área das figuras geométricas planas

1
Professor Mauricio Lutz
ÁREA DAS FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS
1.Área da região retangular
É o paralelogramo que possui os quatro ângulos internos retos, num retângulo,
temos:
A = B.h
P = 2B + 2h
d 2 = B2 + h2
Exemplo: Num retângulo, uma dimensão é o dobro da outra. Se a área do retângulo é
128cm2, calcule o seu perímetro.
A=128cm2
A = B.h Þ 128=h.2h Þ h=8 cm
P = 2B + 2h =8.2+16.2=48cm
Logo temos um perímetro de 48cm.
2.Área da região quadrada
É o paralelogramo que possui os quatro lados iguais e os quatro ângulos internos
retos.
Num quadrado, temos:
a) As diagonais cortam-se ao meio e são iguais.
b) As diagonais são perpendiculares entre si e bissetrizes dos ângulos internos;
c) O quadrado é ao mesmo tempo retângulo e losango.
P = 4l
A = l2
l
a=
2
d =l 2
Onde l = lado; a = apótema; d = diagonal.
IFFarroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
2
Professor Mauricio Lutz
Exemplo: A diagonal de um quadrado mede 8 2cm . Determine o apótema desse quadrado.
d = 8 2cm Þ d = l 2 Þ 8 2 = l 2 Þ l = 8cm
l 8
a = = = 4cm
2 2
Logo a = 4cm .
3.Área da região limitada por um paralelogramo
É o quadrilátero que possui os lados opostos paralelos. Num paralelogramo, temos:
a) Os lados opostos são iguais;
b) os ângulos opostos são iguais;
c) As diagonais cortam ao meio.
A = B.h
P = 2B + 2l
Exemplo: Calcule a área e o perímetro dos paralelogramo abaixo:
sen 60 º =
h
6
3 h
=
2
6
A = B.h Þ A = 3 3 .8 Þ A = 24 3
P = 2B + 2l Þ P = 2.8 + 2.6 Þ P = 28 .
h=3 3
4.Área da região limitada por um losango
É o paralelogramo que possui os quatro lados iguais. Num losango, temos:
a) Os ângulos opostos são iguais;
b) As diagonais cortam-se ao meio;
c) As diagonais são perpendiculares entre si e bissetrizes dos ângulos internos.
Dxd
2
P = 4l
A=
IFFarroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
3
Professor Mauricio Lutz
Exemplo: Calcule a área e o perímetro de um losango cujo lado mede 5cm e a diagonal
maior 8cm.
CAT 2 + CAT 2 = HIP 2
26=16+x2
x=3
Dxd
6x8
Þ A=
= 24cm 2
2
2
P = 4l = 5.4 = 20cm
A=
5.Área da região limitada por um trapézio
É o quadrilátero que possui apenas dois lados paralelos.
A=
(B + b ).h
2
Onde B = base maior; b = base menor; h = altura.
Exemplo: Calcule a área do trapézio abaixo:
sen 45º =
h
2 2
2
h
Þ h=2
=
2
2 2
A=
(B + b ).h (13 + 4)2
=
= 17
2
2
Logo a área é 17.
6.Área da região triangular
Em função da base e da altura.
A=
IFFarroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
B.h
2
4
Professor Mauricio Lutz
7. Área da região de um triângulo eqüilátero
É o triângulo que possui três lados iguais e três ângulos internos iguais, cada um
medindo 60º.
P = 3l
A=
l2 3
4
a=
l 3
h
ou a =
6
3
h=
l 3
2
Onde l = lado; a= apótema; h = altura.
Exemplo: Determine o perímetro e a área de um triângulo eqüilátero de lado 12cm .
P = 3l Þ P = 36cm
A=
l 2 3 12 2 3
=
= 36 3cm
4
4
Logo o perímetro é 36cm e área 36 3cm .
8 Área da região hexagonal regular
É o hexágono que possui seis lados iguais e seis ângulos internos iguais, cada um
medindo 120º.
P = 6l
A=
6l 2 3
.
4
a=
l 3
2
Onde l = lado e a = apótema.
Exemplo: O apótema de um hexágono regular mede 2 3 cm. Determine a sua área.
a= 2 3 cm Þ a =
A=
l 3
Þ l = 4cm
2
6l 2 3 6.16. 3
=
= 24 3cm 2
4
4
IFFarroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
5
Professor Mauricio Lutz
9 Área do círculo
Diam=2R
A0 = pR 2
C o = 2pR
Exemplo: A área de um círculo é 81pcm2. Calcule o comprimento da circunferência que
limita este círculo.
A=81pcm2
A0 = pR 2 = 81p Þ R = 9
C o = 2pR = 18pcm
Logo temos que o comprimento da circunferência é de 18pcm.
Exercícios
1) Qual é a área da região retangular cujas medidas são 24m por 12,5m?
2) Um terreno retangular tem 8,4m por 15m e esta sendo gramado. Sabendo que um quilo
de semente de grama é suficiente para gramar 3m2 de terreno, quantos quilos de semente
de grama são necessários para gramar o terreno todo?
3) Um lajota retangular tem 30cm por 20cm. Qual é a área da lajota? Quantas lajotas são
necessárias para cobrir o piso de uma garagem de 96m2 de área?
4) Quantos m2 de azulejo são necessários para revestir até uma parede retangular de 4m
por 2,75m?
5) Determine a área de um retângulo, sabendo que tem 46cm de perímetro e que o
comprimento excede o 7cm de largura.
6) Qual é a área de um quadrado que tem 6 2 cm de diagonal?
7) Um terreno tem forma quadrada, de lado 30,2m. Calcule a área desse terreno.
8) Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de lado. Qual é a área desse ladrilho?
9) Para ladrilhar totalmente uma parede de 27m2 de área foram usadas peças quadradas de
15cm de lado. Quantas peças foram usadas?
10) A diferença entre os perímetros de dois quadrados é 32m e a diferença entre as áreas é
176m2. Calcule as medidas dos lados desses quadrados.
11) A região de uma cartolina é limitada por um paralelogramo que tem 15,4cm de
comprimento por 8,5cm de largura. Qual é a área dessa região?
IFFarroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
6
Professor Mauricio Lutz
12) Qual é a área de um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 13cm e um dos catetos
mede 5cm?
13) Em um painel de publicidade está desenhado um triângulo retângulo isósceles (dois
catetos iguais) cuja hipotenusa mede 2 2m . Se 60% da área desse triângulo já foi colorida,
quantos m2 do triângulo foram coloridos?
14) Um hexágono regular tem 12cm de lado. Determine a área desse hexágono (lembrando
que o hexágono regular é formado por 6 triângulos eqüiláteros de mesma área).
2
15) A área de um triângulo eqüilátero é de 16 3cm . Nessas condições, qual é o perímetro
do triângulo?
16) Um jardineiro prepara um canteiro em forma de losango cujas diagonais medem 3,20m
e 2,40m. Qual é, em m2, a área ocupada por esse canteiro?
17) Um losango tem 40cm de perímetro. Se a medida da diagonal maior é o dobro da
medida da diagonal menor, determine a área do losango.
18) O quadrilátero ABCD é um trapézio cujas bases medem 30cm e 21cm. Sabendo que a
altura desse trapézio é 16cm, determine a área do trapézio.
19) A área de um trapézio é 39m2. A base maior mede 17cm e a altura mede 3cm. Qual é a
medida da base maior?
20) Um quadrado e um triângulo retângulo são equivalentes. A área do quadrado é 144m2, e
um cateto do triângulo retângulo mede 18m. Calcule a medida do outro cateto.
21) O piso (ou fundo) de uma piscina circular tem 10m de diâmetro (internamente). Calcule a
área do piso desta piscina.
22) Num campo de futebol, o grande círculo tem 10m de raio. Qual é a área do grande
círculo?
23) O diâmetro de uma roda mede 0,60m. Quantas voltas essa roda deve dar para percorrer
uma distância de 3768m?
24) A área de um círculo é 12,56m2. Calcule a medida do comprimento da circunferência.
25) O raio de uma circunferência é dado por r =
3x
- 5cm . Se o diâmetro mede 20cm,
2
determine x.
Gabarito
1)300m2
6) 36cm
2
11) 130,9cm2
3) 600cm2; 1600 lajotas
2) 42kg
7) 912,04m
2
8) 400cm
12) 30cm2
2
9) 1200 peças
13) 1,2m2
17) 80cm2
18) 408cm2
19) 9m
22) 314m2
23) 2000
24)12,56m
25) 10cm
5) 120cm2
10) 15m e 7m
2
14) 216 3cm
16) 3,84m2
IFFarroupilha - Campus Alegrete
RS – 377 km 27 – Passo Novo
Alegrete - RS
Fone/Fax: (55) 3421-9600
www.al.iffarroupilha.edu.br
4) 11m2
20) 16m
15) 24cm
21) 78,50m2