DERIVADAS A derivada de uma função )( xfy = num xx = , é igual ao

1
Professor Mauricio Lutz
DERIVADAS
A derivada de uma função y = f (x) num x = x0 , é igual ao valor da
tangente trigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica à curva
representativa de y = f (x) , no ponto x = x0 , ou seja, a derivada é o coeficiente
angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto x0 .
A derivada de uma função y = f (x) , pode ser representada também
pelos símbolos: y ' ,
dy
ou f ' ( x) .
dx
A derivada de uma função f (x) no ponto x0 é dado por:
df
f ( x) − f ( x0 )
f ( x0 + h) − f ( x0 )
( x0 ) = f ' ( x0 ) = lim
= lim
x→ x0
x →0
dx
x − x0
h
1) Derivadas fundamentais
Nas formulas abaixo, u e v são funções da variável x e c uma
constante.
a)Derivada da função constante
d
(c ) = 0
dx
d
5=0
Exemplo:
dx
b) Derivada da função potência
d n
d
( x ) = n.x n−1 , portanto
( x) = 1
dx
dx
d 7
Exemplo:
x = 7x 6
dx
c) Derivada de um produto de uma constante por uma função
d
du
(c.u ) = c.
dx
dx
d
5 x 4 = 5.4.x 3 = 20 x 3
Exemplo:
dx
d) Derivada da função f ( x) = senx
d
( senx) = cos x
dx
e) Derivada da função f ( x) = cos x
d
(cos x) = − senx
dx
Instituto Federal farroupilha
Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
2
Professor Mauricio Lutz
Exercícios
Calcule a derivada f ' ( x) das seguintes funções:
a) f ( x) = 8
b) f ( x) = 6 x 5
e) f ( x) = −4 x
f) f ( x) =
i) f ( x) = 4 senx
j) f ( x) = −5 cos x
3 10
x
5
5
3
m) f ( x) = 6 x 3
n) f ( x) = 8 x 2
1
x4
c) f ( x) = x −5
d) f ( x) =
1
g) f ( x) = − x −4
2
h) f ( x) = 510 x
1
k) f ( x) = − cos x
3
l) f ( x) = 3 cos x
o) f ( x) = −5 x 4
Gabarito
a) 0
g)
b)
2
x5
h)
5
6 x
1
10
2 x
m) 103 x 2
c)
6
9
n) 12 x
−5
x6
i) 4 cos x
d)
−4
x5
j) 5senx
e) –4
k)
1
senx
3
f) 6x 9
l) − 3senx
o) − 20x 3
2) Propriedades operatórias
Considere u e v funções da variável x .
a)Derivada de uma soma de funções
y = u + v ⇒ y ' = u '+v'
y = u − v ⇒ y ' = u '−v'
Exemplo: Dada a função f ( x) = 4 x 3 − 2 x 2 + 5 x + 1 , calcular f ' ( x) .
(
)
d
4 x 3 − 2 x 2 + 5 x + 1 = 4.3.x 3−1 − 2.2.x 2−1 + 5.x1−1 + 0 = 12 x 2 − 4 x + 5 x 0 + 0 = 12 x 2 − 4 x + 5
dx
b) Derivada de um produto de funções
y = u.v ⇒ y ' = u '.v + v'.u
Exemplo: Calcular a derivada de f ( x) = (2 + 5 x)(7 − 3x) .
y = (2 + 5 x)(7 − 3x)
y = u.v ⇒ y ' = u '.v + v'.u
u = x2 + 1 ⇒ u' = 2 x
y ' = u '.v + v'.u = 5.(7 − 3x) + (−3)(2 + 5 x) = 35 − 15 x − 6 − 15 x
v = 7 − 3 x ⇒ v' = −3
y ' = −30 x + 20
Instituto Federal farroupilha
Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
3
Professor Mauricio Lutz
c) Derivada de um quociente de funções
y=
u
u '.v − v'.u
⇒ y' =
v
v2
Exemplo: Sendo f ( x) =
x2 + 1
, calcular f ' ( x) .
x−3
y=
u
u '.v − v'.u
⇒ y' =
v2
v
u = x2 + 1 ⇒ u' = 2 x
y' =
u '.v − v'.u 2 x( x − 3) − 1( x 2 + 1) 2 x 2 − 6 x − x 2 − 1
=
=
( x − 3) 2
v2
x2 − 6x + 9
v = x − 1 ⇒ v' = 1
x2 − 6x −1
y' = 2
x − 6x + 9
f ( x) =
x2 + 1
x−3
Exercícios
Determine a derivada f ' ( x) das seguintes funções:
a) f ( x) = 3x 2 − 7 x + 4
b) f ( x) = 10 x 4 − 5 x 3 − 2 x 2
c) f ( x) = 10 − 3x 2 + 4 x 4
d) f ( x) = x 3 + 2 x 2 − x + 1
e) f ( x) = x 2 + x
f) f ( x) = 2 x − 3 cos x
g) f ( x) = 3 x.senx
h) f ( x) = senx. cos x
i) f ( x) = x 2 . cos x
j) f ( x) = x 3 .(2 x 2 − 3x)
k) f ( x) = x 2 .( x 2 − 3x + 2)
l) f ( x) = ( x + 4).( x − 2)
m) f ( x) = ( x − 1).(2 x − 3)
n) f ( x) = ( x 2 − 1).( x 2 + 1)
o) f ( x) =
x2
( x 2 − 1) 2
r) f ( x) =
1
x −4
p) f ( x) =
4x − 5
3x + 2
q) f ( x) =
2x + 5
4x
s) f ( x) =
x2 − x + 1
4 + x − x2
t) f ( x) =
2 x3 − 7 x 2 + 4x + 3
x2
2
Gabarito
a) 6 x − 7
b) 40 x 3 − 15 x 2 − 4 x
f) 2 + 3senx
j) 10 x 4 − 12 x 3
p)
23
(3 x + 2) 2
Instituto Federal farroupilha
Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
g) 3( senx + x cos x)
k) 4 x 3 − 9 x 2 + 4 x
q)
−5
16 x 2
r)
c) 16 x 3 − 6 x
d) 3x 2 + 4 x − 1
h) cos 2 x − sen 2 x
l) 2 x + 2
− 2x
( x 2 − 4) 2
s)
1
2 x
i) x(2 cos x − xsenx)
m) 4 x − 5
10 x − 5
(4 + x − x 2 ) 2
e) 2 x +
n) 4x 3
t) 2 −
o)
4 6
−
x 2 x3
− 2x
( x 2 − 1) 2
4
Professor Mauricio Lutz
3) Derivada da potência de uma função
Consideremos g uma função da variável x e n uma constante.
( )
y = g n ⇒ y ' = n. g n−1 .g '
Exemplo: Dada a função f ( x) = (2 x + 1) 4 , calcular f ' ( x) .
g ( x) = 2 x + 1 ⇒ g ' ( x) = 2
( )
y = g 4 ⇒ y ' = 4. g 4−1 .g ' = 4(2 x + 1)3 .2 = 8.(2 x + 1)3
4) Derivada de uma função exponencial
Consideremos g uma função da variável x .
y = a x ⇒ y ' = a x . ln a
y = a g ⇒ y ' = a g .g '.ln a
Exemplos: a) Calcular a derivada de f ( x) = 2 x
f ( x) = 2 x ⇒ y ' = 2 x. ln 2
b) Calcular a derivada de f ( x) = 32 x−5
f ( x) = 32 x−5 ⇒ y ' = 32 x−5.2. ln 3
5) Derivada da função logarítmica
Consideremos g uma função da variável x .
y = ln x ⇒ y ' =
1
x
1
y = log a x ⇒ y ' = . log a e
x
Exemplos: a) Dada a função f ( x) = (ln x).x 4 , determinar f ' ( x) .
A função dada é da forma:
f = g .h ⇒ f ' = g '.h + h'.g
g = ln x ⇒ g ' =
1
x
h = x 4 ⇒ h' = 4 x 3
1
f ' = g '.h + h'.g = .x 4 + 4 x 3 . ln x = x 3 + 4 x 3 ln x = x 3 (1 + 4. ln x)
x
Instituto Federal farroupilha
Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
5
Professor Mauricio Lutz
b) Dada a função f ( x) = (log x)3 , determinar f ' ( x) .
A função dada é da forma:
( )
y ' = n. g n−1 .g '
1
g = log x ⇒ g ' = . log e
x
( )
1
3(log x) 2 . log e
y ' = n. g n−1 .g ' = 3(log x) 2 . . log e =
x
x
Exercícios
Determine as derivadas das seguintes funções:
(
a) f ( x) = x 3 − 2 x
)
(
2
)
b) f ( x) = x 4 − 3 x 2 + 1
2
c) f ( x) = 1 − x 2
e) f ( x) = x 2 + ( x + 1) 2
f) f ( x ) = 3 − x + 2 x
h) f ( x) = 33 x+1
i) f ( x) = 5.2 x
j) f ( x) = 10.e x
k) f ( x) = (ln x) 2
l) f ( x) =
1
ln x
2
m) f ( x) = 3. log 2 x
n) f ( x) = (log x) 2
o) f ( x) =
x2
ln x
d) f ( x ) = 3 4 x + 1
⎛1⎞
g) f ( x) = ⎜ ⎟
⎝2⎠
x
Gabarito
a) 6 x 5 − 16 x 3 + 8 x
1
−1
f)
+
2 3− x
2x
e) 4 x + 2
k)
2 ln x
x
b) 8 x 7 − 36 x 5 + 44 x 3 − 12 x
l)
1
2x
m)
3
log 2 e
x
c)
−x
1− x
2
d)
4
33 (4 x + 1) 2
x
1
⎛1⎞
g) ⎜ ⎟ . ln
2
⎝2⎠
n)
h) 33 x+1. ln 3
2 log x. log e
x
o)
i) 5.2 x. ln 2
x( x ln x − 1)
(ln x) 2
6) Derivada da função composta (regra da cadeia)
Sejam f e g são funções da variável x .
y = f ( g ( x)) e u = g (x) então y = f (u ) e f ' ( x) = u ' (v).v' ( x) .
Exemplos: a) Seja f ( x) = sen3x , determine f ' ( x) .
f ( x) = u (v( x)) ⇒ f ' ( x) = u ' (v).v' ( x)
v( x) = 3 x ⇒ v' ( x) = 3
u (v) = senv ⇒ f ' ( x) = cos v = cos 3x
Então:
f ( x) = sen3x ⇒ f ' ( x) = (cos 3x).3 = 3 cos 3x
Instituto Federal farroupilha
Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
j) 10.e x
6
Professor Mauricio Lutz
b) Seja f ( x) = ln( x 2 − 5 x + 6) ,determine f ' ( x) .
A função é da forma f ( x) = u (v( x)) ⇒ f ' ( x) = u ' (v).v' ( x)
v( x) = x 2 − 5 x + 6 ⇒ v' ( x) = 2 x − 5
u (v) = ln v ⇒ f ' ( x) =
1
1
= 2
v x − 5x + 6
Então:
f ( x) = ln( x 2 − 5 x + 6) ⇒ f ' ( x) =
1
2x − 5
.(2 x − 5) = 2
x − 5x + 6
x − 5x + 6
2
Exercícios
Calcule as derivadas das funções:
a) f ( x) = cos 6 x
b) f ( x) = sen(3x + 1)
c) f ( x) = ln(senx)
d) f ( x) = log( x 2 − 3x)
e) f ( x) = log(3x 2 + 2)5
f) f ( x) = ( x 3 − 4) 2
h) f ( x) = ( x 2 − 3x + 8)3
i) f ( x) = (8 x − 7) −5
k) f ( x) = 3 x 2 + 5 x
l) f ( x) = 3.(4 x) 2 + 2(4 x)
n) f ( x) = (5 x 2 − 2 x + 1) −3
o) f ( x) = ( x 4 − 8 x 2 + 15) 4
g) f ( x) =
1
3x − 2
1 ⎞
⎛
j) f ( x) = ⎜ x 2 − 2 ⎟
x ⎠
⎝
6
m) f ( x) = x 3 senx3
Gabarito
a) − 6sen6 x
b) 3 cos(3x + 1)
f) 6 x 5 − 24 x 2
g)
−3
2(3x − 2)
3
2
5
1⎞ ⎛
1⎞
⎛
j) 12⎜ x 2 − 2 ⎟ .⎜ x + 3 ⎟
x ⎠ ⎝
x ⎠
⎝
n)
30 x − 6
(5 x − 2 x + 1) 4
2
Instituto Federal farroupilha
Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
k)
c) cot gx
d)
(2 x − 3) log e
( x 2 − 3x)
h) 3( x 2 − 3x + 8) 2 .(2 x − 3)
2x + 5
33 ( x + 5 x)
2
2
l) 36 x + 8
o) 4( x 4 − 8 x 2 + 14) 3 .(4 x 3 − 16 x)
i)
e)
30 x log e
(3x 2 + 2)
−5
(8 x − 7) 6
m) 3x 2 senx 3 + 3x 5 cos x 3
7
Professor Mauricio Lutz
7) Regra de L’Hôspital
Esta regra permite calcular certos tipos de limites, cujas indeterminações
∞
0
são do tipo
ou , aplicando as regras de derivação.
0
∞
Sejam f e g funções deriváveis num certo intervalo aberto I , exceto
possivelmente, num ponto a ∈ I . Se
∞
0
f ( x)
tem a forma indeterminada
ou
em
g ( x)
0
∞
x = a e se g ' ( x) ≠ 0 para x ≠ a então
lim
x →a
lim
x→a
f ( x)
f ' ( x)
= lim
desde que
g ( x ) x →a g ' ( x )
f ' ( x)
f ' ( x)
exista, ou lim
=∞
x
→
a
g ' ( x)
g ' ( x)
x2 − 9
.
x→3 x − 3
Pelo cálculo do limite temos
Exemplos: a) Calcule o lim
x 2 − 9 (3) 2 − 9 0
=
= , o que é uma indeterminação, pela regra de
x→3 x − 3
3−3
0
L’Hôspital tem-se:
d
d 2
(x − 3) = 1
x − 9 = 2x e
dx
dx
2x
Logo lim
= 2.3 = 6
x→3 1
lim
(
)
ex
.
x→∞ x
Pelo cálculo do limite temos
b) Calcule o lim
e x e∞ ∞
=
= , o que é uma indeterminação, pela regra de L’Hôspital
x→∞ x
∞ ∞
lim
tem-se:
( )
d x
d
(x ) = 1
e = ex e
dx
dx
ex
Logo lim = e ∞ = +∞
x→3 1
Obs.: Pode ocorrer que ao aplicarmos a regra de L’Hôspital a expressão lim
x→∞
f ' ( x)
g ' ( x)
ainda seja indeterminada neste caso desde que as condições da regra estejam
verificadas aplicamos a regra novamente.
Instituto Federal farroupilha
Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
8
Professor Mauricio Lutz
x 4 − x 3 − 3x 2 + 3x − 2
c) Calcule o lim 4
.
x→1 x − 5 x 3 + 9 x 2 − 7 x + 2
Pelo cálculo do limite temos
x 4 − x 3 − 3x 2 + 3x − 2 0
= , o que é uma indeterminação, pela regra de
lim 4
x→1 x − 5 x 3 + 9 x 2 − 7 x + 2
0
L’Hôspital tem-se:
lim
x→1
f ' ( x)
4 x 3 − 3x 2 − 6 x + 3
0
= lim 3
=
2
g ' ( x) x→1 4 x − 15 x + 18 x − 7 0
aplicando
a
regra
novamente
temos:
f ' ' ( x)
12 x 2 − 6 x − 6
0
lim
= lim
= aplicando a regra novamente temos:
x→1 g ' ' ( x )
x→1 12 x 2 − 30 x + 18
0
lim
x→1
24 x − 6 18
f ' ' ' ( x)
= lim
=
= −3
x
→
1
24 x − 30 − 6
g ' ' ' ( x)
Logo lim
x→1
x 4 − x 3 − 3x 2 + 3x − 2
= −3
x 4 − 5x3 + 9 x 2 − 7 x + 2
Exercícios
Ache o limite se existir:
x −1 − 2
b) lim 2
x→5 x − 25
senx
a) lim
x→0 2 x
d) lim
x 3 − 3x + 2
x2 − 2x + 1
e) lim
g) limπ
1 + senx
cos 2 x
h) lim
x cos x + e − x
2x2
k) lim
x→1
x→
2
j) lim
x→0
x→0
3 − 3x
x→−∞ 5 − 5 x
2 x 2 − 5x + 2
c) lim 2
x →2 5 x − 7 x − 6
x +1− ex
x2
f) lim
x→0
e x − e − x − 2 senx
x→0
xsenx
x2
x→∞ ln x
i) lim
2 x 2 + 3x + 1
x→∞ 5 x 2 + x + 4
l) lim
2e3 x − ln x
x→∞ e 3 x + x 2
o) lim
x ln x
x→∞ x + ln x
ln x
x→∞ x 2
n) lim
m) lim
x − senx
x3
Gabarito
1
2
b)
l) ∞
m)
a)
1
40
3
5
Instituto Federal farroupilha
Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
c)
n) 2
3
13
d) ∞
o) 0
e) −
1
2
f)
1
6
g) ∞
h) ∞
i) 0
j) ∞
k)
2
5
9
Professor Mauricio Lutz
8) Aplicações das derivadas
Regra da primeira derivada
Consideremos uma função real f , definida num domínio D , tal que f é
derivável em D . Os sinais da função derivada
f ' estão relacionados ao
crescimento ou decrescimento de f .
Valem as seguintes propriedades
⇒ Se f ' (a) > 0 , então f ( x) é crescente em x = a .
⇒ Se f ' (a ) < 0 , então f ( x) é decrescente em x = a .
Os pontos em que f ' ( x) = 0 podem ser de máximo ou de mínimo ou de
inflexão. Estes pontos são chamados pontos críticos de f .
Exemplos: a) Determine os pontos críticos e estudar a variação da função
f ( x) = x 3 − 3x , x ∈ ℜ .
f ( x) = x 3 − 3 x ⇒ f ' ( x) = 3 x 2 − 3
f ' ( x) = 0 ⇒ 3x 2 − 3 = 0 ⇒ 3x 2 = 3 ⇒ x 2 = 1 ⇒ x = ± 1 = ±1 (ponto crítico)
Vamos pegar pontos antes de depois dos pontos críticos.
f ' (−2) ⇒ f ' (−2) = 3(−2) 2 − 3 = 3.4 − 3 = 12 > 0
f ' (0) ⇒ f ' (0) = 3(0) 2 − 3 = 3.0 − 3 = −3 < 0
Gráfico de f
Instituto Federal farroupilha
Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
10
Professor Mauricio Lutz
b) Determinar os pontos críticos e estudar a variação da função
f ( x) = 3 x 4 − 4 x 3 + 5 , x ∈ ℜ .
f ( x) = 3x 4 − 4 x 3 + 5 ⇒ f ' ( x) = 12 x 3 − 12 x 2
f ' ( x) = 0 ⇒ 12 x 3 − 12 x 2 = 0 ⇒ 12 x 2 ( x − 1) = 0
⇒ 12 x 2 = 0 ⇒ x = 0 (ponto crítico)
⇒ x − 1 = 0 ⇒ x = 1 (ponto crítico)
Vamos pegar pontos antes de depois dos pontos críticos.
f ' (−1) ⇒ f ' (−1) = 12(−1) 3 − 12(−1) 2 = −12 − 12 = −24 < 0
f ' (1 / 2) ⇒ f ' (1 / 2) = 12(1 / 2) 3 − 12(1 / 2) 2 = −3 / 2 < 0
f ' (2) ⇒ f ' (2) = 12(2) 3 − 12(2) 2 = 48 > 0
Exercícios
Para cada função f ( x), x ∈ ℜ , determinar os pontos críticos e estude a variação.
a) f ( x) = x 3 − 3x 2 + 2
b) f ( x) = x 4 − 4 x 3 + 4
c) f ( x) = x 3 − 9 x 2 + 15 x + 2
d) f ( x) = x 3 − 3 x 2 + 3x + 3 e) f ( x) = x 4 − 2 x 2 + 2
f) f ( x) = 5 − 7 x − 4 x 2
g) f ( x) = 2 x 3 + x 2 − 20 x + 1 h) f ( x) = x 4 − 8 x 2 + 1
i) f ( x) = 10 x 3 ( x − 1) 2
j) f ( x) = 6 x 2 − 9 x + 5
Gabarito
a) Pontos críticos 0 e 2; 0 é ponto de máximo e 2 é ponto de mínimo.
b) Pontos críticos 0 e 3; 0 é ponto de inflexão e 3 é ponto de mínimo.
c) Pontos críticos 1 e 5; 1 é ponto de máximo e 5 é ponto de mínimo.
d) Ponto crítico 1; 1 é ponto de inflexão.
e) Pontos críticos –1, 0 e 1; –1 é ponto de mínimo, 0 é ponto de máximo e 1 é
ponto de mínimo.
f) Ponto crítico -7/8; -7/8 é ponto de máximo.
g) Pontos críticos –2 e 5/3; –2 é ponto de máximo e 5/3 é ponto de mínimo.
h) Pontos críticos –2, 0 e 2; –2 é ponto de mínimo, 0 é ponto de máximo e 2 é
ponto de mínimo.
i) Pontos críticos 0, 3/5 e 1; 0 é ponto de inflexão,3/5 é ponto de máximo e 1 é
ponto de mínimo.
j) Ponto crítico 3/4 ; ¾ é ponto de mínimo.
Instituto Federal farroupilha
Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
11
Professor Mauricio Lutz
Regra da segunda derivada
Consideremos uma função real f , definida num domínio D , tal que f é
derivável até segunda ordem em D , isto é, existem f ' ( x) e f ' ' ( x) em D . Os sinais
da função derivada f ' ' estão relacionadas à concavidade do gráfico f .
Valem as seguintes propriedades
⇒ Se f ' ' (a) > 0 , então f (x) tem concavidade para cima em x = a .
⇒ Se f ' ' (a) < 0 , então f (x) tem concavidade para baixo em x = a .
Um ponto x0 em que f ' ' ( x0 ) = 0 e f ' ' muda de sinal (antes e depois de
x0 ) é um ponto de inflexão de f . Se também f ' ( x0 ) = 0 , dizemos que é um ponto
de inflexão horizontal pois a reta tangente é paralela ao eixo x .
Se f ' ' ( x0 ) = 0 mas f ' ' não muda de sinal (antes e depois de x0 ), então
f não muda de concavidade em x0 , portanto, neste caso, x0 não é ponto de
inflexão.
Exemplos: a) Determine os pontos de inflexão e estudar a concavidade da função
f ( x) =
x3
, x ∈ℜ .
3
x3
3x 2
⇒ f ' ( x) =
= x 2 ⇒ f ' ' ( x) = 2 x
3
3
f ' ' ( x) = 0 ⇒ 2 x = 0 ⇒ x = 0
f ( x) =
Vamos pegar pontos antes de depois de x = 0 .
f ' ' (−1) ⇒ f ' ' (−1) = 2(−1) = −2 < 0
f ' ' (1) ⇒ f ' ' (1) = 2(1) = 2 > 0
Instituto Federal farroupilha
Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
12
Professor Mauricio Lutz
b) Determine os pontos de inflexão e estudar a concavidade da função
f ( x) =
x4
, x ∈ℜ .
8
x4
4 x3 1 3
3
⇒ f ' ( x) =
= x ⇒ f ' ' ( x) = x 2
8
8
2
2
3
f ' ' ( x) = 0 ⇒ x 2 = 0 ⇒ x = 0
2
Vamos pegar pontos antes de depois de x = 0 .
3
3
f ' ' (−1) ⇒ f ' ' (−1) = (−1) 2 = > 0
2
2
3
3
f ' ' (1) ⇒ f ' ' (1) = (1) 2 = > 0
2
2
f ( x) =
Não há ponto de inflexão.
Exercícios
Determine os pontos de inflexão e estude a concavidade da função f , x ∈ ℜ ,
dada.
x6
12
a) f ( x) = x 5
b) f ( x) =
e) f ( x) = − x 3 + 6 x
f) f ( x) = x 4 − 8 x 3
c) f ( x) = 4 x 2
d) f ( x) = x 3 − 3x 2
g) f ( x) = x 4 − 6 x 2
h) f ( x) = x 4 − 4 x
Gabarito
a) Concavidade p/baixo em ]-∞, 0]e concavidade p/cima em [0, +∞[; Ponto de
inflexão.
b) Concavidade p/cima; Não há ponto de inflexão.
c) Concavidade p/cima; Não há ponto de inflexão.
d) Concavidade p/baixo em ]-∞, 1]e concavidade p/cima em [1, +∞[; Ponto de
inflexão.
e) Concavidade p/cima em ]-∞, 0]e concavidade p/baixo em [0, +∞[; Ponto de
inflexão.
f) Concavidade p/cima em ]-∞, 0]; concavidade p/baixo em [0, 4] e concavidade p/
cima [4, +∞[; Ponto de inflexão.
g) Concavidade p/cima em ]-∞, -1]; concavidade p/baixo em [-1, 1] e concavidade
p/ cima [1, +∞[; Ponto de inflexão.
h) Concavidade p/cima; Não há ponto de inflexão.
Instituto Federal farroupilha
Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
13
Professor Mauricio Lutz
Máximos e mínimos
Lembremos que os pontos de máximos ou de mínimos de uma função
f podem ser determinados analisando os sinais da derivada primeira de f ' .
Outro recurso que pode ser empregado na identificação de pontos de
máximos ou de mínimos é analisar o sinal da derivada segunda nos pontos que
anulam a derivada primeira.
Valem as seguintes propriedades
⇒ f ' ( x0 ) = 0 e f ' ' ( x0 ) > 0 , se, e somente se x0 é ponto de mínimo de f .
⇒ f ' ( x0 ) = 0 e f ' ' ( x0 ) < 0 , se, e somente se x0 é ponto de máximo de f .
Exemplos: a) Identificar os pontos críticos da função f ( x) = x 6 − 6 x 2 + 4 , x ∈ ℜ .
f ( x) = x 6 − 6 x 2 + 4 ⇒ f ' ( x) = 6 x 5 − 12 x ⇒ f ' ' ( x) = 30 x 4 − 12
f ' ( x) = 0 ⇒ 6 x 5 − 12 x = 0
6 x 5 − 12 x = 6 x( x 4 − 2) = 0
⇒ 6x = 0 ⇒ x = 0
⇒ x 4 − 2 = 0 ⇒ x = ±4 2
Vamos aplicar o critério dos sinais da derivada segunda nos pontos
críticos:
Para x = 0
f ' ' ( x) = 30 x 4 − 12 ⇒ f ' ' (0) = 30(0) 4 − 12 = −12 < 0
Então, x = 0 é ponto de máximo local de f .
Para x = + 4 2
f ' ' ( x) = 30 x 4 − 12 ⇒ f ' ' (+ 4 2 ) = 30(+ 4 2 ) 4 − 12 = 48 > 0
Então, x = + 4 2 é ponto de mínimo local de f .
Para x = − 4 2
f ' ' ( x) = 30 x 4 − 12 ⇒ f ' ' (− 4 2 ) = 30(− 4 2 ) 4 − 12 = 48 > 0
Então, x = − 4 2 é ponto de mínimo local de f .
b) Identificar os pontos críticos da função f ( x) = x 6 , x ∈ ℜ .
f ( x) = x 6 ⇒ f ' ( x) = 6 x 5 ⇒ f ' ' ( x) = 30 x 4
f ' ( x) = 0 ⇒ 6 x 5 = 0 ⇒ x = 0
Para x = 0
f ' ' ( x) = 30 x 4 ⇒ f ' ' (0) = 30(0) 4 = 0 (nada podemos concluir)
Instituto Federal farroupilha
Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
14
Professor Mauricio Lutz
Sinais de f ' ( x) = 6 x 5
Vamos pegar pontos antes de depois dos pontos críticos.
f ' (−1) ⇒ f ' (−1) = 6(−1) = −6 > 0
f ' (1) ⇒ f ' (1) = 6(1) = 6 > 0
Portanto x = 0 é ponto de mínimo local de f .
Exercícios
Identificar os pontos críticos e se é ponto de máximo ou mínimo das seguintes
funções
a) f ( x) = − x 4
b) f ( x) = 4 x − x 4
c) f ( x) = x 5 − 5 x + 5
d) f ( x) = x 5 − 5 x 2 + 5
e) f ( x) = x 3 − 2 x 2 + x + 1
f) f ( x) = 3x 4 − 4 x 3 + 6
g) f ( x) = 2 x 6 − 6 x 4
h) f ( x) = ( x 2 − 1) 2
Gabarito
a)Ponto critico 0; Ponto de máximo.
b) Ponto critico 1; Ponto de máximo.
c) Pontos críticos –1 e 1; Ponto de mínimo em –1 e ponto de máximo em 1.
d) Pontos críticos 0 e 3 2 ; Ponto de mínimo em 3 2 e ponto de máximo em 0.
e) Pontos críticos 1 e 1/3; Ponto de mínimo em 1 e ponto de máximo em 1/3.
f) Ponto critico 0; Ponto de mínimo.
g) Pontos críticos 0, 2 e − 2 ; Ponto de mínimo em
2 e
− 2 e ponto de
máximo em 0.
h) Pontos críticos 0, 1 e − 1 ; Ponto de mínimo em 1 e − 1 e ponto de máximo em 0.
Instituto Federal farroupilha
Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br