGRADO RJ)
Seja o complexo z = ρ.(cosθ + i senθ) escrito na forma
trigonométrica. Então z.z é:
a)
3ρ
b)
2ρ(cos2θ - i sen2θ)
2+
c)
ρ
2
2
2
d)
ρ (cosθ + i senθ )
2
2
e)
cos θ + I sen θ
03 - (UNIFICADO RJ/1997)
Um complexo z possui módulo igual a 2 e argumento
π . Sendo z o conjugado de z, a forma algébrica do
3
complexo z é:
a)
1− i 3
b)
3 −i
c)
3 +i
d)
1+ 3i
e)
2
(
6
+ i . sen 2π )
+ i . sen
+ i . sen
3
5π
3
5π
6
)
)
06 - (UNIFOR CE)
Seja o número complexo z = x + 3i, em que x é um
número real negativo. Se z = 6 , então a forma
trigonométrica de z é
2π
2π
6.(cos
+ i.sen )
a)
3
3
5π
5π
b)
6.(cos
+ i.sen )
6
6
4π
4π
c)
6.(cos
+ i.sen )
3
3
5π
5π
6.(cos
+ i.sen )
d)
3
3
11π
11π
e)
6.(cos
+ i.sen
)
6
6
07 - (UFRR)
O lugar geométrico descrito pelo ponto que representa
o número complexo z = a + bi tal que z − 3 + i = 4 é:
a)
uma circunferência de centro (−1, 3) e raio 4.
b)
uma parábola de foco (3, −1) e diretriz y = 4.
c)
uma circunferência de centro (3, −1) e raio 4.
d)
uma parábola de foco (−1, 3) e diretriz y = 4.
e)
uma elipse de focos (3, 0) e (−3, 0) e
intersecções com o eixo x nos pontos (4, 0) e (−4, 0).
08 - (UEM PR)

Seja z = 3 cos

5π
5π 
+ i sen  um número complexo.
3
3 
É correto afirmar que o conjugado de z é
a)
z = 3(1 + i 3 )
3 −i
b)
)
c)
04 - (UnB DF/1996/Janeiro)
Considere os números complexos z 0 = 3 + i 3 e z1 = -1
+ i e julgue os itens seguintes.
tg((arg(z 0 )) ≥ 3 .
00.
01.
Se z2 é um número complexo tal que z2.z0 = z1,
então 60° ≤ arg (z2) ≤ 150°.
02.
Se z3 é um número complexo não-nulo tal que
z
arg (z3) = arg (z0) + 180°, então 0 é um número real.
z3
03.
Se z4 é um número complexo tal que arg (z4) =
240° e 180° ≤ arg (z0 + z4) ≤ 270°, então z4 ≥ 6.
d)
e)
2(cos π + i . sen π )
3
3
3
(1 + i 3 )
2
3
z = (1 − i 3 )
2
3
z = (−1 + i 3 )
2
z=
z = 3(1 − i 3 )
09- - (UEL PR)
601
A potência (cos 60º + i sen 60º) é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
05 - (MACK SP/Julho)
A forma trigonométrica do número complexo i − 3 é:
a)
6
2π
3
5π
3
5π
6
(
(
(
(
(
1 1− i 3
2
1 -1 + i 3
2
1 1+ i 3
2
1 3 +i
2
1 3 −i
2
)
)
)
)
)
10 - (UNESP SP)
Considere o número complexo z = cos
π
π
+ isen . O
6
6
valor de z 3 + z 6 + z12 é:
a)
–i
b)
c)
d)
e)
1
3
+
i
2
2
a)
b)
c)
d)
e)
05 - (UEG GO/2009/Janeiro)
As raízes cúbicas do número complexo i estão
associadas aos pontos:
i–2
i
2i
a)
b)
PARTE 4
c)
01 - (UECE)
1
2
Considere o número complexo z = +
Então
a)
b)
c)
d)
( zi ) 2007
x2 + y 2 = 1
x=1
y=1
x+y=1
x2 + y 2 + 1 = 0
3
i.
2
d)
é igual a
1.
-1.
i.
–i.
1 3 1

 ,
 ,  , − 3  , ( −1, 0 )
2 2  2

2



 1


 − , − 3  ,  − 1 , 3  , (1, 0 )
 2
 2 2 
2



 3 1 
3 1 

, ,  −
, , ( 0, −1)
 2 2  2 2






 − 3 , 1  ,  3 , − 1  , ( 0,1)
 1 2  2

2



06 - (PUC SP/2009/Janeiro)
π
6
π
6
Dado o número complexo z = cos + i ⋅ sen , então,
02 - (UFMT/2006)
O menor inteiro positivo n para o qual o número
complexo z = 1 + i 3 n seja um número real é
a)
um quadrado perfeito.
b)
um número ímpar.
c)
um número múltiplo de 4.
d)
um número múltiplo de 6.
e)
um número múltiplo de 8.
(
)
03 - (UFCG PB/2009/1ª Fase)
No plano complexo de Argand-Gauss, a
desigualdade que representa a região sombreada
abaixo, inclusive o bordo dessa região, é dada por:
se P1, P2 e P3 são as respectivas imagens de z, z2 e z3
no plano complexo, a medida do maior ângulo
interno do triângulo P1P2P3 é
a)
75º
b)
100º
c)
120º
d)
135º
e)
150º
07 - (UFRR)
O lugar geométrico descrito pelo ponto que representa
o número complexo z = a + bi tal que z − 3 + i = 4 é:
a)
uma circunferência de centro (−1, 3) e raio 4.
b)
uma parábola de foco (3, −1) e diretriz y = 4.
c)
uma circunferência de centro (3, −1) e raio 4.
d)
uma parábola de foco (−1, 3) e diretriz y = 4.
e)
uma elipse de focos (3, 0) e (−3, 0) e
intersecções com o eixo x nos pontos (4, 0) e (−4, 0).
08 - (UEPB/2009)
a)
b)
z −1 ≥ 1 .
c)
d)
z −i ≥1.
z −1 ≥ 0 .
e)
z −1 > 1 .
z −1 ≤ 1 .
2
04 - (CEFET PR/2009/Julho)
Considere todos os números complexos z = x + yi.
O lugar geométrico de todos os números
complexos que possuem módulo 1 é dado pela
equação:
Um número complexo z está escrito na forma
n
z = (cos 7 θ + i sen 7 θ ) (cos 7 θ - i sen 7 θ ) . O valor de z é:
a)
iθ
b)
–1
e iθ
c)
d)
1
e)
2
09- - (UEL PR)
601
A potência (cos 60º + i sen 60º) é igual a:
a)
b)
c)
(
(
(
1 1− i 3
2
1 -1 + i 3
2
1 1+ i 3
2
)
)
)
1
2
1
2
d)
e)
( 3 +i )
( 3 −i )
4 - (CEFET) O número complexo, cujas raízes sextas
estão representadas a seguir, é:
10 - (UNESP SP)
Considere o número complexo z = cos
π
π
+ isen . O
6
6
valor de z 3 + z 6 + z12 é:
a)
–i
1
3
+
i
2
2
b)
c)
d)
e)
i–2
i
2i
a)
-
(ITA)
Considere
z = 2 +i 2
m=

5π
5π
+ isen
.
6
6 
5π
5π 

+ isen
7b) 27  cos
.
216
216 

os
Se
5π
5π
+ isen
.
36
36 
729  cos
d)
5π
5π

81  cos
+ isen
.
6
6 

e)
27  cos
complexos
w = 1+ i 3 .
e
w 6 + 3z 4 + 4i
números

c)
PARTE 5
01

729  cos



5π
5π 
+ isen  .
6
6 
2
z 2 + w 3 + 6 − 2i
a) 34
b) 26
c) 16
d) 4
e) 1
, então m vale:
05 - (UEM) Com relação aos números complexos,
assinale o que for correto.
6
01. (2 + 2 i) é um número imaginário puro.
02 - (UNIFOR CE) Seja o número complexo z = x + 3i, em
que x é um número real negativo. Se z = 6 , então a
forma trigonométrica de z é
2π
2π
a) 6.(cos
+ i.sen )
3
3
5π
5π
+ i.sen )
b) 6.(cos
6
6
4π
4π
c) 6.(cos
+ i.sen )
3
3
5π
5π
d) 6.(cos
+ i.sen )
3
3
11π
11π
e) 6.(cos
+ i.sen
)
6
6

03 - (UEM) Seja z = 3 cos

i103
é um número cujo módulo é
1+ i
z + 2i
9+7i
04. Se
= 3 , então z =
.
i z +1
10
02. z =
2
.
2
08. O ponto, no plano complexo, correspondente
ao número complexo z =
i103
está localizado
1+ i
no 4.º quadrante.

16. 8 cos

5π
5π 
+ i sen
 é a forma trigonométrica
6
6 
do número complexo z = - 4 3 − 4i .
06 - (UFRJ) No jogo Batalha Complexa são dados
números complexos z e w, chamados mira e alvo
respectivamente.
O tiro certeiro de z em w é o número complexo t tal
que tz = w.
5π
5π 
+ i sen  um número
3
3 
complexo.
É correto afirmar que o conjugado de z é
a) z = 3(1 + i 3 )
b)
c)
d)
e)
3
(1 + i 3 )
2
3
z = (1 − i 3 )
2
3
z = (−1 + i 3 )
2
z=
z = 3(1 − i 3 )
Considere a mira z e o alvo w indicados na figura
acima. Determine o tiro certeiro de z em w.
07
-
(UNESP)
Considere
o
número
complexo
π
π
z = cos + isen . O valor de z 3 + z 6 + z12 é:
6
6
a) –i
b)
1
3
+
i
2
2
c) i – 2
d) i
e) 2i
3
08 - (UNESP) As soluções da equação z = i, onde z é um
2
número complexo e i = –1, são:
a)
b)
c)
d)
e)
2 1
+ i
2
2
3 1
z=±
− i
2
2
3 1
z=±
+ i
2
2
2 1
z=±
− i
2
2
1
3
z=± −
i
2
2
z=±
ou z = − i
ou z = − i
ou z = − i
ou z = − i
ou z = − i
09 - (UEPG) As representações gráficas dos complexos z
3
tais que z = 1 são os vértices de um triângulo. Em
relação a esse triângulo assinale o que for correto.
01. É um triângulo equilátero de lado igual a
u.c.
02. É um triângulo isósceles de altura igual a
3
3
4
u.c.
04. Um de seus vértices pertence ao 2º quadrante.
08. Seu perímetro é 3 3 u.c.
16. Sua área é
3 3
u.a
4
10 - (UEM) Sobre os números complexos, assinale o que
for correto.
4 1
01) Se z = 4 + i e w = − i , então zw = 1.
17 17
45
02) (i) = -1.
6 + 3i
04) z =
é um número real.
4 + 2i
08) Se z = 2 + 3i, então | z | = 5.
π
π

16) Se z = 3 + i , então z = 2.  cos + i.sen  .
6
6

iα
iβ
i(α+β)
32) Se z1 = r1e e z2 = r2e , então z1z2=r1r2e
.
iα
-1
-iα
64) Se z = re então z = re .