Formulario Probabilidades e Estatística

INSTITUTO SUPERIOR POLITÉCNICO DE VISEU
ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA
Departamento de Matemática
PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA
FORMULÁRIO
PROBABILIDADES
Probabilidade condicional ou condicionada de A dado B: P( A | B) =
P(A ∩ B)
, se P(B)>0
P(B)
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
Média, valor esperado ou esperança matemática:
− E(X) ≡ µ X = ∑ x i f X ( x i ) ,
e
E(φ(X) ) ≡ µ φ( X ) = ∑ φ( x i )f X ( x i ) , se X é discreta com função de
i
i
probabilidade fX e tomando valores em {x1, x2, ...};
− E(X) ≡ µ X =
+∞
∫ x f X (x ) dx , e
−∞
+∞
E(φ( X) ) ≡ µ φ ( X ) = ∫ φ( x ) f X ( x ) dx , se X é (absolutamente) contínua
−∞
com função densidade de probabilidade fX.
Variância:
2
2
− Var (X) ≡ σ X = ∑ ( x i − µ X ) 2 f X ( x i ) = E (X − µ X ) , se X é discreta com função de probabilidade fX
(
)
i
e tomando valores em {x1, x2, ...};
+∞
(
)
− Var (X) ≡ σ X = ∫ ( x − µ X ) 2 f X ( x ) dx = E (X − µ X ) , se X é (absolutamente) contínua com função
2
2
−∞
densidade de probabilidade fX.
Var( X) = E (X 2 ) − [E (X)]
2
Desvio padrão: σ X = Var (X)
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
Se X tem distribuição de Bernoulli de parâmetro p:
p x (1 − p)1− x se x = 0 ∨ x = 1
f X (x ) = 
,
caso contrário
0
Se X tem distribuição de Binomial de parâmetros n e p:
 n  x
 p (1 − p) n − x se x = 0,1, 2,L
f X ( x ) =  x 
,
0
caso contrário

Se X tem distribuição de Poisson de parâmetro µ:
 e −µ µ x

se x = 0, 1, 2, L ,
f X ( x ) =  x!
0
caso contrário
E(X) = p
e
Var(X) = p(1-p)
E(X) = np
e
Var(X) = np(1-p)
e
Var(X) = µ
E(X) = µ
ESTIMADORES
X=
Média Amostral:
1
n
n
∑X
1
n −1
Variância Amostral: S 2 =
i
i =1
∑ (X
n
i =1
− X) =
2
i

1  n 2
 X i − nX 2 

n − 1  i =1

∑
ANÁLISE DE VARIÂNCIA
k
k - nº de amostras;
nj - nº de observações na amostra j; N=
∑n
j
- nº total de observações
j=1
TABELA ANOVA
Fonte de
Variação
Soma de Quadrados
∑ n (x
k
Entre
grupos
Dentro dos
grupos
SSA =
j
−x
j
j=1
2
nj
)
N-k
)
N-1
−xj
ij
j=1 i =1
Total
nj
∑∑ (x
k
SST =
ij
−x
j=1 i =1
x =
1
N
k
nj
∑∑
j=1 i =1
x ij =
1
N
k-1
Variância (Soma Média de
Razão F
Quadrados)
SS
S 2 MS A
S 2b = MS A = A
F = b2 =
k −1
MS E
S
p
∑∑ (x
k
SSE =
)
Graus de
Liberdade
2
2
S 2p = MS E =
SS E
N−k
k
∑n x
j
j
j=1
Testes de Comparação Múltipla
Teste HSD de Tuckey
A hipótese H0: µi =µj é rejeitada se
x i − x j ≥ ST (1−α ) .
(
)
MS E
2
1

 + 1 
 ni n j 


onde S T (1−α ) é tal que P W ≤ S T (1−α ) = 1 − α com W ~ S T (k , N -k)
Teste de Scheffé
A hipótese nula H0: µi =µj é rejeitada se
1
1 
x i − x j ≥ (k - 1)F(1-α ) . MS E  + 
 ni n j 


(
)
onde, F(1− α ) é o quantil de probabilidade (1-α) da distribuição FNk −−1k , isto é, P FNk −−1k ≤ F(1−α ) = 1 − α
2
Teste para comparação de k variâncias - Teste de Bartlett:
B=
S2j =
nj
1
2
( N − k ) ln S p −
C 
1
(X ij − X j ) 2 ,
n j − 1 i=1
∑
( ) ∑ (n
S 2p =
1
N−k
k
j=1
k
∑ (n
j
j

− 1) ln S 2j 

( ) ~
− 1) S 2j
Sob H 0
C = 1+
e
j=1
χ 2k −1
1  k 1
1 
−


3(k − 1)  j=1 n j − 1 N − k 
∑
Estatística de teste de Mann-Whitney
T=
n
onde R (X i ) é o score da observação X i
∑ R (X ) ,
i
i =1
Estatística de teste de Kruskal-Wallis
Caso de não haver empates, ou o número de empates ser pequeno:
k
R i2
12
T=
− 3( N + 1)
N( N + 1) i =1 n i
∑
Caso de haver muitos empates:
1  k R i2 N( N + 1) 2 
1  k
2
−
T= 2 

 , onde S =
4
N − 1  i =1
S  i =1 n i

∑∑ ( )
∑
ni
R X ij
j=1
2
−
N( N + 1) 2 
 e Ri =
4

∑ R (X )
ni
ij
j=1
Estatística de teste de ajustamento do Qui-quadrado
Q=
m
(O i − e i )2
i =1
ei
∑
Estatística de teste Kolmogorov-Smirnov
D n = sup Fn ( x ) − F0 ( x )
− ∞ < x < +∞
Estatística para os testes de homogeneidade e independência do Qui-quadrado
χ =
2
r
s
∑∑
i =1 j=1
(O
ij
− ê ij
)
2
ê ij
3
Medidas de Associação
χ2
q −1
; 0≤C≤
2
q
χ +n
Coeficiente de Contingência de Pearson: C =
onde q = min{r,s}
χ2
Coeficiente de Tshuprow: T =
(r − 1)(s − 1)
n
χ2
n (q − 1)
Coeficiente V de Cramer: V =
onde q = min{r,s}
ANÁLISE DE REGRESSÃO E CORRELAÇÃO
b = [b 0
SST =
(
b1 L b k ] = X T X
T
n
∑ (y
− y)
−1
XT y
SSE =
2
i
)
i =1
n
∑ (y
− ŷ i )
SSR =
2
i
i =1
n
∑ (ŷ
− y)
r2 =
2
i
i =1
SSR
SST
Testes sobre os coeficientes de regressão:
βˆ i − β i0
t n − k −1
Sβˆ Sob H 0
~
i
(
com Sβˆ = S c ii onde cii é o elemento diagonal da linha i +1 da matriz X T X
i
)
−1
e S2 =
SSE
n − k −1
Teste F:
F=
R2
SSR k
SSR k n − k − 1
=
×
=
k
SSE (n − k − 1)
S2
1− R 2
~F
Sob H 0
k
n − k −1
Caso da Regressão Simples:
n
∑x y
i
b1 =
i =1
n
∑x
i
n
−n x y
b0
b 0 = y − b1 x
2
i
−n x
r2 =
∑y
i
+ b1
i =1
∑y
i =1
i
i
− ny 2
i =1
n
2
n
∑y x
2
i
− ny 2
i =1
n
Sβˆ
2
0
∑x
2
i
i =1
= S2
n
n
∑x
i =1
2
i
Sβˆ = S2
1
2
− n 2x 2
1
n
∑x
2
i
− nx 2
i =1
4