Primeira Prova 2014-2 com gabarito - Instituto de Matemática

Universidade Federal do Rio de Janeiro
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Instituto de Matemática
Departamento de Métodos Matemáticos
Algebra Linear 3 (MAC 355) 2014-1
Primeira Prova
Prof. Samuel Senti
Justifique todas as suas respostas. Respostas não justificadas não serão contabilizadas.
1a QUESTÃO : Seja T : R2 7→ R2 o operador linear de R2 definido por
T (x, y) = (−y, x).
1. Dê a matriz de T na base canônica de R2 .
2. Dê a matriz de T na base {α1 , α2 } onde α1 = (1, 2) e α2 = (1, −1).
3. Prove que para cada c ∈ R o operador (T − cId) é invertı́vel.
4. Prove que se [aij ]1≤i,j,≤2 é a matriz de T numa base qualquer de R2 , então a12 a21 6= 0.
Resposta:
0 −1
1. A matriz de T na base canônica é
.
1 0
2. Temos T (α1 ) = (−2, 1) = − 31 α1− 53 α2 e T(α2 ) = (1, 1) = 23 α1 + 31 α2 então a matriz
− 31 23
de T na base {α1 , α2 } é dada por
.
− 35 13
3. Para que o operador seja invertı́vel, basta que o núcleo sejatrivial. O núcleo de T − cId
−c x − y = 0
é dada pela solução da equação (T − cId)(x, y) = ~0 ⇔
que tem
x −c y = 0
(x, y) = (0, 0) como única solução. Assim o núcleo é trivial e pelo teorema da dimensão,
a imagem de T − cId é um subespaço vetorial de E da mesma dimensão de que E, ou
seja, T − cId é invertı́vel.
4. Assume que a12 a21 = 0 numa base {~u, ~v } e que (sem restrição da generalidade) a21 6=
0. Então a12 = 0, o que significa que a T~v = a12~v . Assim ~v pertence ao núcleo de
T − a12 Id, contradizendo a invertibilidade de T − a12 Id ( ver item 3).
2a QUESTÃO : Seja E um espaço vetorial de dimenão finita e considere C ∞ (E, R) o conjunto
das funções infinitamente diferenciáveis. Prove que se {fi }1≤i≤n é uma coleção de funções de
C ∞ (E, R) linearmente dependentes, então o mesmo vale para suas derivadas.
Vale o contrário? Se as derivadas são linearmente dependentes, isso implica que as funções
também são linearmente dependentes? Prove ou dê um contra-exemplo.
Resposta:
Se a familia {fi }1≤i≤n
P for linearmente dependente, então existem {ai }1≤i≤n com pelo menos
um ai 6= 0 tal que 1≤i≤n ai fi (x) = 0 para todo x ∈ E. Usando a linearidade da derivada,
P
P
temos que D
1≤i≤n ai fi (x) =
1≤i≤n ai Dfi (x) = 0 com algum ai 6= 0 e assim a familia
das derivadas {Dfi }1≤i≤n são linearmente dependentes.
O contrário não vale. De fato, f (x) = x+1 e g(x) = 1 são linearmente independentes, embora
as suas derivadas f 0 (x) = 1 e g 0 (x) = 0 sãç linearmente dependentes.
3a QUESTÃO : Sejam A e B matrizes sobre um corpo K. Mostre que se Id − AB é invertı́vel,
então Id − BA é invertı́vel e (Id − BA)−1 = Id + B(Id − AB)−1 A.
Resposta:
Seja P := (Id−AB)−1 . Temos que (Id−BA)(Id+BP A) = Id+BP A−BA−BABP A =
Id + B(P − Id)A − B(ABP )A. Como Id = (Id − AB)P = P − ABP temos que ABP =
P − Id. Assim Id + B(P − Id)A − B(ABP )A = Id provando que (Id + BP A) é inverso a
direita. Para provar que é inversa, basta conferir que (Id + BP A)(Id − BA) = Id.
4a QUESTÃO :
Prove que não existe nenhuma aplicação linear A ∈ L(R5 , R2 ) tal que o núcleo de A seja
dado pelo conjunto N (A) = {(x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) ∈ R5 : x1 = 3x3 = 5x5 , e x2 = x4 }
Resposta:
Pelo teorema da dimensão, temos que dim(Im(A)) = dim(E) − dim(N (A)). Temos que
N (A) = {~x ∈ R5 : ~x = (x1 , x2 , 31 x1 , x2 , 51 x1 )} e os vetores (1, 0, 13 , 0, 51 ) e (0, 1, 0, 1, 0)
formam uma base. Assim dim(N (A)) = 2 e dim(Im(A)) = 3. Mas como Im(A) é um
subespaço vetorial de R2 pode ter no máximo dimensão dois. Obtemos assim uma contradição,
provando o enunciado.