Taxas Trigonométricas

Taxas Trigonométricas
Obs.: Com  é mais difícil (confere a resolução).
1) A intensidade da componente Fx é p% da intensidade da força F. Então, p vale
(a) sen(α)
(b) 100sen(α)
(c) cos(α)
(d) 100cos(α)
(e) cos(α)/100
F
)α
Fx
2) Considere as afirmações:
(I)
Um plano com inclinação de 30% possui um ângulo de 30º.
(II) Se ao subir um plano inclinado, a distância percorrida a partir da base é sempre o
dobro da altura adquirida, então o ângulo é de 30º.
(III) Um triângulo retângulo com um ângulo agudo x e hipotenusa 1, tem catetos
medindo sen(x) e cos(x).
(a) Todas são verdadeiras.
(b) Todas são falsas.
(c) Apenas I é II.
(d) Apenas II é III.
(e) Apenas I é III.
3) Um móvel sobe um plano inclinado, conforme a figura.
y
m

x

.
Com base nos vetores x, y, m, considere as taxas:
- distância em metros percorridos no sentido de y para cada metro percorrido no
sentido x.
- distância em metros percorridos no sentido de m para cada metro percorrido no
sentido x.
- distância em metros percorridos no sentido de y para cada metro percorrido no
sentido m.
Estas taxas são, respectivamente,
1
(a) tan(), sec(), sen().
(b) tan(), cos(), sec().
(c) cos(), sen(), tan ().
(d) cos(), sec(), sen().
(e) sec(), tan(), sen().
4) Uma móvel parte de um ponto de uma circunferência e percorre 200 radianos.
O número de voltas completadas é
(a) 20
(b) 31
(c) 43
(d) 55
(e) 60
5) (UFRGS) Sabendo-se que a = 1 e b = 3, na figura, então c é igual a
b
)
a
)2
c
(a) 2/2
(b) 3/2
(c) 1/2
(d) 1
(e) 3
6) (UCP) Se tan x = 2/3, então sen 2x vale
(a) 213 /15
(b) 12/13
(c) 6/13
(d) 13/15
(e) 213 /13
2
 7) (FUVEST) A tangente do ângulo 2x é dada em função da tangente de x pela seguinte
fórmula:
2 tan(x)
tan(2x) =
1- tan2(x)
Calcule um valor aproximado da tangente do ângulo 22°30’.
(a) 0,22
(b) 0,41
(c) 0,50
(d) 0,72
(e) 1,00
 8) (FUVEST) O dobro do seno de um ângulo , 0<</2, é igual ao triplo do quadrado
de sua tangente. Logo, o valor do seu cosseno é
(a) 2/3
(b) 3/2
(c) 2/2
(d) 1/2
(e) 3/3
9) Se a e b são lados de um triângulo qualquer e  a ângulo entre eles, então a área do
triângulo pode ser calculada por
ab
 sen( )
2
(b) ab  sen( )
(c) 2ab  sen( )
(d) ab  cos( )
ab
(e)  cos( )
2
(a)
a
)
b
3
10) Um foguete decola com velocidade constante de 100 Km/h na direção de uma linha reta
que forma um ângulo de 15 com a pista. A altura atingida pelo avião após 15 min é de?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
25( 6 
4
6 2
4
6 2
4
25( 6 
2
25( 6 
4
2)
km
km
km
2)
2)
km
km
11) (FAAP-SP) A soma dos comprimentos das bases de um trapézio retângulo vale 30 m.
A base maior mede o dobro da menor e um dos ângulos mede 30º. A altura do trapézio, em
metros, vale
(a) 5 3 / 3
(b) 5 2 / 3
(c) 10 2 / 3
(d) 10 3 / 3
(e) 10 3 / 4
12) (UCMG) Em um triângulo retângulo ABC, reto em A, o cateto AB mede 5m e
cos(B) = 0,4. A hipotenusa, em metros, mede
(a) 5,5
(b) 9,5
(c) 11,5
(d) 12,5
(e) 13,5
4
13) (PUC) A solução da equação cos(3x-/4)=0, quando 0x/2, é
(a) /4
(b) -/4
(c) 7/12
(d) /2
(e) 0
14) (UFRGS) Dentre os desenhos abaixo, aquele que representa o ângulo que tem medida
mais próxima de 1 radiano é
(a)
(b)
15) Uma força
cento é reduzida?
(c)
(d)

F é aplicada a 60 da direção do movimento. Quanto por

F
)60

FX
(e)
X
(a) 20%
(b) 30%
(c) 40%
(d) 50%
(e) 60%
5
RESOLUÇÃO
1) A intensidade da componente Fx é p% da intensidade da força F.
F
)α
Fx
Fx 
Fx = p% de F
p
F
100
p  100 
Fx
F
p=100cos()
2) (I) é F: Um plano com inclinação de 30% é tal que se sobe 30 para cada 100 que se
avança na horizontal.
tan() = 30/100 = 3/10 = 0,3.
Logo 30°, pois tan(30°) = 3/3  1,73/3 = 0,57.
30
)
100
(II) é V: Se a distância percorrida a partir da base é sempre o dobro da altura adquirida,
então sen()=h/2h=1/2.
2h
h
Logo =30°, pois sen(30°)=1/2.
)
sen() = (cateto oposto)/1 = cateto oposto.
cos() = (cateto adjacente)/1 = cateto adjacente.
(III) é V:
1
sen()
)
cos()
6
y
3)
m
)
x
- A distância em metros percorridos no sentido de y para cada metro percorrido no sentido
x é a razão entre o cateto oposto à  e o cateto adjacente à , ou seja, a tan().
- A distância em metros percorridos no sentido de m para cada metro percorrido no sentido
x é a razão entre a hipotenusa e o cateto adjacente à , ou seja, a taxa inverso do cos(),
ou seja, é a sec().
- distância em metros percorridos no sentido de y para cada metro percorrido no sentido m
é a razão entre o cateto oposto à  e a hipotenusa, ou seja, a taxa sen().
4) 1 volta  2 rad ()
1/ volta  2 rad (100)
100/ voltas  200 rad
100/ voltas  31,8 voltas.
Logo, são 31 voltas completadas.
5)
3

d
) 
1
h
2
c
+β+=180. Como =180°-2, substituindo,
temos: +(180-2)+=180.
180-  +  =180.
-+=0
Logo, =.
Se  e  são iguais, os lados opostos são iguais, ou
seja, d=1
Por Pitágoras nos triângulos retângulos:
(3)2 = (1+c)2 + h2
12 = c2 + h2
3 = 1 + 2c + c2 + h2
1 = c2 + h2

2 = 1 + 2c
Por Pitágoras, a2 = 22 + 32
6) tan(x) = 2/3
a
2
3
1 = 2c
c=1/2
a2 = 13
a = 13
sen(2x)=sen(x)cos(x)+sen(x)cos(x) = 2sen(x)cos(x).
2
3
12
sen(2 x)  2 


13
13 13
7
7) Vamos substituir na fórmula dada x por 22°30’=22,5°:
tan(2  22,5 0 ) 
2 tan(22,5 0 )
1  tan 2 (22,5 0 )
tan(45 0 ) 
2 tan(22,5 0 )
1  tan 2 (22,5 0 )
1
1  tan 2 (22,50 )  2 tan(22,50 )
tan 2 (22,50 )  2 tan(22,50 )  1  0
Vamos representar tan(22,5°) por t:
t2 +2t –1 = 0
Resolvendo: t 
2 tan(22,5 0 )
1  tan 2 (22,5 0 )
2 44 2 8 22 2


 1  2  1  1,41
2
2
2
t’=-1+1,41=0,41
Como 22,5° está no primeiro quadrante, a tangente é
positiva. Logo, a resposta é 0,41.
t”=-1-1,41=-2,41
8) 2sen()=3tan2()
2
1
x
x
x
 3 ( )2
1
y
(
y
x2 + y2 = 1
y2 
x2
2x  3 2
y
Por Pitágoras, temos: x2 + y2 = 1.
x2 
3x
1
2
2x2 + 3x – 2 = 0
3x
2
x
 3  9  4  2  (2)
2 2
 3  25  3  5
x’=-2 e x”=1/2.

4
4
Como  está no primeiro quadrante, x não pode ser negativo.
x
Logo, x=1/2.
y2 
Se x=sen()=1/2, então =30°.
Logo, cos()=3/2.
8
3x
2
A
9)
a
bh
2
h
Logo, A 
)
sen( ) 
h
a
h=asen()
b  a  sen( ) ab

 sen( )
2
2
b
ab
 sen( )
2
(b) ab  sen( )
(c) 2ab  sen( )
(d) ab  cos( )
ab
(e)  cos( )
2
(a)
10)
25 km
h
)15
100 km 100 km 25 km
. Logo, em linha reta, percorrerá 25 km em 15 min.


1h
60 min 15 min
h
h = 25sen(15).
sen(15) 
25
sen(15) = sen(45 - 30) = sen(45 + (-30)) = sen(45)cos(-30) + sen(-30)cos(45)
2
3 1
2
6 2
= sen(45)cos(30)-sen(30)cos(45) =

 

2
2 2 2
4
25( 6  2 )
h
4
11)
b
b + B = 30
B = 2b
10
h

b + 2b = 30
3b = 30
b = 10 e B = 20.
h
10
10 30(
B
No triângulo retângulo, tan(30) 
3 h

3 10
h
10
9
h
10 3
3
12)
cos( B)  0,4 
5
x
x
5
50

 12,5
0,4 4
C
(
A
5
B
13) cos(3x-/4)=0 e 0x /2
cos(/2)=0
Assim, quando 3x-/4 = /2, teremos o cosseno nulo.
3x = /2+/4
3x = 3/4
x=/4
cos(3/2)=0
Assim, quando 3x-/4 =3/2, teremos o cosseno nulo.
3x = 3/2+/4
3x = 7/4
x=7/12
Mas 7/12 não está entre 0 e /2.
O único possível valor para x entre 0 e /2 é /4.
14)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
1 radiano equivale aproximadamente 56 graus. A alternativa que apresenta o ângulo mais
próximo de 56 graus é a (b)
15) Fx = F × cos(600) = F × 0,5
Ao multiplicar por 0,5, há uma redução de 50%.
10
RESPOSTAS
1) D
2) D
3) A
4) B
5) C
6) B
7) B
8) B
9) A
10) E
11) D
12) D
13) A
14) B
15) D
11