Movimento em duas e três dimensões

Movimento em duas e três dimensões
Evandro Bastos dos Santos
20 de Março de 2017
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Introdução
Até agora vimos movimentos em uma direção apenas, que representamos por uma única
variável x(t). Nessa aula, veremos movimentos em mais de uma dimensão. Em geral temos
alguns exemplos, especiais, de movimentos em várias dimensões como:
• Lançamento de projéteis
• movimento circular uniforme
• movimento helicoidal (e outras formas geométricas)
Os dois primeiros, trataremos nesse curso, em aulas específicas.
Se relembrarmos da primeia aula, discutimos que uma grandeza escalar era uma grandeza sem direção associada, caracterizada apenas por um número, e uma grandeza vetorial,
eram quantidades descritas por uma magnitude, ou módulo, (sempre positiva) e uma direção e sentido.
2
Posição e Deslocamento
Vamos considerar a trajetória representada pelo movimento abaixo
Figura 1: Trajetória de uma partícula no plano xy.
São mostrados dois pontos Q e P, ambos têm coordenadas x e y, pois estamos no plano
xy, o vetor posição ~r, para cada ponto é denotado por ~rQ e ~rP , em que
~rQ (t) = (xQ (t), yQ (t))
~rP (t) = (xP (t), yP (t))
1
(1)
(2)
e o módulo de cada vetor pode ser descrito por
q
x2P + yP2
(3)
q
2
rQ = x2Q + yQ
(4)
rP =
A variação de posição, que chamaremos de deslocamento, é dado por ∆~r, que é simplesmente
∆~r = ~rQ − ~rP
(5)
Assim notamos que cada componente tem seu movimento independente, ou seja, x(t) e
y(t) devem ser tratados cada um como um problema diferente!
Exemplo: um ponto na trajetória de um móvel é dado pelas equações (em unidades SI):
x(t) = 0, 2t2 + 5t + 0, 5
y(t) = −t2 + 10t + 2
(6)
(7)
Calcule o deslocamento entre 3s e 6s.
Solução: Queremos o valor de ∆~r = ~r(6) − ~r(3), então temos que
em t=3s: x(3)=17m e y(3)=23m
em t=6s: x(6)=38m e y(6)=26m
Então ~r(6) = (38, 26) e ~r(3) = (17, 23), logo
~r = ~r(6) − ~r(3)
~r = (38, 26) − (17, 23)
~r = (21, 3)m
3
(8)
(9)
(10)
Velocidade
Para a velocidade temos a mesma definição por analogia. Temos um vetor velocidade ~v com
componentes vx e vy , dado por
~v = (vx , vy )
(11)
em que cada componente pode ser escrita por
∆x
∆t
∆y
vy =
∆t
vx =
ou para a velocidade instantânea, dependente de t,
2
(12)
(13)
dx(t)
dt
dy(t)
vy (t) =
dt
vx (t) =
(14)
(15)
Essas equações nos permite interpretar que a velocidade é sempre tangente a trajetória
e que |~v | coincide com a velocidade escalar para cada componente.
Observe, que assim como na posição, não há qualquer mistura entre as componentes,
fazendo com que o movimento entre cada uma delas seja completamente independente.
Vamos entender com um exemplo!
Exemplo: Para o exemplo anterior, calcule a velocidade média de cada componente e
determine o vetor velocidade média entre os instantes 3 e 6s.
Solução:
x(6) − x(3)
38 − 17
∆x
=
=
= 7m/s
∆t
6−3
3
y(6) − y(3)
26 − 23
∆y
=
=
= 1m/s
vy =
∆t
6−3
3
vx =
(16)
(17)
O vetor velocidade média será portanto:
~v = (7, 1)m/s
4
(18)
Aceleração
Novamente, temos a mesma analogia, a aceleração será dada por uma vetor aceleração ~a
com componentes ax e ay , dado por
~a = (ax , ay )
(19)
em que cada componente pode ser escrita por
∆vx
∆t
∆vy
ay =
∆t
ax =
(20)
(21)
ou para a aceleração instantânea, dependente de t,
dvx (t)
dt
dvy (t)
ay (t) =
dt
ax (t) =
(22)
(23)
Exemplo: Se no exemplo anterior, a velocidade da partícula é, ~v (3) = (6, 2; 4)m/s e ~v (6) =
(7, 4; −2)m/s, determine o vetor aceleração média entre os instantes t = 3s e t = 6s.
Solução:
3
ax =
∆vx
6, 2 − 7, 4
=
= −0, 4m/s2
∆t
6−3
4 − (−2)
∆vy
=
= 2m/s2
ay =
∆t
6−3
~a = (−0, 4; 2)m/s2
(24)
(25)
(26)
Desafio (valendo 0,1 ponto na AV1): Calcule, para o primeiro exemplo, o valor de ~v (t) e
~a(t).
Exercícios:
1. A velocidade de uma partícula que se move no plano xy é dada por ~v = [(6t − 4t2 ), 8],
sendo ~v em metros por segundo e t em segundos.
a) Em algum instante sua velocidade é nula? Qual?
b) Qual a velocidade em t = 4s?
c) Calcule a aceleração entre t = 3s e t = 5s.
d) Esse movimento tem aceleração constante? Justifique.
2. Diferencie deslocamento e distância percorrida.
3. Dois objetos se movem em trajetórias descritas na figura abaixo.
Figura 2: Exercício 3.
O objeto vermelho, tem deslocamento dado por ~r(t) = (3t, 4), e o objeto azul ~r(t) =
(3t, 2t). Quando os dois objetos se encontram?
a) t=1s
b) t=2s
c) t=3s
d) t=4s
e) Não se encontram nunca
4. Na próxima aula, estudaremos o movimento de lançamento de projéteis. Conceitue
com tuas palavras esse movimento.
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