Escoamento Irrotacional - PUC-Rio

ESCOAMENTO POTENCIAL
Escoamento de fluido não viscoso,   0 


DV
Equação de Euler:
ρ
 ρ g  grad P
Dt
Escoamento de fluido incompressível   cte 
Equação da continuidade:

div V  0
Escoamento Irrotacional 



  rot V V 0
Se o escoamento for irrotacional, uma grande simplificação pode ser
obtida na obtenção do campo de escoamento: o campo de
velocidades pode ser obtido sem a solução da equação de Euler.
1
Angela Nieckele – PUC-Rio
Para situações bi-dimensionais, pode-se utilizar o conceito de função
de corrente
Escoamento bi-dimensional, incompressível, não viscoso,
irrotacional

u
y
função de corrente:


, v 
x
satisfaz a equação da continuidade
Se obrigarmos o escoamento a ser irrotacional, temos
para situações 2-D, e escoamento plano,
v
z  0 
x

u
y

   


 x  x

   


 y  y


V0
2   0
 satisfaz a equação de Laplace, para escoamento plano, não
viscoso, irrotacional, incompressível
2
Angela Nieckele – PUC-Rio
Procedimento de solução:
1. Resolve-se
2   0
com as condições de contorno apropriadas
2. Obtém-se os componentes da velocidade u e v pela definição de função de corrente 
3. Obtém-se a pressão p pela equação de Euler
Condições de contorno:

 velocidade ao longe conhecida:
y
 superfície sólida:  corpo

,
x
conhecidos
 cons tan te
1
Coordenadas polares: função de corrente u r 
r 
z  0 
1  r u  
1  ur

r r
r 

1    
 r

r
r r

, u  
r

1   1  

 
r r 
2   0
Condições de contorno:
 velocidade ao longe conhecida:
 superfície sólida:  corpo
Angela Nieckele – PUC-Rio

r
,
 cons tan te


conhecidos
3
Escoamento Tri-dimensional, Incompressível, Não
Viscoso, Irrotacional


Para situações 3-D, não podemos utilizar o conceito de função de
corrente, já que a mesma só é definida para situações 2-D.
Introduziremos um novo conceito:
FUNÇÃO POTENCIAL DE VELOCIDADE

função potencial de velocidade é definida de
 forma a satisfazer a
condição de escoamento irrotacional:   V  0

Sabemos que esta equação será sempre verdadeira se definirmos


V
onde  é um potencial, já que o rotacional do gradiente de qualquer
função potencial é sempre zero,      0 .
coordenadas cartesianas:
u



, v
, w
x
y
z
Angela Nieckele – PUC-Rio
coordenadas cilíndricas:
ur  


1
, u  
, uz  
r
z
r 
4
Se obrigarmos o escoamento irrotacional a satisfazer a equação de conservação de massa para

fluidos incompressíveis,   V  0 , temos
   


 x   x

   


 y   y
   


 z   z

2   0
 0 
 satisfaz a equação de Laplace, para escoamento não viscoso, irrotacional,
incompressível, 2-D ou 3-D.
Condições de contorno:
 velocidade ao longe conhecida:

x
,

y
 superfície sólida, velocidade normal nula:

n
,

z
conhecidos
 0
NÃO HÁ CONDIÇÃO IMPOSTA PARA O COMPONENTE
TANGENCIAL
Angela Nieckele – PUC-Rio

s
já que o escoamento é sem viscosidade
5
Procedimento de solução:
1. Resolve-se
2   0
com as condições de contorno apropriadas
2. Obtém-se os componentes da velocidade u e v pela definição de função potencial 
3. Obtém-se a pressão p pela equação de Euler
Obs: Podemos resolver 

e
a) linhas de corrente  = constante são sempre tangente ao campo de velocidade


b) V     

V é perpendicular as linhas de  constante (equipotenciais)
LINHAS DE CORRENTE E EQUIPOTENCIAIS SÃO ORTOGONAIS


e
6
Angela Nieckele – PUC-Rio
Pergunta:
Existe alguma vantagem em resolver a
equação de Laplace, ao invés da equação de
Euler?
SIM!!!
A análise da equação de Laplace está bastante
desenvolvida. Existem diversas técnicas disponíveis





superposição de soluções elementares
análise numérica
mapeamento conforme
analogia elétrica
etc.
7
Angela Nieckele – PUC-Rio
SOLUÇÕES ELEMENTARES PARA ESCOAMENTOS
PLANOS
Vários problemas interessantes de escoamento potencial
podem ser construídos a partir de três tipos de soluções
elementares:
 escoamento uniforme
 fonte ou sorvedouro
 vórtice
As soluções destes problemas podem ser combinadas produzindo
resultados úteis. Para isso, usamos o fato que a equação de Laplace é
linear e o princípio de superposição
Se 1 e 2 são soluções da equação de Laplace, a soma de 1  2
também é solução.
 2 1  0
Angela Nieckele – PUC-Rio
e
2  2  0

2 (1  2 )  0
8
9
Angela Nieckele – PUC-Rio
10
Angela Nieckele – PUC-Rio
11
Angela Nieckele – PUC-Rio
12
Angela Nieckele – PUC-Rio
13
Angela Nieckele – PUC-Rio
Exemplo 6.11: Escoamento sobre um Cilindro:
Superposição de Dipolo e Escoamento Uniforme.
Determine: (i) função corrente (ii) função potencial (iii) campo de velocidade
(iv) localize pontos de estagnação (v) campo de pressão
(vi) força resultante sobre o cilindro: arraste e sustentação
Solução:


escoamento uniforme:
Uy
dipolo:

   sen 
r
(i) Função corrente:
(ii) Função potencial:
Ux
;
;

   cos 
r

   sen   U r sen 
r

   cos   U r cos 
r
14
Angela Nieckele – PUC-Rio
(iii) Campo de velocidade:
ur 



V  u r er  u  e

1
, u  
r
r 


cos   U r cos 
r
ou
ur 
ur 

r
,
1 
u  
r 
 / U


  cos   U cos   U cos  1 

2
2
r

r
r 
u  
  / U
1


sen   U sen    U sen  1 

r 

r2
r2 

(iv) pontos de estagnação: ponto onde V  0 logo u r  0 e u   0
Note que u r  0
cilindro é a 
para qualquer  se r 
 / U  (r=cte  círculo) logo o raio do
/ U
Para ambos os componentes serem nulos, é preciso verificar se o componente angular pode
ser nulo sobre a superfície do cilindro.
Para r=a  u    2 U sen  . Então u   0 para = 0 e  
Os pontos de estagnação são (r, ) = (a, 0) e ( a, 
Angela Nieckele – PUC-Rio
15
A função de corrente pode representar um escoamento sobre um cilindro ou um semihemisfério
a
A
B
 a2 
  U r sen 1  2 
 r 
O perfil de velocidade sobre a superfície do cilindro é u  u    2 U sen  ;


V  u  e ;

V  V 2Usen
| u/U |
2
1

0
0
B
Angela Nieckele – PUC-Rio
45
90
135
180
A
16
(v) campo de pressão:
Para escoamento irrotacional podemos utilizar a EQUAÇÃO DE Bernoulli entre quaisquer
dois pontos: ponto no infinito e ponto sobre a superfície do cilindro

 U2 V2 
U2
U2
V2
 p  p   

1  4 sen 2
p  
p
  p  
2 
2
2
2
 2

Coeficiente de pressão: C p 
p  p
 U2 / 2

 1  4 sen 2

1
C
p
0

-1
-2 0
45
90
135 180
-3
17
Angela Nieckele – PUC-Rio

2



Força resultante sobre o cilindro: R  F A i  FS j 


p
dA


p
n
a L d


cilindro


 
n  e r  i cos  j sen
0
2
2


 2
R    p i cos   jsen a L d  FA    p cos  a L d e FS    p sen a L d


0
0
Força de arraste:
2
0
2 
1
1

FA     p   U 2  U 2 4sen 2 cos a Ld
2
2

0 
2
1


FA  p   U 2 aL  cos d2U 2 aL  sen 2cos d
2

 0
0
3
FA
1 2

2
2 sen 
 p   U sen 0 2U
aL
2
3


FA  0
2 
Força de sustentação: FS     p   1 U 2  1 U 2 4sen 2senaLd
2
2
0


2
1 2  2

2
FS  p   U aL  send2U aL  sen 2send
2

 0
0
FS

aL
2
1

2 
2
2 cos 
2
(2  sen )
 0
p   2  U  cos  0  2  U
3
0
Angela Nieckele – PUC-Rio
FS  0
18
2
0
0
Obs:
1. Na realidade existe arraste, veremos que o escoamento separa, ocorre a formação de
esteira.
2. Todo escoamento com simetria em relação a horizontal, apresenta sustentação nula.
19
Angela Nieckele – PUC-Rio
Exercício: Meia Superfície de Rankine
Conhecendo o seguinte campo potencial    m ln r  U r cos  , determine:
i) o campo de velocidades
y
ii) pontos de estagnação
r
iii)as linhas de corrente

iv) forma do corpo
x
a
Sabe-se
Sabe-se que
que
x=
x= rr cos
cos 

y=
y= rr sen
sen 

,,
logo
logo
m x 22  y 22  U x
 x 22  y 22   U x   m



m
ln
   m ln x  y   U x   2 ln
ln x  y  U x
2


i)
i)



u


u x
x
m
mx
x

U

 U  22
2
x
x 
y
y2



v


v y
y


m
my
y
2
2
x
x2 
y
y2
Angela Nieckele – PUC-Rio
m
m rr cos
cos 
  U

U

 U
 U
rr 22
m
m rr sen
sen 
 m
m sen 



rr sen 
rr 22
m
m cos 
rr cos 
20

ii) Ponto de estagnação: V
  0,
ii)ii)Ponto
Pontodedeestagnação:
estagnação:VV 0 ,0 ,

my
m r sen 
m
i) velocidade vertical: v = 0 para  = 0 e 
v



sen 
y
r
x2  y2
r2
i) i)velocidade
velocidadevertical:
vertical: v v= =0 0 para
para = =0 0e e 
ii) velocidade horizontal :

mx
m r cos 
m
ii)ii)velocidade
velocidadehorizontal
horizontal: :
u
 U 2

U


U

cos 
x
r
x  y2
r2
 em  = 0 , u = U + m / r = 0  r < 0
impossível
  em
em = =0 0, u, u= =UU+ +mm/ r/ r= =0 0r r< <0 0 impossível
impossível
 em  =  , u = U - m / r = 0  r = m/U = a x = - a
  em
em = =  , u, u= =UU- m
- m/ r/ r= =0 0r =r =m/U
m/U= =a
ax x= =- a- a


mx 
1 y
iii) u       U  m2mx x 2  dy  f ( x)  U y  m tan
 f ( x)
11y y
x
iii)iii)u u   y    UU  2x  2y dy

 dy f (fx()x) UUy y mmtan
tan
f (fx()x)
2
2
 y y
x
x
  x x  y y 

my
1 y
v




dx

g
(
y
)

m
tan
 m2my y 2
 
y yx  g( y)


1

1

x
v v  
    x  y dx  g( y)  m tan
 g( y)
 x x     x 2x 2 y 2y 2 dx  g( y)  m tan x x  g( y)
1 y
   U r sen  m 
 f(x) = 0 e
g(y) = U y    U y  m tan
11y y
x



U
y

m
tan

  mm 
f(x)
=
0
e
g(y)
=
U
y
 UUr sen
r sen
f(x) = 0 e
g(y) = U y    U y  m tan
xx
iv) o ponto de estagnação deve estar localizado sobre o corpo, logo o valor de  no ponto de
iv)iv)o oponto
pontodedeestagnação
estagnaçãodeve
deveestar
estarlocalizado
localizadosobre
sobreo ocorpo,
corpo,logo
logoo ovalor
valordedenonoponto
pontodede
estagnação é    m  ou    m 
estagnação
estagnaçãoé é  mm  ouou   mm 
O lugar geométrico da linha de corrente   m  , a qual separa o escoamento da fonte do
OOlugar
lugargeométrico
geométricodadalinha
linhadedecorrente
corrente mm , a, aqual
qualsepara
separao oescoamento
escoamentodadafonte
fontedodo
m (   )
escoamento uniforme é  m   U r sen  m   r mm( (  ))
  mm   r 
escoamento
r sen
r  U sen
escoamentouniforme
uniformeé é mm  UUr sen
UUsen

sen
21
Angela Nieckele – PUC-Rio
Exercício: Escoamento ao redor de um cilindro com rotação
Obtido com a combinação de escoamento:
   U  r sen

uniforme

dipolo

vórtice     K ln
 

sen
r
Definindo: a 2   / U 


  U  r sen 1 

Velocidade:
r
a
, a referência
a2 
r

K
ln

a
r 2 
r = a é uma linha de corrente (  = 0)
1 
ur 
r 

 U  cos  1 


u  
r

  U  sen  1 

Angela Nieckele – PUC-Rio
a2 

2
r 
a2  K

2
r  r
22
23
Angela Nieckele – PUC-Rio
Distribuição de pressão:
1
1
p   V 2  p    U 2
2
2
1
p  p    U 2
2
1
 
2
2
K


 V 2  u 2   2 U  sen  
a



K2 4 U K
2
2
sen
4 U  sen   2 
a
a


Força resultante sobre o cilindro:



R  F A i  FS j 
2

  p dA    p n a L d
cilindro
0


 
n  e r  i cos  j sen
2
2


 2
R    p i cos   jsen a L d  FA    p cos  a L d e FS    p sen a L d

0

0
0
24
Angela Nieckele – PUC-Rio
Força de
de arraste:
arraste:
Força
FA
F
A
1

 22
2
1



p
p  
U2 a L  cos d

   2
2 U  a L 0 cos d


0
2 K 22
22 2

4U
U K
K
2
22 4



2

K
2
2
 sen
 aaL
L  44U
U sen
sen cos
cos dd
 
cos dd 
 
sencos
cos dd 


cos
2

2
22  00
aa

00 aa
00
2
2

FA
sen33 2  22  U
U K
K sen
  2
K  
sen22 2 

2

2
F
sen

K
A   p    U2 

sen 20  22  U
U2

  sen



p

U


 00 


2






a
L
2
3
a
2
0
2
a
aL
2
3 0
a
2 0
a  

0
0
FA 
0
F
A 0
Força de
de sustentação
sustentação
Força
FS
F
S
 22 2
4U
U K
K
  2 K

K22  
22
22 4



3
2







2
2
3
2


p

U

a
L
sen

d


a
L
4
U
sen

d


sen

d

 
   U
  2   a L  sen d  a L   4 U 
sen  d  
  p 
sen

d


2
2
a


2 
2
a
 00


aa2  
00
00
22
cos
  2 K
K22  

2

2
2
cos

L pp    U
U2  2   cos
cos 20  22  U
U2 aa L
L
sen2 )) 
FFSS  aa L
((22  sen



2
3


0
2
2 
3

aa  
00


2

U K
K
U K
K
sen22 2 
22  U
22  U
  sen



a
L

0

0

aL
L 
  00

a L 2 
a

a
4
a
a
4 00
a
2
FS 
  2  K L  U
F
S  2  K L  U
Angela Nieckele – PUC-Rio
25
1a Questão: Um cilindro é formado ao aparafusar duas calhas semi-cilíndricas pelo lado interno,
como mostra a figura. Existem 10 parafusos por comprimento de largura em cada lado, e a pressão
interna é 50 kPa (manométrica). Determine a força em cada parafuso, se o fluido externo é ar a
CNTP (  12 kg/m3). Utilize a teoria de escoamento potencial, logo, o escoamento ao redor do
cilindro pode ser aproximado pela soma de um dipolo (   
 sen 
) com um escoamento
r
uniforme (   U  y ).
D = 20 cm
pin
U=25 m/s
p = patm
26
Angela Nieckele – PUC-Rio
ur 

 cos 
 /U 

 U cos  
 U cos  1 

r 
r2
r2 

u  
em r=(/U)0.5 , ur=0,
u= -2 U sin 

sin  
 /U 

 U sin  
 U sin  1 

r
r2
r2 

Entao R=D/2=(/U)0.5
2
V
 Vs
dp
s
ds 
 g z

t
2

Para =cte, regime permanente = >
2F 
 
 cons tan te
 ( pin  p ) sin  Rd L 
 0

U2
p  p  
1  4 sin2 
2
U 2 p u2 p



2

2 

 

U2
(
p

p


1  4 sin 2  ) sin  Rd L 

in

2
 0
 
U2
U2
2 F  ( pin  p  
) R L  sin  d  
R L4
2
2

0 


 cos  0  2

F
10 U 2  1
 2 ( pin  p ) 


2L N 
3
2 2 L N
Angela Nieckele – PUC-Rio

 
 sin  d

0 


3


cos 
4

2  sin 2  
3
0 3
F
 67 ,5 N / m
2L N
27
2a Questão: Uma usina nuclear despeja Q = 8,5 m3/s de água quente, utilizada no processo de
refrigeração no fundo do mar. O jato de água sai verticalmente do fundo do mar, que está a uma
profundidade de b = 7,6 m. A corrente marinha é igual a U = 0,4 m/s. Por razões ecológicas é
necessário saber, a que distância da saída da tubulação a corrente marinha é afetada pela água
quente. De acordo com a figura, deseja-se saber a e L. Note que este escoamento pode ser
representado por uma combinação de uma fonte e um escoamento uniforme.
Sabe-se:

Escoamento uniforme:
  U y

Fonte:  
Q/b

2 

x = r cos  

y  r sen  

r 2  x 2  y2 
r
y
U

x
2L
a
  tan 1 ( y / x)
28
Angela Nieckele – PUC-Rio
Q/b
Q/b
 U y 
  U r sin  

2
2
ur 

Q/b
 U cos  
r 
2 r
 U y 
u  
Ponto de estagnação: u=0 , ur=0
Ponto de estagnação: r=a, 

 U sin 
r
u=0 em 0 e 
ur=0 em 0 impossível
em  se a = (Q/b)/(2  U)
a = (Q/b)/(2  U)=0,44m
Q/b
2
Q/b
y Q/b
U y
tan 1 
2
x
2
Linha de corrente que passa pelo ponto de estagnação:
Lugar geométrico desta linha de corrente:
Q/b
y Q/b
y
tan 1 
2U 
x
2U
x yL
Q/b
L
 1, 4 m
2U
Angela Nieckele – PUC-Rio
Q/b
y
tan 1
2
x
L
 (a,  ) 
Q/b
Q/b
tan 1 0 
2U 
2U

zero
29