1a Semana 1. Descrever um atlas para a esfera Sn = {(x 1,x2,...,xn+

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1a Semana
1. Descrever um atlas para a esfera
Sn = {(x1 , x2 , . . . , xn+1 ) ∈ Rn+1 | x21 + x22 + · · · + x2n+1 = 1}
e correspondentes mudanças de coordenadas.
2. Mostrar que o toro T := R2 / ∼, onde
x, y ∈ R2 , x ∼ y,
⇐⇒ x − y ∈ Z2
é uma variedade. Ele é de que tipo?
3. (Espaços projetivos) Seja K o corpo R ou C. Definimos
x, y ∈ K n+1 \{0}, x ∼ y ⇐⇒ ∃k ∈ K\{0} tal que x = ky
e
KP (n) = (K n+1 \{0})/ ∼
RP (n) se chama o espaço projetivo real e CP (n) se chama o espaço projetivo complexo. Mostrar que RP (n) é uma variedade real e CP (n) é uma variedade complexa.
4. Mostrar que a variedade R/ ∼, onde
x, y ∈ R, x ∼ y ⇐⇒ x − y ∈ Z
é difeomorfo com S 1 .
5.
• Mostrar que
Gn,k = { subespaços vetoriais de dimenção k em Rn }
é uma variedade compacta.
• Gn,k ≈ Gn,n−k , Gn,1 ≈ RP (n − 1).
• A variedade dos subespaços vetoriais orientados de dimenção 2 de R4 é difeomorfo com S 2 × S 2 .
6. Mostrar que RP (1) ≈ S 1 .
7. Porque o lamniscate
{(x, y) ∈ R2 | (x2 + y 2 )2 = x2 − y 2 }
não é uma variedade (lisa)?
2a Semana
8. Seja A um toro real de dimenção n (ver as notas do curso). Mostrar que A é
paralelizável, i.e. existe um difeomorfismo f : T A → A × Rn que é induzido por
mapas lineares Tx A → {x} × Rn .
1
9. Seja A um toro real de dimenção n e π : Rn → A a função canonica. Decrever os
subconjuntos N de Rn tal que π(N ) é uma subvariedade de A.
10. Descrever o teorema de função inversa e dois corolários dele (utilizados na aula da
segunda semana).
11. Descrever os pontos crı́ticos de uma função C r f : Rn → Rm . Quais fibras da
f : R3 → R2 ,
f (x, y, z) = (x2 + y 3 , xez )
são subvariedades C r de R3 ?
12. Porque o conjunto
{(x, y) ∈ R2 | y 2 = x3 }
não é uma subvariedade C 1 de R2 ?
13. 1. Mostrar que
Tx S n = {v ∈ Rn+1 | v é perpendicular a x}
2. Mostrar T S n × R ≈ S n × Rn+1
14. Sejam M e N duas variedades analı́ticas e f : M → N uma função analı́tica. Se f é
constante num aberto de M e M é conexo então f é uma função constante.
3a Semana
15. Construir um mergulho de RP (2) em R4 (ver o livro de Hirsch, 1.3, Ex. 15). É
verdade que RP (2) ≈ a garrafa de Klein?
16. Seja E um fibrado vetorial com base conexo M e f : E → E um morfismo de fibrados
tal que f ◦ f = idE . Demonstrar o fato que
F ix(f ) := {x ∈ f (x) = x}
é um subfibrado vetorial de E.
17. Seja p um ponto de RP (n + 1). Mostrar que RP (n + 1) − {p} é difeomorfo à fibrado
linear canonico En de RP (n) (ver as notas do curso).
18. Mostrar que o fibrado linear canonico En de RP (n) não é trivial. (Analisar a vaiedade
En − Z, onde Z é a imagem da seção zero de En )
19. Justificar que o blow-up de {(x, y) ∈ R2 | x2 +y 2 < 1} em (0, 0) é a banda de Möbius.
20. Seja E um fibrado vetorial com base M . Mostrar que E ⊕E como um fibrado sempre
é orientável.
21. Seja π : M̃ → M o recobrimento de uma variedade M obtido por orientações do
fibrado tangente de M . Mostrar que M̃ é orientável. Descrever M̃ para M a banda
de Möbius.
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4a Semana
22. Provar que RP (n) para n impar é orientável mais para n par não é orientável.
23. Seja E um fibrado vetorial trivial de posto n com base M . Mostrar que exite uma
trivialização f : E → M × Rn tal que em cada fibra ela é uma isometria.
24. Seja U um atlas de um fibrado vetorial de posto n com base M . Se os cociclos
associados são em O(n) então existe uma única métrica em E tal que as cartas em
U são isometrias.
25. Consideramos a métrica de S 2 induzida da métrica canonica de R3 . Qual é o caminho
mais curto entre dois pontos distintos de S 2 ?
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Prova, 29/1/2007, 8:00-13:00
26. Quais fibras da função
f : R3 → R,
f (x, y, z) = (x2 + y 2 − 4)2 + z 2 − 1
são subvariedades de R3 ? No caso em que uma fibra de f é uma subvariedade de
R3 , determinar o tipo e codimensão dela.
27. Provar que cada fibrado vetorial E do tipo C r , r = 0, 1, 2, . . . , ∞ tem uma seção C r
diferente da seção zero.
28. Dada uma variedade M , mostre que o fibrado tangente T M (como uma variedade)
sempre é orientável. (Dica: Calcular as mudanças de coordenadas).
29. Dada uma variedade M . Definimos
∆ = {(x, x) ∈ M × M | x ∈ M }
Mostrar que
(a) ∆ é uma subvariedade de M × M .
(b) Existe um isomorfismo entre o fibrado tangente e o fibrado normal de ∆.
30. (a) Mostrar que o conjunto
SO(3, R) = {A ∈ GL(3, R) | A é uma isometria e det(A) = 1}
é uma subvariedade de GL(3, R).
(b) Mostrar que a variedade
T1 S 2 = ∪x∈S 2 {v ∈ Tx S 2 |< v, v >= 1}
é difeomorfa com SO(3, R).
AVISO: Escrever o enunciado dos teoremas utilizados nas demonstrações.
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6a e 7a Semana
C∞
31. Mostrar que uma função S n → S n com grau diferente de (−1)n+1 tem um ponto
fixo.
C∞
32. Dada uma função S n → S n de grau impar. Existe um ponto x ∈ S n tal que
f (−x) = −f (x).
33. Dada uma variedade M com bordo e x ∈ ∂M . Verificar que o conceito de um vetor
v ∈ Tx M olha para fora ou dentro está bem definido.
34. Na definição de indexx (v) (ver notas da aula) se v não for zero em x, mostrar que v̄
é homotopa a constante e portanto indexx (v) = 0.
35. Sejam f, g : C → C, f (z) = z k e g(z) = z̄ k . Mostrar que index0 (f ) = k, index0 (g) =
−k.
C∞
C∞
36. Sejam M, N, S variedades compactas conexas e orientadas e f : N → S g : M → N .
Mostrar que deg(f ◦ g) = deg(f ) deg(g).
37. Seja M uma variedade sem bordo, compacta, conexa e orientada com dim(M ) =
C∞
n ≥ 2. Se existir uma função S n → M de grau um então M é simplismente conexa.
38. Seja M ⊂ Rn+1 uma variedade compacta n-dimensional sem bordo. Para cada
x ∈ Rn+1 − M definimos
σx : M → S n , y 7→
y−x
|y − x|
(a) x e y estão em um componente de Rn+1 − M se e somente se σx ∼ σy .
(b) x está no componente infinita de Rn+1 − M se e somente se σx ∼ constante.
(c) Se M é conexa então x está no componente limitada se e somente se deg(σx ) =
±1.
39. Dada uma n-variedade M compacta e M = A ∪ B, onde A e B são n-variedades
compactas e ∂A = ∂B = A ∩ B.
(a) Temos
χ(A ∪ B) = χ(A) + χ(B) − χ(A ∩ B).
(b) χ(∂A) é par.
40. Provar que a caracterı́stica de Euler de uma variedade compacta, de dimensão dois
e género g é 2 − 2g.
41. Calcular a caracterı́stica de euler de um disco n dimensional.
42. Seja M uma variedade compacta e orientada sem bordo e
∆ = {(x, x) ∈ M × M | x ∈ M }
Mostrar
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(a) χ(M ) = #(∆, ∆).
C∞
(b) χ(M ) = 0 se e somente se existe uma função M → M sem ponto fixo e
homotopa a identidade.
43. Analisar soluções de alguns campos de vetores em um toro.
6
Prova, 22/2/2007, 8:00-13:00
44. Qual é o teorema de ponto fixo de Brouwer? Mencionar todos os teoremas que foram
utilizados na sua demonstração.
45. (a) Qual é a caracterı́stica de Euler de um toro e porque?.
(b) Qual é grau de uma translação e multiplicação por n ∈ N em um toro e porque?
(c) Dar um campo de vetores em um toro com soluções difeomorfa a S 1 .
C∞
46. Uma função S n → S n com a propriedade f (x) = f (−x), ∀x ∈ S n tem grau par.
C∞
47. Um difeomorfismo Rn → Rn que preserva a orientação é isotopa a identidade.
48. Calcular o numero de Euler de fibrado dual T ∗ S n de fibrado tangente de S n . Para
uma variedade M o fibrado dual está definido da seguinte maneira
Tx∗ M = {v : Tx M → R linear }, x ∈ M
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