Quest˜ao 1. Dado p ∈ P n, p(λ) = ∑ akλk, defina C(p) = 0 −a0 1 0 −a1 .


Questão 1.
0
−a0
 1 0
−a1
n−1

X

..
k
.
.
.. ..
Dado p ∈ Pn , p(λ) =
ak λ , defina C(p) = 
.

k=0

1 0 −an−1
1 −an




,


C(p)
a chamada matriz companheira de p. Prove que pc (λ) = p(λ). Conclua que um método
para calcular autovalores de uma matriz qualquer tem de ser, necessariamente, iterativo.
Questão 2.
Defina a sequência de Fibonacci pela recorrência
f1 = f0 = 0 e fn+2 = fn+1 + fn , n = 0, 1, . . .
Defina ainda a famı́lia de matrizes

1 −1
..

.
 1 1
Fn = 
.
.
. . . . −1

1
1



 , n = 1, 2, . . .

Prove que det(Fn ) = fn , n = 1, 2, . . .
Questão 3. Encontre uma fórmula explı́cita (não-recursiva) para o termo fn da sequência
de Fibonacci definida acima. (Não vale fn = det(Fn )!! Encontre uma fórmula que possa
ser facilmente utilizada com uma calculadora cientı́fica mixuruca, não-programável. Vale
usar as quatro operações, exponencial e logaritmo.) Dica: defina ~vn = (fn , fn−1 ) e escreva
~vn+1 como A~vn para uma matriz A convenientemente escolhida.
Questão 4.
Seja V um espaço vetorial de dimensão finita.
4.a. Sejam S ∈ L(V, V ) e T ∈ L(V, V ) tais que T S = ST . Prove que os autoespaços de
T são invariantes por S.
4.b. Sejam S ∈ L(V, V ) e T ∈ L(V, V ) diagonalizáveis. Prove que S e T comutam se e
somente se existe uma base que as diagonaliza simultaneamente (isto é, existe uma
base β tal que tanto [S]β quanto [T ]β são diagonais).
4.c. Seja S ∈ L(V, V ) tal que T S = ST ∀ T ∈ L(V, V ). Prove que S é a identidade.
Questão 5.
5.a. Seja V um espaço vetorial complexo de dimensão finita e T ∈ L(V, V ). Prove que
T é diagonalizável se e somente se pTm , o polinômio mı́nimo de T , tem apenas raı́zes
simples.
5.b. E no caso de um espaço vetorial real?
1
5.c. Prove que, se T é diagonalizável e M é invariante por T , então T |M também é
diagonalizável.
Questão 6.
Sejam V espaço vetorial de dimensão finita e A : V → V linear.
6.a. Prove que se ρ (A2 ) = ρ(A) então R(A) ∩ N (A) = {0}, isto é, imagem e núcleo de A
são disjuntos. (Questão do Exame de Qualificação de setembro de 1997.)
6.b. Vale a recı́proca, isto é, R(A) ∩ N (A) = {0} implica ρ (A2 ) = ρ(A)? Prove ou dê
contra-exemplo.
Questão 7. Sejam A : R25 → R5 e B : R125 → R25 transformações lineares tais que AB
seja sobrejetiva. Determine os possı́veis valores para a dimensão do núcleo de B. (Questão
do Exame de Qualificação de setembro de 2000.) Observação: não basta mostrar que
os valores estão em uma determinada faixa; é preciso mostrar que esta faixa é, de fato,
”realizável”.
Questão 8. Sejam U e V espaços vetoriais de dimensão finita (não necessariamente de
mesmas dimensões) e A : U → V uma transformação linear. Seja B : V → U também uma
transformação linear.
8.a. Mostre que
AB é projeção sobre R(A)
⇔
A B~b = ~b ∀ ~b ∈ R(A).
8.b. Mostre que existe uma B como no item anterior.
B é dita uma pseudo-inversa ou inversa generalizada de A. Esta nomenclatura se
justifica pela seguinte observação. A inversa de A é a matriz B tal que ~x = B~b é a única
solução de A~x = ~b para todo lado-direito ~b, quando tal matriz existe. Uma pseudoinversa de A é uma matriz B tal que ~x = B~b é uma solução (que não necessariamente é
única) de A~x = ~b quando o lado-direito é compatı́vel, isto é, ~b ∈ R(A).
Você demonstrou acima que uma pseudo-inversa sempre existe. Vamos agora discutir
sua unicidade.
8.c. Mostre que se A é sobrejetiva então AB = IV e que se A é injetiva então BA = IU .
Conclua que, se A é invertı́vel, a pseudo-inversa é única e coincide com a inversa.
8.d. Mostre que se A não é invertı́vel, existe mais de uma pseudo-inversa.
Muitos autores reservam o termo pseudo-inversa a A† , a pseudo-inversa de Moore-Penrose,
cuja definição está associada à decomposição em valores singulares (SVD). A pseudo-inversa
de Moore-Penrose está unicamente definida para qualquer matriz A.
Questão 9.
Sejam U , V e W espaços vetoriais e sejam
B: W → V
C: U → W
2
e
transformações lineares. Defina A = BC.
Prove que
R(A) = R(B) ⇐⇒ R(C) + N (B) = W.
Questão 10.
Teorema de Gerschgorin: seja An×n matriz quadrada qualquer. Então
λ ∈ σ(A) =⇒ λ ∈
n
[
∆δi (aii ),
i=1
P
onde δi = j6=i |aij | e ∆r (c) = {z ∈ C tal que |z − c| ≤ r}. Ademais, se uma componente
conexa desta região é formada pela união de k destes discos, então exatamente k autovalores
(contando multiplicidade algébrica) estão nesta componente conexa.
10.a. Prove a primeira parte do teorema. Dica: considere um autovalor λ e um autovetor
associado em que a entrada de maior valor absoluto é 1.
10.b. Prove a segunda parte do teorema. Dica: considere uma função contı́nua φA : [0, 1] →
Rn×n tal que φA (0) = D e φA (1) = A, onde dij = δij aij . Monitore os espectros de
φA (t) enquanto t varia de 0 a 1.
Questão 11.
Seja A ∈ C10×10 tal que:
• dim(ker(A − 2I)) = 2
• dim (ker ((A − 2I)2 )) = 4
• dim (ker ((A − 2I)3 )) = 5
• dim (ker ((A − 2I)4 )) = 6
• dim(ker(A + I)) = 2
• dim (ker ((A + I)3 )) = 4
Quais as possı́veis formas de Jordan de A?
Questão 12. Seja V = P5 , o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a 4 e seja
T : V → V dado por T (p) = p00 . Determine a forma de Jordan de T e construa uma base
de Jordan.
3