Lista 21 - MTM

Cálculo 2 - Lista 21
Integrais impróprias I (Intervalo de intergração é ilimitado)
Nos exercı́cios 1 a 18, determine se a integral
imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a.
1.
R∞
2.
R1
3.
R0
4.
R∞
5.
R∞
6.
R∞
7.
R∞
8.
R0
9.
R∞
10.
R∞
11.
R∞
12.
R∞
13.
R∞
14.
R∞
15.
R∞
16.
R∞
17.
R∞
18.
R∞
0
21. Mostre que a integral imprópria
Z ∞
x(1 + x2 )−2 dx
−∞
é convergente e a integral imprópria
Z ∞
x(1 + x2 )−1 dx
−∞
e−x dx
é divergente.
x
−∞
e dx
−x2
−∞
1
x5
dx
2−x dx
22. Prove que a integral imprópria
Z ∞
dx
n
x
1
será convergente se e somente se n > 1.
0
5
x2−x dx
23. Determine se é possı́vel atribuir um número
finito para representar a área da região limitada pela curva cuja equação é
√dx
x−1
−∞
x cosh xdx
y=
−∞
x2 ex dx
xdx
√
3
9−x2
5
3xdx
−∞ (3x2 +2)3
√
3dx
3 x2 +9
e
xe−x dx
dx
x(ln x)2
dx
−∞ 16+x2
1
0
24. Determine se é possı́vel atribuir um número
finito para representar a medida da área da
região limitada pela curva cuja equação é
1
(x2 − 1)
pelo eixo x e pela reta x = 2.
possı́vel, determine-o.
Caso seja
2
−∞
e
e−|x| dx
1
+ e−x )
e pelo eixo x. Caso seja possı́vel, determine-o.
y=
dx
x ln x
−∞
(ex
25. Determine se é possı́vel atribuir um número
finito para representar a medida do volume do
sólido formado pela rotação, em torno do eixo
x, da região à direita da reta x = 1 e limitada
pela curva cuja equação é
ln xdx
−x
e
y=
cos xdx
1
x3/2
e pelo eixo x. Caso seja possı́vel, determine-o.
19. Calcule se existir:
R∞
(a) −∞ sin xdx
Rr
(b) limr→∞ −r sin xdx
Rb
20. Prove que se −∞ f (x)dx for convergente,
R∞
então −b f (−x)dx também será convergente e
terá o mesmo valor.
26. Determine se é possı́vel atribuir um número
finito para representar o volume do sólido formado pela rotação, em torno do eixo x, da
região limitada pelo eixo x, pelo eixo y e pela
curva cuja equação é y = e−2x . Caso seja
possı́vel, determine-o.
27. (a) Suponha que f e g são contı́nuas em [a, ∞).
R∞
R∞
Mostre que se a f (x)dx e a g(x)dx conR∞
vergem, então a (f (x) + g(x))dx converge.
R∞
(b) Mostre que se a f (x)dx converge então
R∞
cf (x)dx também converge para todo c.
a
28. Sejam f e g contı́nuas em [a, ∞) e assuma que
0 ≤ g(x) ≤ f (x) para x ≥ a. Mostre que
R∞
R∞
se a g(x)dx = ∞, então a f (x)dx = ∞ e
R∞
consequentemente a f (x)dx diverge.
29. Usando o resultado (28) mostre que cada uma
das integrais a seguir divergem.
(a)
Z ∞
1
dx
1 + x1/2
1
(b)
∞
Z
√
0
(c)
Z
1
dx
2 + sin x
∞
√
2
(d)
Z
∞
2
ln x
dx
x2 − 1
1
dx
(1 + x) ln x
30. Seja
Z
In =
∞
xn e−x dx
0
n ∈ N . Usando integração por partes mostre
que In = nIn−1 para n ≥ 1. Daı́, mostre que
In = n(n − 1)(n − 2) . . . 2.1
Respostas
1. 1
2. e
1
3. − 2 ln
5
1
4. 2 ln
2
5. (ln12)2
6. ∞ (divergente)
7. diverge
8. 2
9. −∞ (diverge)
10. 0
11. π3
12. ∞ (diverge)
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
(b)
2
0
1
π
4
∞ (diverge)
1
2
(a) @
0