Lista de Exercícios de Cálculo 3 Terceira Semana Parte A 1

Lista de Exercícios de Cálculo 3
Terceira Semana
Parte A
1. Reparametrize as curvas pelo parâmetro comprimento de arco medido a partir do ponto t = 0 na direção
crescente de t.
(a) r(t) = 2ti + (1 − 3t)j + (5 + 4t)k
(b) r(t) = e2t cos 2ti + 2j + e2t sin 2tk
2. Encontre os vetores tangente unitário e normal unitário T(t) e N(t) para as seguintes curvas.
(a) r(t) = (2 sin t, 5t, 2 cos t)
(b) r(t) = (t2 , sin t − t cos t, cos t + t sin t), t > 0
√
(c) r(t) = ( t, et , e−t )
(d) r(t) = (t, t2 /2, t2 )
3. Encontre a curvatura das curvas abaixo.
(a) r(t) = t2 i + tk
(b) r(t) = ti + tj + (1 + t2 )k
4. Para a curva e o ponto P dados, ache a curvatura, o raio de curvatura, o centro de curvatura e esboce o
gráfico da curva e o círculo de curvatura em P .
(a) y = sen(x); P (π/2, 1)
(b) xy = 1; P (1, 1)
(c) y = sec(x); P (0, 1)
(d) 9x2 + 4y 2 = 36; P (2, 0)
(e) y = 12 x2 ; P 1, 12
5. Determine as equações dos planos normal e osculador para as curvas abaixo nos pontos dados.
(a) r(t) = 2 sin 3ti + tj + 2 cos 3t; (0, π, −2)
(b) r(t) = ti + t2 j + t3 k; (1, 1, 1)
6. Prove que, se um ponto percorre uma curva C com velocidade constante, então a aceleração é sempre normal
a C.
7. Se um ponto P se move ao longo de uma curva C com velocidade constante, mostre que o módulo da aceleração
é diretamente proporcional à curvatura da curva.
1
Parte B
1. Reparametrize a curva
r(t) =
2t
2
−
1
i+ 2
j
2
t +1
t +1
com respeito ao comprimento de arco medido a partir de t = 1 na direção crescente de t. Coloque a reparametrização na forma mais simples possível. O que é possível concluir sobre a curva?
2. A hélice geral é uma curva cujo vetor tangente faz ângulo constante com um vetor unitário u. Mostre que a
curva parametrizada por x = 3t − t3 , y = 3t2 e z = 3t + t3 ; t ∈ R é uma hélice geral, determinando um vetor
apropriado u.
3. Prove que a curvatura máxima de uma parábola ocorre no vértice.
4. Uma hélice elíptica tem equações paramétricas x = a cos t, y = b sin t, z = ct com a, b, c > 0 e a 6= b. Determine
a curvatura no ponto (x, y, z).
5. Encontre os vetores T, N e B no ponto dado.
(a) r(t) = (t2 , 2t3 /3, t), (1, 2/3, 1)
(b) r(t) = (cos t, sin t, ln cos t), (1, 0, 0)
6. Mostre que se um ponto se move ao longo do gráfico de y = f (x) para a ≤ x ≤ b, então o componente normal
da aceleração é 0 em um ponto de inflexão.
7. Em qual ponto da curva r(t) = t3 i + 3tj + t4 k o plano normal é paralelo ao plano 6x + 6y − 8z = 1?
8. Encontre para as trajetórias espaciais o vetor binormal e a torção.
(a) r(t) = coshti − senhtj + tk
(b) r(t) = cos3 ti + sen3 tj
Parte C
1. Uma partícula realiza um movimento helicoidal dado por
x = cos(πt)
y = sin(πt)
z = t/2
(a) Determine a direção tangente à esta trajetória no instante t = 3/4. (b) Determine o plano ortogonal à
trajetória da partícula em t = 3/4. (c) Determine a projeção da aceleração desta partícula no plano normal.
2. Suponha que uma curva C seja gráfico de uma equação polar r = f (θ). Se r0 = dr/dθ e r00 = d2 r/dθ2 , mostre
que a curvatura K em P (r, θ) é
|2(r0 )2 − rr00 + r2 |
.
K=
[(r0 )2 + r2 ]3/2
3. A Força G, FG , que pode ser observada nas transmissões de modalidades esportivas como a Fórmula 1 e
a Red Bull Air Race, representa, na verdade, o módulo da aceleração centrípeta agindo sobre o piloto em
uma determinada parte do percurso, seja curva ou reta. Essa aceleração é contabilizada como um múltiplo do
módulo da aceleração da gravidade g. A figura abaixo representa um mapa do Autódromo de Interlagos e nele
estão destacados dois pontos de baixa velocidade do circuito, o S do Senna e a Descida do Lago. Considere
que na Descida do Lago, no ponto destacado, se tenha FG = 4.5g e kvk = 43m/s ≈ 154km/h. Além disso,
suponha que a curva possa ser aproximada por uma circunferência r(t) = a cos ti + a sin tj.
2
Figura 1: Circuito de Interlagos
(a) Mostre que a fórmula da curvatura da circunferência é constante e dada por κ =
1
.
a
(b) Ache o raio da circunferência em função da aceleração da gravidade g.
4. ’A curvatura também presta o seu papel na Física. A magnitude da força necessária para mover um objeto a
uma velocidade constante ao longo de uma trajetória, de acordo com a segunda lei de Newton, é proporcional
a curvatura da trajetória’. Explique matematicamente porque essa sentença é verdadeira. (Obs: Esta citação
foi tirada de um artigo publicado no The American Mathematical Montlhy entitulado "Curvature in the
Eighties" de Robert Osserman, outubro de 1990, página 731. )
3
Resumo do Conteúdo
• Parâmetro comprimento de arco: existem, obviamente, muitas parametrizações para uma curva, tendo
em vista que uma partícula pode viajar sobre da curva a qualquer velocidade. Uma forma de criar uma
parametrização ’padrão’ é construí-la de forma que a velocidade da partícula sobre essa curva seja sempre
unitária e o parâmetro que faz isso é o comprimento de arco.
ˆ t
|r0 (τ )|dτ ;
– Fórmula: s(t) =
a
dr – Propriedade: = 1;
ds
• Vetor Tangente: é o vetor velocidade unitário.
– No parâmetro comprimento de arco: T(s) =
– No parâmetro tempo: T(t) =
dr
;
ds
1 dr
;
|r0 | dt
• Vetor Normal: como |T| = 1, então T · T0 = 0, ou seja, o vetor tangente T é perpendicular ao vetor T0 . O
vetor normal, então, é definido como sendo o vetor direção de T0 .
– No parâmetro comprimento de arco: N(s) =
– No parâmetro tempo: N(t) =
1 dT
;
|T0 | ds
1 dT
r0 (t) × (r00 (t) × r0 (t))
=
;
|T0 | dt
|r0 (t)| |r00 (t) × r0 (t)|
• Vetor Binormal: como os vetores tangente e normal são unitários e perpendiculares, defini-se o vetor
binormal como sendo B = T × N, independente do parâmetro.
– No parâmetro tempo: B(t) =
r0 (t) × r00 (t)
;
|r0 (t) × r00 (t)|
• Curvatura: a curvatura é definida como sendo a velocidade que o vetor tangente T(s) varia, considerando o
parâmetro comprimento de arco. Quando o vetor tangente varia muito rápido temos uma curva mais "fechada"
quando varia mais lentamente temos uma curva mais "aberta".
dT ;
– No parâmetro comprimento de arco: κ(s) = ds – No parâmetro tempo: κ(t) =
– Curva plana: κ(t) =
|r0 (t) × r00 (t)|
;
|r0 (t)|3
|x0 y 00 − y 0 x00 |
3/2
[(x0 )2 + (y 0 )2 ]
– Para y = f (x): κ(x) =
|y 00 |
3/2
[1 + (y 0 )2 ]
;
;
• Torção: é a taxa a que o plano osculador (formado pelos vetores T e N) gira sobre o vetor tangente T
enquanto o ponto P se move ao longo da curva. É a medida de como a curva se torce.
dB
· N;
ds
0
x
00
1
x
= 0
00
2
|r × r | 000
x
– Fórmula no parâmetro comprimento de arco: τ = −
0
– Fórmula no parâmetro tempo: τ =
00
(r × r ) · r
|r0 × r00 |2
4
000
y0
y 00
y 000
z0
z 00
z 000
;
• Plano Normal: plano formado pelos vetores N e B. Plano possui ’vetor normal’ dado por T.
• Plano Osculador: plano formado pelos vetores T e N. Plano possui ’vetor normal’ dado por B.
• Plano Retificante: plano formado pelos vetores T e B. Plano possui ’vetor normal’ dado por N.
• Componentes Tangencial e Normal da Aceleração: a aceleração de uma partícula pode ser escrita em
d
termos dos vetores tangente e normal seguindo a relação a(t) = |r0 (t)| T(t) + κ(t)|r0 (t)|2 N(t).
dt
5
Gabarito
Parte A
1. Respostas
2s
3s
4s
(a) r(s) = √ i + 1 − √
j+ 5+ √
k
29
29
29
s
s
s
s
(b) r(s) = 1 + √
cos ln 1 + √
i + 2j + 1 + √
sin ln 1 + √
k
2
2
2
2
2. Respostas
1
(2 cos t, 5, −2 sin t), N(t) = (− sin t, 0, cos t)
3
1
(b) T(t) = √ (2, sin t, cos t), N(t) = (0, cos t, − sin t)
5
√
1
2 t
√ , et , −e−t
(c) T(t) = √
1 + 8t cosh 2t 2 t
1
(1, t, 2t)
(d) T(t) = √
1 + 5t2
(a) T(t) =
3. Respostas
2
(1 + 4t2 )3/2
1
(b) κ(t) =
(3 + 4t + 2t2 )3/2
(a) κ(t) =
4. Respostas
(a) κ = 1, ρ = 1 e c = (π/2, 0)
√
√
√
(b) κ = 2/2, ρ = 2 e c = (1, 1 + 2)
(c) κ = 1, ρ = 1 e c = (0, 2)
(d) κ = 2/9, ρ = 9/2 e c = (−5/2, 0)
√
√
(e) κ = 1/2 2, ρ = 2 2 e c = (−1, 5/2)
5. Respostas
(a) Normal: −6x + (y − π) = 0; Osculador: x + 6(y − π) = 0
(b) Normal: (x − 1) + 2(y − 1) + 3(z − 1) = 0; Osculador: 3(x − 1) − 3(y − 1) + (z − 1) = 0
6. A aceleração da partícula pode ser escrita como a = aT T + aN N, em que aT =
velocidade é constante, i.e. kvk = c, então aT = 0. Portanto, a = κc2 N.
d
2
kvk e aN = κ kvk . Se a
dt
7. Usando o resultado da questão anterior, tem-se que kak = κc2 .
Parte B
1. Temos que s(t) = 2 arctan t, desta forma t = tan(s/2). Substituindo na curva, temos
r(s) = cos si + sin(s)j.
Isto é, a curva em questão é um círculo de raio 1.
6
2. u =(−1, −1, 1)
|f 00 (x)|
. Assim, considerando f (x) = ax2 +bx+c, tem[1 + f 0 (x)2 ]3/2
|2a|
|2a|
se que a curvatura é dada por κ =
. Derivando a curvatura, κ0 = −6a(2ax + b)
,
2
3/2
[1 + (2ax + b) ]
[1 + (2ax + b)2 ]5/2
b
verifica-se que seu único ponto crítico é x = − . Como κ → 0 quando x → ±∞ e κ > 0 temos que o vértice
2a
b
da parábola, x = − , é um ponto de máximo.
2a
q
a2 b2 + a2 c2 + (b2 c2 − a2 b2 ) sin2 t
.
4. κ(t) =
[a2 + (b2 − a2 ) sin2 t]3/2
3. A curvatura de uma função f (x) é dada por κ =
5. Respostas
2 2 1
1 2 2
2 1 2
(a) T =
, ,
, N = − , ,−
eB= − , ,
3 3 3
3 3 3
3 3 3
1
1
1
1
(b) T = (0, 1, 0), N = − √ , 0, − √
e B = − √ , 0, √
2
2
2
2
2
ds
2
6. A componente normal da aceleração é dada por aN = κ
= κ kvk . Sendo u(x) = xi + f (x)j, a
dt
|f 00 (x)|
|f 00 (x)|
0
2
(1
+
f
(x)
)
=
. Como
parametrização de uma função f (x), escreve-se aN =
[1 + f 0 (x)2 ]3/2
[1 + f 0 (x)2 ]1/2
00
aN = 0 se, e somente se, f (x) = 0, conclui-se que a componente normal é nula apenas em um ponto de
inflexão.
7. t = −1
8. Respostas
1
1
1
−1
(a) B = √ tanh t i + √ j + √ secht k e τ =
2 cosh2 t
2
2
2
(b) B = k e τ = 0
Parte C
1. (b) O plano ortogonal a trajetória da partícula é aquele que tem o vetor T como vetor normal;
2. Dica: A curva em coordenadas polares r = f (θ) define uma função em coordenadas cartesianas y = g(x).
|g 00 (x)|
. Levando em conta
A curvatura dessa curva em coordenadas cartesianas é dada por κ =
(1 + g 0 (x)2 )3/2
que x = r(θ) cos θ e y = r(θ) sin θ podemos derivar a expressão y = g(x) com relação a variável θ. Assim,
dg dx d2 y
d2 g dx dg d2 x
dy
=
e 2 = 2
+
. Substituindo os valores encontrados para dg/dx e d2 g/dx2 na fórmula
dθ
dx dθ dθ
dx dθ
dx dθ2
da curvatura, obtemos o resultado.
3. a) Temos que r0 (t) = −a sin ti + a cos tj. Logo, |v(t)| = a. Como κ(t) =
|v × a|
precisamos calcular o produto
|v|3
vetorial v × a. Assim,
v×a
i
j
k = −a sin t a cos t 0 −a cos t −a sin t 0 = a2 k.
7
1
a2
= .
a3
a
1
b) Como a aceleração centrípeta é a componente normal da aceleração do carro, temos que aN = κ · |v|2 = · 432 = 4.5g.
a
432
Ou seja, a =
m.
4.5g
Portanto, κ(t) =
8