AGA0521 Manobras Orbitais

Aula 1a
As Leis de Kepler
e a Gravitação Newtoniana
Profa. Jane Gregorio-Hetem & Prof. Annibal Hetem
AGA0521 Manobras Orbitais
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1
Dinâmica: As Três Leis de Newton
Mecânica Clássica
A Mecânica Clássica (ou Newtoniana) é uma teoria
física cujas bases são as ideias de
•
•
•
•
Massa
Força
Posição
Aceleração
Ramos importantes da Mecânica Clássica:
• Dinâmica: estudo das interações entre força e massa
• Cinemática: metodologia que estuda o movimento
(independente de suas causas)
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2
A nova visão cósmica
ver texto Ombros de Gigantes
• Tycho Brahe (1546-1601)
Dados Observacionais (quantidade e qualidade)
• Johannes Kepler (1571-1630)
Formulação Matemática aplicada aos dados de Tycho
• Galileu Galilei (1565-1642)
Observação: luas de Júpiter, fases de Vênus, manchas Solares
• Isaac Newton (1642-1727)
Gravitação Universal: movimento corpos celestes
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3
AS LEIS DE KEPLER
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4
As Leis de Kepler
• As observações das
posições dos planetas (usando
dados do astrônomo Tycho Brahe)
podiam ser descritas por três leis.
• As três Leis de Kepler explicam:
• A órbita dos planetas.
• A variação da velocidade ao longo
da órbita.
• A diferença de velocidade dos
planetas.
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Johannes Kepler
Estas leis são
empíricas: obtidas
através da
observação, mas
sem formalismo.
5
Primeira Lei de Kepler
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6
1a Lei de Kepler: Elipses
Sabemos que na elipse, a soma
das distâncias até os focos é
constante: r + r’ = 2a, onde a
é o semi-eixo maior.
No caso de uma órbita
planetária, o semi-eixo maior
da elipse é a distância média
do Sol até o planeta
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7
O raio médio de uma órbita
Quando dizemos que o raio da órbita da Terra é de 150
milhões de km, estamos adotando um valor médio.
Na verdade, ao caminhar sobre sua elipse, a Terra se
aproxima até 147.098.074 km do Sol (periélio) e
chega a 152.097.701 km (afélio).
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8
Segunda Lei de Kepler
“Lei das Áreas”
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“O raio vetor que
liga um planeta ao
Sol descreve áreas
iguais em tempos
iguais.”
9
2a Lei de Kepler: Áreas
Lei da Áreas: A reta que liga o planeta ao Sol varre
áreas iguais em intervalos de tempo iguais.
variação nas velocidades dos planetas  o movimento
é mais rápido nos pontos da órbita que são mais
próximos do Sol.
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10
2a Lei de Kepler: Áreas
Ao mover-se entre o ponto A e o ponto B, ambos perto
do periélio, a linha que liga o planeta ao Sol define
uma área S1.
Ao mover-se entre o ponto C e o
ponto D, perto do afélio, a
linha que liga o planeta ao Sol
define uma área S2.
As áreas S1 e S2 são iguais. Isso
significa que a velocidade do
planeta varia, sendo menor
perto do afélio e maior perto
do periélio.
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11
Terceira Lei de Kepler
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12
a
3
Lei de Kepler: Harmonia
10 anos depois…
Busca de harmonia  Lei Harmônica
3ª Lei: O quadrado do período de um planeta é proporcional ao
cubo de sua distância média ao Sol.
2
T

k
3
a
P é o período sideral* do planeta e a o semi-eixo de sua órbita. A
constante k tem o mesmo valor para todos os corpos com
órbita ao redor do Sol.
*Período Sideral é o intervalo de tempo necessário para que o planeta percorra 360 o em torno do Sol
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13
3a Lei de Kepler: Harmonia
“O quadrado do período orbital de um planeta é diretamente
proporcional ao cubo do semieixo maior de sua órbita.”
Isso significa que, dados
dois planetas com
períodos T1 e T2 e raios
orbitais médios a1 e a2,
teremos:
2
2
1
2
3
3
1
2
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T
T

a
a
14
AS LEIS DE NEWTON
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15
Sir Isaac Newton
As três leis universais do movimento e da
gravitação
(Philosophiae Naturalis Principia
Mathematica - 1687)
•
Membro do Parlamento (1689-1690)
•
Chefe do tesouro e fazenda (1696-1727)
•
Presidente da Royal Society (1703-1727)
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16
Sir Isaac Newton
(carta a Robert Hooke - Fevereiro de 1676)
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Tycho Brahe
Johannes Kepler
17
Galileu Galilei
Primeira Lei de Newton
“Lei da Inércia”
A primeira lei de Newton diz que todo
corpo tende a manter o seu
movimento.
Se em repouso, irá permanecer em
repouso desde que não haja forças
atuando sobre este corpo, ou se
estas se anularem.
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18
Segunda Lei de Newton
“Lei Fundamental da Dinâmica”


F  ma

 dp
F
dt
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19
Terceira Lei de Newton
“Lei da Ação e Reação”
Duas forças:
-Mesma direção mas sentidos
opostos
-Mesma intensidade
-Aplicadas em corpos diferentes:
não se anulam!
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20
Lei da Ação e Reação
Fação  Freação
Fação  Freação
Yes!!
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21
Lei da Gravitação Universal

m1m2
F  G 2 rˆ
r
“Dois corpos se atraem na
razão direta de suas
massas e na razão inversa
do quadrado da
distância.”
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22
Lei da Gravitação Universal

m1m2
F  G 2 rˆ
r
• Força que atua à distância, sem necessidade
de contato entre os corpos.
Constante da gravitação:
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G
23
Exemplos
Calcule a força (em Newtons) devida à atração
gravitacional entre
1. O Sol e a Terra.
2. A Terra e a Lua.
3. A Terra e um pessoa de
50 kg em sua superfície.
4. Um elefante e uma formiga
a 2m.
5. O monte Everest e um
automóvel a 2 km.
6. Júpiter e a Terra.
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Dados:
Massa do Sol: M=1,98×1030 kg
Massa da Terra: M=5,98×1024 kg
Massa de Júpiter: M =1,8986×1027 kg
Massa da Lua: M=7,35×1022 kg
Massa do Monte Everest: 6,4×1015 kg
Massa de um elefante: 4500 kg
Massa de um automóvel: 1500 kg
Massa de uma formiga: 0,003 g
Distância Terra-Sol: 1,496×1011 m = 1 UA
Distância Terra-Lua: 384399 km
Raio da Terra: 6400 km
Distância Sol-Júpiter: 5,2 UA
24
Exemplos
1. Calcule a força devida à
atração gravitacional entre o
Sol e a Terra
m1m2
F G 2
r

F  6,674 1011
 1,98 10 5,98 10 
1,496 10 
30
24
11 2
F  3,53093 1022
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N
25
Exemplos
2. Calcule a força devida à
atração gravitacional entre a
Terra e a Lua
m1m2
F G 2
r

F  6,674 1011
 5,98 10 7,35 10 
24
22
384399000
2
F  1,98523 1020
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N
26
Leis de Kepler x Leis de Newton
Kepler
1. Órbitas = Elipses
2. Lei das áreas
3. Lei Harmônica
Newton
1. Lei da Inércia
2. F=ma
3. Ação e Reação
• Gravitação
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gravitação
27
3a Lei de Kepler na formulação Newtoniana
Newton combinou suas três leis de movimento e a lei
da gravitação para deduzir as leis empíricas de
Kepler.
• Kepler havia atribuído as órbitas elípticas a uma
“força de atração magnética”.
• Newton
– linha de raciocínio semelhante
– lei da gravitação universal: comprovou-a por meio
do movimento da Lua e explicou o movimento dos
planetas.
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28
3a Lei de Kepler na formulação Newtoniana (cont.)
Vamos considerar um sistema isolado: dois corpos em órbita circular,
sob ação de sua força gravitacional mútua (também se aplica a
órbitas elípticas); massas m1 e m2.
Ambos têm órbita em torno de um centro de massa suposto
estacionário, do qual distam de r1 e r2 .
baricentro
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29
3a Lei de Kepler na formulação Newtoniana (cont.)
Uma vez que a força gravitacional atua ao longo da linha
imaginária que os une, ambos os corpos devem completar
uma órbita no mesmo período P (embora se movam com
velocidades diferentes). Para uma órbita circular:
2π r
2π r
T
v
v
T
A força centrípeta necessária para manter as órbitas é:
v2
F m
r
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30
3a Lei de Kepler na formulação Newtoniana (cont.)
v12 4 π 2 r12 m1 4 π 2 r1 m1
F1  m1 

2
r1
P
r1
P2
(1)
v2 4 π 2 r 2 m
4π2 r m
2 2
2 2
F m 2 
2
2r
2 r
2
P
P
2
2
mas
então
F1  F2  r1m1  r2 m2
r1 m2

r2 m1
(2)
O corpo de massa maior permanece mais próximo do centro de massa.
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31
3a Lei de Kepler na formulação Newtoniana (cont.)
Re-escrevendo (2)
m2
r1  a  r1 
m1
onde
a  r1  r2
então
m2
m2
r1  a
 r1
m1
m1
 m1  m2 
m2
  a
r1 
m1
 m1 
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
m1
m2
m2
r1
 r1
a
m1
m1
m1
m2
 r1  a
m1  m2
(3)
32
3a Lei de Kepler na formulação Newtoniana (cont.)
m1m2
Fgrav  F1  F2  G 2
lembrando que
a
Podemos reformular a 3 lei de Kepler T 2  a 3
(4)
a
combinando (1), (3), e (4):
2
2
2
4 π 2 r1 m1
4
π
r
m
4
π
a
m
m
a
2
1
1
2
1
F1 

P


P2
F1
(m1  m2 ) G m1 m2
1/F1
r1
2

 3
4
π
2
T 
a
 G(m1  m2 ) 
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4 π2
K
G(m1  m2 )
33
Exemplo: no Sistema Solar
Entre as várias aplicações, podemos calcular, por exemplo, a
massa do Sol:
• Se um dos corpos tem massa muito maior que a do outro
(M >> mP), então
2
2


4
π
4
π
3
3
T2  
a

a

GM
 G(m1  m2 ) 
4π
K
GM
2
para o sistema Terra-Sol a distância é de 1U.A., e o período é de 1 ano.
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34
Cálculo da massa do Sol
4π 2 a 3
M 
G T2
4π 2 (1,5 1013 )3
cm 3
M 
8
7 2
3 1 - 2
2
(6,67 10 )(3,16 10 ) (cm g s ) (s )
então M = 1,99x1033g
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35
Atividade
Considere o planeta Endor e seu satélite natural Forest Moon,
cuja órbita tem 940 mil quilômetros em seu semi-eixo maior
e um período de 8 dias. Calcule a massa de Endor, supondo
que a massa de Forest Moon é desprezível, quando
comparada à massa do planeta.
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36
O PROBLEMA DE DOIS CORPOS
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37
O “problema de dois corpos”
Dois corpos de mesma massa,
em órbitas elípticas ao redor de
um centro de massa comum.
Dois corpos com diferentes massas,
orbitando ao redor de um centro de
massa comum.
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38
http://en.wikipedia.org/wiki/Two-body_problem
Equações do movimento
Consideremos as posição de
dois corpos próximos.
As velocidades e acelerações
de cada um deles vale:
Velocidades e acelerações
“absolutas”:
referentes ao referencial
adotado
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39
Equações do movimento
A posição relativa de m2 com
relação a m1 é dada por
E o vetor unitário que define r:
onde
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40
Equações do movimento
A força gravitacional exercida
por m1 sobre m2 vale
De acordo com a segunda lei de Newton
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41
Equações do movimento
Então
Ação e
reação
O centro de massa dos dois corpos “sente” uma
força dada por
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42
Equações do movimento
Podemos ainda admitir que o
centro de massa tem um
movimento dado por
O potencial gravitacional
é dado por
o que nos leva a
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43
Equações do movimento
Partindo de
Podemos escrever
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44
Equações do movimento
Definimos agora o parâmetro gravitacional m:
a unidade de m é
km3s-2
Esta é uma equação diferencial de segunda
ordem que estabelece o movimento de m2
com relação a m1.
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45
O MOMENTO ANGULAR
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46
Momento angular
• O Momento angular, H, é uma das grandezas
que se conserva num sistema isolado, dado
por


H  IW
onde I é o momento de inércia (em torno do
eixo de momento angular: é uma medida de
quanto ele resiste ao movimento angular), e W
é a velocidade angular.
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47
Momento angular
• Da mesma forma, expressa-se o momento
angular, H, como o produto vetorial entre a
posição do objeto a partir do centro de
rotação, r (chamada de braço do momento) e
o seu momento linear, p. Assim
  
H rp
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48
Momento angular
W
Regra da mão direita para obter a direção de W.
O giroscópio se mantém ereto quando tem
rotação devido ao momento angular, H, que
surge como consequência dessa rotação.
(Imagem: Wikipedia.)
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 

H  r  mv


H  IW
49
DEDUÇÃO DA EQUAÇÃO ORBITAL
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50
Apses
Apoapsis
rap  (1  e)a
(1  e) m
vap 
(1  e)a
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Focus
rper  (1  e)a Periapsis
v per 
(1  e) m
(1  e)a
51
Dedução da equação orbital (1)
Partindo do momento angular de m2 com relação a m1:
momento linear
de m2 com
relação a m1
Fazendo
teremos
h é o momento angular relativo por
unidade de massa de m2, isto é, o
momento angular relativo específico.
As unidades de h são km2 s-1
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52
Dedução da equação orbital (2)
Derivando h no tempo, obtém-se
d/dt
Mas
 r  r  0
r   m r

r3
Então
logo
O momento angular relativo específico não varia no tempo.
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53
Dedução da equação orbital (3)
A trajetória de m2 com relação a m1 fica em um plano cuja
normal é dada por h.
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54
Dedução da equação orbital (4)
Componentes da velocidade no plano da órbita
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55
Dedução da equação orbital (5)
Durante um intervalo de tempo diferencial dt, o vetor
posição varre uma área dA:
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dA/dt é chamada de
velocidade areal.
56
Dedução da equação orbital (6)
Lembrando que
então
Também é verdade que
então
Como
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podemos afirmar que
57
Dedução da equação orbital (7)
r  
m
r
3
r
xh
como
Devemos agora estudar
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58
Dedução da equação orbital (8)
Como
Aplicando uma das regras do produto vetorial
Também sabemos que
Então
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e
59
Dedução da equação orbital (9)
Mas
Então podemos dizer que
Assim, a equação original...
...pode ser
escrita como:
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60
Dedução da equação orbital (10)
dt
C é uma constante de integração que vale C = e m
Agora, podemos rearranjar a equação e obter
O vetor adimensional e é
chamado de vetor da
excentricidade.
e define a linha das apses.
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61
Dedução da equação orbital (11)
Gostaríamos de obter uma versão na forma escalar.
Começamos multiplicando por r:
Usando
obtemos
E ainda, com
chega-se a
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62
Dedução da equação orbital (12)
Pela definição de produto escalar, podemos escrever
q é a anomalia
verdadeira: ângulo entre
o vetor posição r e vetor
excentricidade e.
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63
A equação orbital
Define a trajetória de m2 em relação a m1.
Lembre-se que m, h, e e são constantes.
A equação orbital descreve seções cônicas, incluindo elipses.
– Equivale matematicamente à primeira lei de Kepler, ou seja, que os
planetas seguem trajetórias elípticas em torno do sol.
Órbitas de dois corpos são muitas vezes referidas como órbitas
Keplerianas.
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64
A equação orbital
h é o momento angular relativo por
unidade de massa de m2, isto é, o
momento angular relativo específico.
As unidades de h são km2 s-1
e é o módulo do vetor
adimensional que define a
linha das apses.
q é a anomalia
verdadeira: ângulo entre
o vetor posição r e vetor
excentricidade e.
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m é o parâmetro gravitacional.
65
A equação orbital
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66
A LEI DA ENERGIA
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67
A Lei da Energia (1)
Dados dois corpos em órbita, m1 e m2, o
momento linear relativo por unidade de
massa é dado pela velocidade relativa
Fazendo o produto escalar com a
equação orbital, chegamos em
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68
A Lei da Energia (2)
Sabemos que
E também que
pois
Assim,
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69
A Lei da Energia (3)
dt
energia
cinética por
unidade de
massa
energia
potencial por
unidade de
massa
energia
mecânica total
por unidade
de massa
Equação vis-viva: assegura a conservação da energia total.
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70
A Lei da Energia (4)
Na periapsis
como
Assim, podemos obter uma expressão para e em
função das constantes:
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71
A Lei da Energia
energia
cinética por
unidade de
massa
energia
mecânica total
por unidade
de massa
energia
potencial por
unidade de
massa
Equação vis-viva: assegura a conservação da energia total.
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72
Constantes do movimento orbital
Na ausência de outras forças que não a gravitacional,
duas quantidades se mantém constantes em uma
órbita.
• Energia mecânica, E:
1
mm
2
E  mV 
2
R
• Momento angular, H:
 

H  R  mV
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73
Constantes do movimento orbital
• Definição: Energia mecânica específica, e  E/m;
–É a energia (constante) da órbita independente da massa do V/E
–vale para qqr V/E: ISS ou microsat.
–e<0 => órbitas circulares e elípticas
1 2 m
–e=0 => trajetórias parabólicas
e V 
–e>0 => trajetórias hiperbólicas
2
R
• Definição: Momento angular específico, h  H/m;
–Porque observamos que o plano orbital se mantém fixo no espaço, um vetor
perpendicular, tal como h, é também constante em direção (desprezando
perturbações orbitais).
  
h  R V
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74