Alguns Modelos de Probabiliade Discretos - ICEB-UFOP

3. Variáveis Aleatórias Discretas:
Uma quantidade X, associada a cada possível resultado do espaço amostral, é
denominada de variável aleatória discreta se assume valores num conjunto enumerável,
com certa probabilidade.
3.1. Função discreta de probabilidade:
A função que atribui a cada valor da variável aleatória sua probabilidade
é denominada de função discreta de probabilidade ou, simplesmente, função de
probabilidade. A notação a ser utilizada é:
P(X = x i ) = p( x i ) = p i, i = 1,2,...
ou ainda,
X
x1
x2
x3
...
pi
p1
p2
p3
...
Uma função de probabilidade satisfaz 0 ≤ p i ≤ 1 e
∑p
i
=1.
i
3.2. Função de distribuição de probabilidade:
A função de distribuição ou função acumulada de probabilidade de uma
variável aleatória discreta X é definida, para qualquer número real x, pela seguinte
expressão:
F( x ) = P(X ≤ x )
Principais Modelos Discretos:
3.3. Modelo Uniforme Discreto:
Seja X uma variável aleatória cujos possíveis valores são representados
por x1 , x 2 , x 3 ,..., x k . Dizemos que X segue o modelo Uniforme Discreto se atribui a
mesma probabilidade 1/k a cada um desses k valores, isto é, sua função de
probabilidade é dada por
P(X = x j ) = 1 / k , ∀ j = 1,2,..., k.
Seu valor esperado, ou esperança, é dado por: E (X) =
Variância: Var(X)=
k² −1
.
12
1+ k
.
2
3.4. Modelo Bernoulli:
Diz-se que uma variável X segue o modelo Bernoulli se atribui 0 ou 1 à
ocorrência de fracasso ou sucesso, respectivamente. Com p representando a
probabilidade de sucesso, 0 ≤ p ≤ 1 , sua função discreta de probabilidade é dada por
X
0
1
1p
pi
p
Ou, de modo resumido, P(X = x ) = p x (1 − p)1− x , x = 0,1.
Esperança: E(X) = p.
Variância: Var(X) = p(1-p).
3.5. Modelo Binomial:
Considere a repetição de n ensaios de Bernoulli independentes e todos
com a mesma probabilidade de sucesso p. A variável aleatória que conta o número total
de sucessos é denominada Binomial com parâmetros n e p e sua função de
probabilidade é dada por
n
P(X = k ) =  p k (1 − p) n −k , k = 0,1, 2, ..., n ,
k
n
com   representando o coeficiente binomial calculado por
k
n
n!
  =
.
 k  k!(n − k )!
Utiliza-se a notação X~bin(n,p) para indicar que a variável aleatória X segue o modelo
Binomial com parâmetros n e p.
Esperança: E(X)= n.p.
Variância: Var(X)=np(1-p).
3.6. Modelo Geométrico:
Diz-se que uma variável aleatória X tem distribuição Geométrica de
parâmetro p, se sua função de probabilidade tem a forma
P(X = k ) = p(1 − p) k , 0 ≤ p ≤ 1 e k = 0,1,2,....
Nesse caso, utiliza-se a notação X~G(p).
1− p
.
Esperança: E(X)=
p
1− p
Variância: Var(X)=
.
p²
3.7. Modelo Poisson:
Uma variável aleatória X tem distribuição de Poisson com parâmetro
λ > 0 , se sua função de probabilidade é dada por
e − λ .λk
P(X = k ) =
k = 0,1,2,...,
k!
Com o parâmetro λ sendo usualmente referido como a taxa de ocorrência. A notação
utilizada é X~Po( λ ).
Esperança: E(X) = λ .
Variância: Var(X) = λ .
3.8. Modelo Hipergeométrico:
Sendo um conjunto de n objetos dos quais m são do tipo I e n-m são do
tipo II. Para um sorteio de r objetos (r<n), feito ao acaso e sem reposição, defina X
como o número de objetos do tipo I selecionados.
Assim a variável aleatória X segue o modelo Hipergeométrico e tem sua função de
probabilidade dada pela expressão:
m n − m
 .

k r − k 
P(X = k ) =
, k= 0,1, .... , min(r,m).
n
 
r 
Esperança e variância de uma Hipergeométrica (n,m,r):
rm
Esperança: E(X)=
n
rm(n − m)(n − r )
Variância: Var(X) =
.
n ²(n − 1)
4. Medidas Resumo:
4.1. Medidas de Posição:
4.1.1. Medidas de posição para um conjunto de dados:
Considere uma variável X com observações representadas por x1 , x 2 ,..., x n .
A média desse conjunto é a soma dos valores dividida pelo
número total de observações. Isto é,
n
xi
x1 + x 2 + ... + x n ∑
i =1
x obs =
=
.
n
n
A mediana, representada por md obs , é o valor que ocupa a
posição central dos dados ordenados.
A moda é dada pelo valor mais frequente e é denotada por mo obs .
4.1.2. Medidas de posição para variáveis aleatórias discretas:
Supondo que os possíveis valores da variável aleatória sejam representados por
x 1 , x 2 ,..., x n , com correspondentes probabilidades p1 , p 2 ,..., p n .
A média, valor esperado ou esperança de uma variável X é dada pela
expressão:
n
E(X) = ∑ x i p i .
i =1
A mediana é o valor Md que satisfaz às seguintes condições:
P(X ≥ Md ) ≥ 1 / 2 e P(X ≤ Md ) ≥ 1 / 2 ,
a mediana é o ponto médio do intervalo.
A moda, é o valor (ou valores) da variável que tem maior probabilidade
de ocorrência, representando-a por Mo, tem-se:
P(X = Mo) = max(p1 , p 2 ,..., p n ).
4.2. Medidas de dispersão:
4.2.1. Amplitude de uma variável em um conjunto de dados:
A amplitude, referente a uma certa variável, é definida como a diferença entre o
maior e o menor valor do conjunto de dados. E é denotada por ∆ .
4.2.2. Variância e desvio-padrão em um conjunto de dados:
A variância, referente à variável X de um conjunto de dados, é definida por
1 n
( x i − x obs ) 2 .
∑
n i =1
Para manter a mesma unidade dos dados originais, é conveniente definir o
desvio-padrão como sendo dp obs = varobs .
varobs =
Operação alternativa para o cálculo da variância: varobs =
1 n
∑ x ² i − x ² obs.
n i =1
4.3. Variância de uma variável aleatória discreta:
Seja X uma variável aleatória com P(X i = x i ) = p i ,i = 1,2,..., n e média µ . A
variância de X é a ponderação pelas respectivas probabilidades, dos desvios relativos à
média, elevados ao quadrado, isto é,
n
Var (X ) = ∑ ( x i − µ) 2 p i .
i =1
Muitas vezes, variância é denotada por σ² . E o desvio-padrão que é a raiz
quadrada da variância, por σ .