Programa de Pós-Graduaç˜ao em Matemática

Programa de Pós-Graduação em Matemática - UFRGS
Prova de Seleção - Mestrado
02/07/2013
Nome:
Questão 1. Sejam
P∞
n=1
(a) Prove que a série
an uma série absolutamente convergente e C > 0.
P∞
n=1
C an é absolutamente convergente.
(b)
P∞Prove que se f : R → R é uma função que satisfaz |f (x)| ≤ C|x| para x ∈ R, então a série
n=1 f (an ) é absolutamente convergente.
(c) Mostre que a série
P∞
n=1
sen (an ) é absolutamente convergente.
Questão 2. Sejam f , g e h funções definidas no intervalo [0, b), satisfazendo
f (0) = g(0) = h(0) e f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) para x ∈ [0, b).
(a) Prove que se f , g e h são deriváveis em 0, então
f 0 (0) ≤ g 0 (0) ≤ h0 (0)
(b) Prove que se f e h são deriváveis em 0 e f 0 (0) = h0 (0), então g é derivável em 0 e
g 0 (0) = f 0 (0) = h0 (0).
(c) Seja g : [0, +∞) → R a função definida por


se x = 0
 0
g(x) =
1
2

se x > 0
 x sen
x
g é derivável em x = 0? Em caso afirmativo, qual é a sua derivada? A derivada é contı́nua
no zero? Justifique cada resposta.
Questão 3. Seja f : [a, b] → R uma função limitada.
(a) Defina o conceito de Integrabilidade a Riemann para f .
(b) Mostre que a função g : [0, 1] → R dada por
(
1 se x é racional
g(x) =
0 se x não é racional
não é integrável. Mencione uma condição suficiente para que uma função seja integrável.
Rx
(c) Prove que se f é integrável, então a função F : [a, b] → R dada por F (x) = a f (t) dt
é uniformemente contı́nua.
Programa de Pós-Graduação em Matemática - UFRGS
Prova de Seleção - Mestrado
10/12/2012
Nome:
Questão 4. Sejam K um corpo, V um K-espaço vetorial de dimensão finita e u, v ∈ V . Mostre que
se f (u) = f (v), para todo funcional linear f ∈ V ∗ , então necessaraimente temos u = v.
Questão 5. Sejam V um espaço finito-dimensional sobre um corpo K e T : V → V um operador
linear. Mostre que:
(i) Se T é invertı́vel e V = W1 ⊕ W2 , então temos T (V ) = T (W1 ) ⊕ T (W2 ).
(ii) Reciprocamente, se para todos subespaços W1 e W2 de V tais que V = W1 ⊕ W2 , temos
T (V ) = T (W1 ) ⊕ T (W2 ), então T é invertı́vel.
Questão 6. Seja V um espaço vetorial finito-dimensional sobre um corpo K. Dizemos que uma
forma bilinear f : V × V → K é simétrica, se f (u, v) = f (v, u), para todos u, v ∈ V . Mostre que se
f é uma forma simétrica tal que f (v, v) = 0, ∀v ∈ V , então f = 0 (forma simétrica nula).