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PREFÁCIO
Este volume corresponde ao segundo livro virtual lançado pelo Sistema de Ensino Interativo – SEI.
O livro trata de um curso de cálculo voltado para os vestibulares militares ao longo de quatro capítulos.
Cada um dos quatro capítulos inicia-se com uma breve introdução do assunto, seguido de questões dos
últimos concursos da EFOMM e Escola Naval, sendo um total de 112 exercícios.
Há ainda um último capítulo onde se encontra o gabarito das questões, bem como a solução daquelas que
nos capítulos anteriores possuem sua numeração iniciada com a letra R, totalizando 60 soluções.
Os demais exercícios serão resolvidos em vídeo
http://www.youtube.com/user/sistemasei, regularmente.
aulas
e
postados
no
site
do
livro,
Com isto o autor espera estender a sala de aula do SEI à residência dos que usarem este livro,
principalmente daqueles que não podem frequentar um curso preparatório, contribuindo para sua preparação
e aprovação.
O autor espera que o uso deste livro ocorra de forma interativa, ou seja, será um prazer receber comentários,
correções e pedidos, este contato pode ser feito diretamente com o autor pelo email
[email protected].
BOM TRABALHO!
Página | 2
SOBRE O AUTOR
Natural do Rio de Janeiro, Luciano, quando aluno foi medalhista de prata na Olimpíada de
Matemática do Estado do Rio de Janeiro - OMERJ (1993) e na Olimpíada Brasileira de Matemática - OBM
(1994), além disso, foi aprovado nos concursos da Escola Naval, IME e ITA e acabou optando pelo último.
Após algum tempo, resolveu seguir seu sonho e trocou a engenharia pela matemática, retornando ao
Rio de Janeiro, fez vestibular para a UFRJ, onde concluiu a Graduação em Matemática.
Paralelamente à graduação foi professor nos principais cursos preparatórios do Rio de Janeiro, tendo
contribuído na aprovação de centenas de alunos nos concursos da EFOMM, AFA, Escola Naval, IME e ITA.
Dois anos após ter terminado a Graduação em Matemática iniciou o Mestrado em Geometria
Diferencial e em seguida o Doutorado em Sistemas Dinâmicos, tendo participado de congressos nacionais e
internacionais.
Fundador do Sistema de Ensino Interativo – SEI, Luciano é um dos autores dos artigos de
matemática do SEI Ensina.
Atualmente Luciano é professor adjunto da UFRJ.
Luciano Nunes
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MATEMÁTICA PARA CONCURSOS MILITARES - VOLUME 2
ÍNDICE
1.
2.
3.
4.
5.
LIMITE E CONTINUIDADE...............................................................
DERIVADA...........................................................................................
APLICAÇÕES DE DERIVADA ..........................................................
INTEGRAL............................................................................................
GABARITO E SOLUÇÕES..................................................................
05
24
35
53
63
Página | 4
CAPÍTULO 1 – LIMITE E CONTINUIDADE
1. LIMITE LATERAL
Seja a função
f : IR  IR
e p  IR , dizemos que o limite de f quando x tende a p pela direita, ou por valores maiores ou superiores que p,existe e vale L ,
L  IR , se e somente se,
   0 ,   0 : 0 x p  
f ( x)  L
 .
O que equivale a escrever
lim f (x )  L ,
x p 
Analogamente dizemos que o limite de f quando x tende a p pela esquerda, ou por valores menores ou inferiores que p, é
se e somente se,
L  IR ,
   0 ,    0 :   x  p  0 
f (x)  L
 
O que equivale a escrever
lim f ( x )  L
x p 
EXEMPLO 1.1:
Seja
f : IR  IR
x  2 , x  1
x  f (x)  
 x , x  1
Podemos afirmar intuitivamente que
lim f (x)  lim
x 1
x 1
 x 2 
 3.
Página | 5
Já que, a partir do cálculo de alguns valores obtemos:
x
1,1
1,05
1,03
1,01
1,005
f(x) = x+2
3,1
3,05
3,03
3,01
3,005
Analogamente podemos afirmar intuitivamente que
lim f (x)  lim  x   1 .
x 1
x 1
Já que, a partir do cálculo de alguns valores obtemos:
x
0,9
0,95
0,97
0,99
0,995
f(x) = - x
- 0,9
-0,95
-0,97
-0,99
-0,995
EXEMPLO 1.2:
Seja
f : IR  IR
 x 1 , x  0

x  f (x)   0 , x  0
 2x  1 , x  0

Podemos afirmar intuitivamente que
lim f (x)  lim
x  0
x 0
 2x  1 
1 .
Página | 6
Já que, a partir do cálculo de alguns valores obtemos:
x
0,1
0,05
0,03
0,01
0,005
f (x) = 2x+1
1,2
1,1
1,06
1,02
1,01
Analogamente podemos afirmar intuitivamente que
lim f (x)  lim ( x  1 )   1 .
x0
x0
Já que, a partir do cálculo de alguns valores obtemos:
x
- 0,1
-0,05
-0,03
-0,01
-0,001
f(x) = x -1
- 1,1
- 1,05
-1,03
-1,01
-1,001
EXEMPLO 1.3:
Seja
f : IR  IR
x 
 x 1 , x  0

f (x)   0 , x  0
 2x  1 , x  0

Podemos afirmar intuitivamente que
lim f (x)  lim (2x  1)  1 .
x  0
x 0
Já que, a partir do cálculo de alguns valores obtemos:
x
0,1
0,05
0,03
0,01
0,005
f(x) = 2x+1
1,2
1,1
1,06
1,02
1,01
Página | 7
Analogamente podemos afirmar intuitivamente que
lim f (x)  lim ( x  1)  1 .
x 0
x 0
Já que, a partir do cálculo de alguns valores obtemos:
x
- 0,1
-0,05
-0,03
-0,01
-0,001
f(x) = x+1
0,9
0,95
0,97
0,99
0,999
EXEMPLO 1.4:
f : IR  IR
x  f ( x )  2x
Podemos afirmar intuitivamente que
lim f (x)  lim 2x  2 .
x 1
x 1
Já que, a partir do cálculo de alguns valores obtemos:
x
1,1
1,05
1,03
1,01
1,005
f(x) = 2x
2,2
2,1
2,06
2,02
2,01
Analogamente podemos afirmar intuitivamente que
lim f ( x)  lim 2x  2 .
x 1
x 1
Já que, a partir do cálculo de alguns valores obtemos:
x
0,9
0,95
0,97
0,99
0,995
f(x) = 2x
1,8
1,9
1,94
1,98
1,99
Página | 8
2. LIMITE
e
Seja a função f : IR  IR
dizemos que o limite de f quando x tende a p existe e vale L , L  IR , se e somente se,
p  IR ,
   0 ,   0 : 0
x p
 
f ( x)  L
 .
O que equivale a escrever
lim f ( x )  L .
x p
Das definições de limites laterais temos que o limite de uma função em um ponto p, p  IR , existe e tem valor L, L  IR , se e
somente se, os limites laterais de p existem e ambos valem L , ou seja,
 lim f ( x )  L
 x p
 lim f ( x )  L  
x p
f (x)  L
 xlim
p 

EXEMPLO 2.1:
f : IR  IR
x  2 , x  1
x  f (x)  
 x , x 1
Não existe lim f (x) , uma vez que lim f (x)   1  3  lim f (x)
x 1
x 1
x 1
EXEMPLO 2.2:
f : IR  IR
 x 1 , x  0

x  f (x)   0 , x  0
 2x  1 , x  0

Não existe lim f (x), uma vez que lim f (x)   1  1  lim f (x)
x0
x0
x0
EXEMPLO 2.3:
Seja
f : IR  IR
x 
 x 1 , x  0

f (x)   0 , x  0
 2x  1 , x  0

Uma vez que lim f ( x)  lim f (x)  1 temos lim f (x)  1
x 0
x 0
x 0
EXEMPLO 2.4:
f : IR  IR
x  f ( x )  2x
Uma vez que lim f (x)  lim f (x)  2 temos lim f (x)  2
x 1
x 1
x 1
Página | 9
3. CONTINUIDADE
Seja a função
f : IR  IR
p  IR , dizemos que f é contínua em p, se e somente se, existir lim f ( x ) e, além disso,
xp
lim f ( x)  f (p) .
x p
A função
f : IR  IR
É contínua, se e somente se, for contínua para todo ponto do seu domínio
EXEMPLO 3.1:
f : IR  IR
x  2 , x  1
x  f (x)  
 x , x 1
Não é contínua em 1, já que não existe lim f (x) , pois lim f (x)   1  3  lim f (x) e já que 1 nem pertence ao seu domínio.
x 1
x1
x 1
EXEMPLO 3.2:
f : IR  IR
 x 1 , x  0

x  f (x)   0 , x  0
 2x  1 , x  0

Não é contínua em 0, pois não existe lim f (x) , já que lim  f (x)   1  1  lim  f (x)
x 0
x 0
x 0
EXEMPLO 3.3:
f : IR  IR
 x 1 , x  0

x  f (x)   0 , x  0
 2x  1 , x  0

Não é contínua em 0, pois como
lim f (x)  1 já que lim f (x)
x 0
x 0
 lim f (x)  1.
x 0
Temos f ( 0 )  0  1  lim f (x)
x 0
EXEMPLO 3.4:
f : IR  IR
x  f ( x )  2x
É contínua em 1, já que lim f (x)  2 e f (1) 
x 1
2.
IMPORTANTE:
Na prática, podemos perceber que uma função é contínua se o seu gráfico não possui saltos para valores do seu domínio, os pontos
do domínio da função caracterizados por estes saltos são os ponto de descontinuidade da função, no exemplo 1.4 o gráfico da
função não possui saltos, logo a função é contínua em todo o seu domínio, já nos exemplos 1.1 , 1.2 e 1.3 , x = 1, x = 0 e x = 0
são, respectivamente, os únicos pontos de descontinuidade.
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4. PRINCIPAIS FUNÇÕES CONTÍNUAS
Todo polinômio real é uma função contínua.
EXEMPLO 4.1: lim ( x 3  2x 2  1)  23  2  2 2  1  17
x 2
Além disso, são contínuas
f : IR  IR
x  f ( x )  senx
f : IR  IR
x  f ( x )  cos x
f : IR  IR
x  f ( x )  a x , a  IR * , a  1
f : IR *  IR
x  f ( x )  log a x , a  IR * , a 1
5. PROPRIEDADES
Sejam
f1 : IR  IR
f 2 : IR  IR
funções reais e p  IR , tais que
lim f1 ( x )  L1
x p
e
lim f 2 ( x)  L 2
x p
Com L1 e L 2  IR , então,
5.1. LIMITE DA SOMA
lim ( f1 (x)  f 2 (x) )  L1  L 2
x p
Se f1 e f 2 são contúnuas então
lim ( f1 (x)  f 2 (x) )  f1 (p)  f 2 (p)
x p
EXEMPLO 5.1
lim ( x 2  cos (  x )  log 2 x)  5 .
x 2
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Como as funções polinomiais, cosseno e logaritmo são contínuas o limite de cada uma das funções acima existe, então:
lim ( x 2  cos (  x )  log 2 x )  lim ( x 2 )  lim ( cos (  x ) )  lim ( log 2 x )
x 2
x 2
2
x 2
x 2
 2  cos ( 2  )  log 2 2  4  0  1  5.
5.2. LIMITE DA MULTIPLICAÇÃO
lim ( f1 (x)  f 2 (x) )  L1  L 2
x p
Se f1 e f 2 são contúnuas então
lim ( f1 (x)  f 2 (x) )  f1 (p)  f 2 (p)
x p
EXEMPLO 5.2.
Justifique lim ( x 2  sen (  x ) )  0 .
x 4
Como as funções polinomiais, seno são contínuas o limite de cada uma das funções acima existe, então:
lim ( x 2  sen (  x ) )  lim ( x 2 )  lim ( sen (  x ) )  4 2  sen (4)  0
x 4
x 4
x 4
5.3. LIMITE DA DIVISÃO
 f (x)
L 2  0  lim  1
x p f 2 ( x )


L
  1
L
2

Se f1 e f 2 são contúnuas
 f (x)
f 2 (p)  0  lim  1
x p f 2 ( x )

 f 1 ( p)
 
 f 2 ( p)
EXEMPLO 5.3.


x2  1
  1.
lim 

x 0 log(x  1)  cos x 


Como as funções polinomiais , cosseno e logaritmo são contínuas o limite de cada uma das funções acima existe, além disso,
como
lim ( log(x  1)  cos x)  lim (log(x  1))  lim (cos x)  log(0  1)  cos (0)  0  1  1  0
x 0
x0
x 0
Teremos
lim ( x 2  1)
2


x

1
02 1
1
x
0
 
lim 

 1
x 0  log(x  1)  cos x 
lim
(log(
x

1
)

cos
x
)
log(
0

1
)

cos
(
0
)
1


x 0
5.5. LIMITE DA COMPOSTA
Sejam f1 : IR  IR contínua e f 2 : IR  IR funções reais e p  IR


 lim f 2 ( x )  lim ( f1  f 2 ( x ) )  f1  lim f 2 ( x ) 
x p
x p
 xp

EXEMPLO 5.5.
lim ( x 2  5x  2 ) 4  16 .
x 0
Como as funções polinomiais, seno são contínuas o limite de cada uma das funções acima existe, além disso, como
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lim ( x 2  5x  2)  2
x 0
Temos
lim ( x 2  5x  2 ) 4  2 4  16
x 0
6. LIMITES NO INFINITO
Primeiramente vamos entender o conceito de infinito, quando dizemos que x tende a mais infinito, estamos dizendo x assume
valores arbitrariamente grandes, ou seja, pode ser maior que qualquer número real.
Analogamente, quando dizemos que x tende a menos infinito, estamos dizendo x assume valores arbitrariamente pequenos,
ou seja, pode ser menor que qualquer número real, dito isso podemos definir de forma rigorosa os limites de uma função quando x
tende a mais ou menos infinito.
Seja a função
f : IR  IR
Dizemos que o limite de f quando x tende a mais infinito existe e vale L , L  IR , se e somente se,
   0 ,  M  IR : x  M 
f (x)  L
 
O que equivale a escrever
lim f ( x)  L .
x  
Além disso, dizemos que o limite de f quando x tende a menos infinito existe e vale L , L  IR , se e somente se,
   0 ,  M  IR : x  M 
f ( x)  L
 
O que equivale a
lim f ( x)  L
x 
EXEMPLO 6.1.
f : IR*  IR
x  f (x) 
1
x
Do gráfico podemos afirmar que
Página | 13
lim f (x)  0
x 
e
lim f (x)  0
x 
Repare que quanto maior o valor de x , mais próximo o gráfico fica do eixo das abscissas e da mesma forma quanto menor o
valor de x , mais próximo o gráfico fica do eixo das abscissas, no primeiro caso a função se aproxima por valores superiores e no
segundo caso a função se aproxima por valores inferiores, o que nos permite ser mais exato nos limites acima, ou seja, podemos
dizer que
lim f ( x)  0 
x 
e
lim f ( x )  0 
x 
7. LIMITES INFINITOS
Quando dizemos que uma função tende para mais infinito ou menos infinito, na realidade queremos dizer que a função
assume valores arbitrariamente grandes ou pequenos, ou seja, a função não se aproxima de nenhum número real, de forma
rigorosa isto pode ser dito da seguinte maneira.
Seja a função
f : IR  IR
Dizemos que o limite de f quando x tende a p, p  IR , tende a mais infinito,se e somente se,
 N  IR ,    0 : 0 
x p

 f ( x)  N
O que equivale a escrever
lim f ( x)    .
xp
Além disso, dizemos que o limite de f quando x tende a p, p  IR ,tende a menos infinito,se e somente se,
 N  IR ,    0 : 0 
x p

 f ( x)
 N
O que equivale a
lim f ( x)    .
xp
EXEMPLO 7.1.
f : IR*  IR
x  f (x) 
1
x
Página | 14
Do gráfico podemos afirmar que
lim f (x)   
x 0
e
lim f (x)   
x 0
Além disso, podemos escrever que o limite de f quando x tende a mais infinito, tende a mais infinito, se e somente se,
 N  IR ,  M  IR : x  M  f (x)  N
O que equivale a
lim f ( x)    .
x  
E de forma análoga definimos as outras possíveis combinações.
lim f ( x)    ,
x  
lim f ( x)    ,
x  
lim f ( x)    .
x  
EXEMPLO 7.2.
f : IR  IR
x  f (x)  x 2
Do gráfico podemos afirmar que
lim f (x)   
x 
e
lim f ( x)   
x  
8. INDETERMINAÇÕES
Sejam f1 : IR  IR , f 2 : IR  IR funções reais e p  IR , tais que
lim f1 ( x )  0
x p
e
lim f 2 ( x )  0
x p
Página | 15
 f (x) 
 não pode ser tratado pelos resultados até então estudados, dizemos que um limite deste tipo é uma
Então o limite lim  1
x p f 2 ( x ) 


indeterminação, talvez pelo fato de limites deste tipo poderem assumir vários valores, como nos exemplos a seguir:
EXEMPLO 8.1.
x2  9
( x  3)( x  3)
lim
 lim
 lim ( x  3)  6
x 3 x  3
x 3
x 3
x 3


0
0
EXEMPLO 8.2.
x3  8
( x  2)( x 2  2x  4)
lim
 lim
 lim ( x 2  2x  4)  12
x 2 x  2
x 2
x 2
x

2


0
0
Equivalente a
0

são as indeterminações
, 0   , 00 ,  0 e 1 , a primeira e a segunda podem ser verificadas pelas
0

1
a b
a
identidades 
e ab 
e a três últimas pela identidade a b  e b ln a .
1
1
b
a
b
Outra indeterminação é a diferença de limites infinitos, ou seja, dadas f1 : IR  IR , f 2 : IR  IR funções reais e
p  IR , tais que
lim f1 ( x)   
x p
e
lim f 2 ( x )   
x p
O limite
lim  f1 (x )  f 2 ( x) 
x p
é uma indeterminação, pois, como anteriormente, limites deste tipo assumem vários valores, como nos exemplos a seguir:
EXEMPLO 8.3.
lim ( x 2  1  x )  lim
x 


 x 
( x 2  1  x )( x 2  1  x )
  
( x  1  x)
2
 lim
x 
1
x 1  x
2
0
EXEMPLO 8.4.
lim ( x 2  2x  x )  lim
x 
 x  
  
( x 2  2x  x )( x 2  2x  x )
( x  1  x)
2
 lim
x 
2x
x 1  x
2
1
IMPORTANTE.:
Nem sempre o artifício utilizado nos dois primeiros exemplos pode ser utilizado, ele fica limitado a razão de ”polinômios”. A
seguir estudaremos algumas indeterminações particulares que chamaremos, de limites fundamentais.
Obs.: No Capítulo 3 estudaremos o Teorema de L’Hôpital que nos ajudará a resolver todas as indeterminações.
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8.1. LIMITES FUNDAMENTAIS
LIMITE TRIGONOMÉTRICO
Seja x  IR , em radianos, então
sen x
sen x
lim
 lim
1
x 0
x 0
x
x


0
0
e
tg x
tg x
lim
 lim
1
x 0
x
x

x 0

0
0
LIMITE EXPONENCIAL
Seja x IR , então
x
x
1
1


lim 1    lim 1    e
x   
x   
x
x

1
De maneira equivalente podemos escrever
lim  1  x  x  lim  1  x
 x  0
1
x 0

1
x
e
1
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EXERCÍCIOS
NÍVEL A
EFOMM
R1. EFOMM 2007 O valor do limite x lim
0
sen 5 2x
4x 5
é
(A) 1
(B) 3
(C) 4
(D) 6
(E) 8

 x  1

R2. EFOMM 2006 O valor do limite lim 
, é
x 1 x  1 


(A) –1/4
(B) –1/2
(C) 0
(D) 1/4
(E) 1/2.
3. EFOMM 2006 O valor do limite lim
x 2
1 / X  1 / 2 , é
X2  4
(A) –1/8
(B) –1/16
(C) 0
(D) 1/16
(E) 1/8.
R4. EFOMM 2005
Determine
lim 3x 3  5x 2  x  1
x  1 2x 3  3x 2  1
(A) 1
(B) 
(C) e
3
4
4
(E)
3
(D)
ESCOLA NAVAL
R5. EN 1998 O valor de
sen 2 x
lim
é
x  0 sen x 2
(A) –1
(B) 0
(C) 1
(D) 2
(E) +  .
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6. EN 1992 O valor de
4
2
lim x  x  2 é:
x  1 x 5  2x 2  3
2
3
4
(B)
5
(C) 1
3
(D)
2
(E) 2
(A)
R7. EN 1990
lim  x 3  x 2  x 3  é igual a:

x   
(A) 0
(B) 1/3
(C) 1/2
(D) 2/3
(E) 
R8. EN 1988 lim | x 2  4x  x 2  1 | =
x 
(A) 0
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) .
R9. EN 1987 lim
x 0
1  cos 2x
x2
vale:
(A) 4
(B) 2
(C) 1
1
(D)
2
1
(E)
4
R10. EN 1986
x
lim
é igual a:
x  1 x 2  1
(A) 0
(B) 1
(C) –1
(D) 
(E) –.
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NÍVEL B
EFOMM
lim  1
1 
 2
 é:
x x x
R1. EFOMM 2013 O valor do x  0 
(A) – 2.
(B) – 1.
(C) 0.
(D) 1.
(E) 2.
lim 

R2. EFOMM 2012 O valor do x  0  x  a  a  é
x


(A) 1
a
(B) a
(D) 2 a
(E) 0
(C) 1
2 a
R3. EFOMM 2011 Analise a função a seguir.
 x2  4

,x  2
f ( x)   x  2
3 p  5, x  2

Para que a função acima seja contínua no ponto x = 2, qual deverá ser o valor de p?
(A) 1/3
(D) –1
(B) 1
(E) –3
(C) 3
4. EFOMM 2010 seja f uma função de domínio D(f) = R – {a}. Sabe-se que o limite de f(x) , quando x tende a a e L e escrevese
lim f(x) = L, se para todo  > 0, existir  > 0, tal que, se 0 < x – a<  então f(x) – L< .
xa
Nessas condições, analise as afirmativas abaixo.
 x 2  3x  2
se x  1,

I – Seja f(x) = 
, logo, lim f (x)  0
x 1
x 1

3
se x  1

 x 2  4 se x  1

I I - Na função f(x) =   1 se x  1 , tem-se lim f (x)  3
x 1
3  x se x  1

III - Sejam f e g funções quaisquer, pode-se afirmar que
lim (f.g)n . (x) = (LM)n, n  N*, se lim f(x) = L e lim g(x) = M
xa
xa
xa
Assinale a opção correta.
(A) Apenas a afirmativa I é verdadeira.
(B) Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras.
(C) Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras.
(D) Apenas a afirmativa III é verdadeira.
(E) As afirmativas I, II e III são verdadeiras.
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ESCOLA NAVAL
5. EN 1999 O gráfico da função
 | x 2  4x  3 |
f(x) = 
0

x 3
 2x  1 se x  3 é:
se x  3
(A)
(B)
(C)
(D)
Página | 21
(E)
 x 3

se x  3
R6. EN 1998 O valor de “a” para que a função f ( x )   x  3
seja contínua m x = 3 é
a
se x  3

(A) 3
3
3
1
(C)
3
3
(D)
6
1
(E)
6
(B)
NÍVEL C
EFOMM
R1. EFOMM 2008 Analise as afirmativas abaixo:
 a 1 1

I- lim 
a  1 a  1  2
 kx
II- lim  x
x  0  k  x
2

  ek




 tan 2x 
 1
III- lim 
x 
 
2 x 
2 

Assinale a alternativa correta:
(A) Apenas a afirmativa III é falsa.
(B) Apenas a afirmativa II é verdadeira.
(C) As afirmativas I e III são verdadeiras.
(D) As afirmativas II e III são falsas.
(E) As afirmativas I e III são verdadeiras.
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ESCOLA NAVAL
y
2. EN 2013 Os números reais a, b, c, d, f, g, h constituem, nesta ordem, uma progressão aritmética. Se e
1 a a 2 


matriz 1 b b 2  e h =
1 d d 2 



1
  4 
det A
lim 
2 9
 y   1   , onde A é a
y

n
, então o valor de (b – 2g) vale
n 3
1
3
21

16
49

48
15
16
31
48
(A) 
(B)
(C)
(D)
(E)

x 7
se x  7

Sejam f e g funções reais de variável real. Se f (x)   x 2  15  8
é contínua em x  7 e

se x  7
 a
6

g(x)  n 2  2x   , pode-se afirmar que g ( 7a) vale:
7

3. EN 2006
(A) 0.
(B) n 2 .
(C) 1.
(D) n 4 .
(E) 2.


1
1
 é igual a:
R4. EN 2004 O lim 

3

x 1 2 (1  x ) 3 (1  x ) 


(A) 0
1
(B)
16
1
(C)
12
1
(D)
2
(E) 1
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CAPÍTULO 2 - DERIVADA
1. DEFINIÇÃO
Seja
f : IR  IR
Uma função contínua e p  IR , dizemos que f é derivável em p, se e somente, se existir o limite: lim
h 0
f ( p  h )  f ( p)
.
h
Em particular, define-se a derivada de f em p como o valor deste limite, ou seja,
f ' (p)  lim
h 0
f ( p  h )  f ( p)
.
h
Sendo a derivada um limite, define-se as derivadas laterais por
f ' (p  )  lim
f ( p  h )  f ( p)
h
f ' (p  )  lim
f (p  h )  f (p)
.
h
h 0
e
h 0
IMPORTANTE: Se uma função for derivável em um ponto então a função é contínua neste ponto.
De fato,
f ( x )  f ( p)
 lim
x p
xp
Se e somente, se
 lim ( f (x)  f (p) )
x p
Uma vez que
 f ( x )  f ( p)
x  p  lim  f (x)  f (p)
lim ( f ( x )  f (p) )  lim 
x p 
xp
xp
 x p 
Então lim f ( x )  f (p) .
x p

 lim x  p   0
 x p
x p
Logo, se uma função for descontínua em um ponto então a mesma não é derivável neste ponto.
De uma forma geral, uma função será derivável em um ponto, se e somente se, a função for contínua neste ponto e as
derivadas laterais existirem e forem iguais.
Dizemos que uma função é derivável, se e somente se for derivável em todos os pontos do seu domínio.
2. PROPRIEDADES
Sejam
f 1 : IR  IR
e
f 2 : IR  IR
p  IR tal que
f1 e f 2
são deriváveis em p. Então:
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2.1. DERIVADA DA SOMA
 f1
 f2
'
(p)  f1' (p)  f 2 ' (p)
2.2. DERIVADA DA MULTIPLICAÇÃO
 f1  f 2 '
(p)  f1' (p)  f 2 (p)  f1 (p)  f 2 ' (p)
2.3. DERIVADA DA DIVISÃO
Se
f 2 (p)  0
então
 f1

 f2
'

f ' ( p )  f 2 ( p )  f 1 ( p)  f 2 ' ( p )
 (p)  1
f 2 (p)2

3. DERIVADAS DAS PRINCIPAIS FUNÇÕES
3.1. FUNÇÃO CONSTANTE
f : IR  IR
x  f ( x )  c , c  cte.
Então  x  IR , f (x)  0 , pois,
'
f ' (x )  lim
h 0
c c
f (x  h)  f (x)
 lim
0
h 0
h
h
3.2. POLINÔMIOS
Primeiramente provaremos para as seguintes funções
f : IR  IR
x  f ( x )  x n , n  IN
então  x  IR , f ' (x)  n x
n 1
, n  IN , pois,
n 1
f ' ( x )  lim
h 0
x  h   x  lim
f (x  h)  f (x)
 lim
h 0
h 0
h
h
n
n 1
 lim
h 0
n
  p x h
p o
p n p 1
n
n
  p x h
p n p
p 0
h
 n  n 1
x
 
 n x n 1 .
 n  1
De uma forma geral, seja o polinômio
p : IR  IR
x  p( x )  a o x n  a 1 x n 1  ...  a n
Página | 25
então p ' (x)  n a o x n 1  n  1a1x n 2  ... a n 1 ,  x  IR .
3.3. FUNÇÃO SENO
f : IR  IR
x  f ( x )  sen ( x )
Então f ' (x)  cos (x) ,  x  IR. De fato,
f (x  h)  f (x)
sen ( x  h )  sen ( x )
 lim
h 0
h 0
h
h
sen ( x ) (cos( h )  1)  cos( x ) sen (h )
 lim
h 0
h
sen ( x ) (cos( h )  1)
cos( x ) sen (h )
 lim
 lim
h 0
h 0
h
h
(cos( h )  1)
sen (h )
 sen ( x ) lim
 cos( x ) lim
 sen ( x )  0  cos ( x )  1  cos ( x )
h 0
h 0
h
h
f ' ( x )  lim
3.4. FUNÇÃO COSSENO
f : IR  IR
x  f ( x )  cos ( x )
Então f ' (x)   sen (x) ,  x  IR.
f (x  h)  f (x)
h
cos( x  h )  cos( x )
 lim
h 0
h
cos( x ) (cos( h )  1)  sen ( x ) sen (h )
 lim
h 0
h
cos( x ) (cos( h )  1)
sen ( x ) sen (h )
 lim
 lim
h 0
h

0
h
h
(cos( h )  1)
sen (h )
 cos( x ) lim
 sen ( x ) lim
 cos( x )  0  sen ( x )  1   sen ( x )
h 0
h 0
h
h
f ' ( x )  lim
h 0
3.5. FUNÇÃO EXPONENCIAL
f : IR  IR
x  f (x)  e x
Então f ' (x)  e x ,  x  IR.
e x ( e h  1)
eh 1
f (x  h)  f (x)
e x h  e x
 lim
 lim
 e x  lim
h 0
h 0
h 0
h 0
h
h
h
h
eh 1
Como lim
 1 , temos f ' ( x )  e x (Verifique !)
h 0
h
f ' ( x )  lim
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3.6. FUNÇÃO LOGARITMO
f : IR *  IR
x  f ( x )  ln x
então f ' ( x ) 
1
,  x  IR * .
x
1
f ' ( x )  lim
h 0
ln(x  h )  ln(x )
 h h
 lim ln 1  
h 0
h
 x
1
 h h
Já o log aritmo é uma função continua e  lim 1   então
h 0 
x
1

1
1
 h h 
f ' ( x )  ln  lim 1      ln (e x ) 
 h 0  x  
x


4. REGRA DA CADEIA
Sejam
f : IR  IR
e
g : IR  IR
funções reais, deriváveis, tais que
g  f : IR  IR
está bem definida e seja derivável. Então
( g  f ) ' (x)  g ' (f (x))  f ' (x) ,  x  IR
EXEMPLO 4.1.
Derive h(x)  sen ( x 3 ) .
Sendo g(x)  sen ( x ) e f ( x)  x 3 repare que h(x)  g  f (x) então:
h' (x)  ( g  f ) ' (x)  g ' (f (x))  f ' (x)  ( cos( x 3 )) (3x 2 )  3x 2 cos( x 3 )
5. NOTAÇÃO DE LEIBNIZ
Sejam
f : IR  IR
uma função derivável. Cada ponto do gráfico de f, é representado por um par ordenado (x, y ) , onde y  f (x) . É comum
representar a derivada em relação a x por
dy
dx
.
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Resumindo:
dy
 f ' (x )
dx
Usando a notação de Leibniz a regra da cadeia se resume a
dy
dy dt


dx
dt dx
onde y  g  f (x) e t  f (x) .
.
EXEMPLO 5.1.
Seja y  sen ( x 3 ) , x  IR , determine
Seja t  x 3 , logo como
dy
.
dx
dy
dt
 cos t e
 3x 2 temos
dt
dx
dy dy dt
 
 (cos t )(3x 2 )  3x 2 cos( x 3 )
dx dt dx
.
6. DERIVADA IMPLÍCITA
Seja
f : IR  IR
Função Real, uma equação da forma
g ( x , f ( x) )  0
é chamada de equação implícita.
EXEMPLO 6.1.
A equação
e f ( x )  x 2  f (x)  xsenx  0
Onde x  IR : x  ( e f ( x )  x 2 )  0 , é uma equação implícita, basta considerar
g( x , f (x) )  e f ( x )  x 2  f (x)  xsenx .
Podemos escrever a equação acima ainda da seguinte forma
e f ( x )  x 2  f (x)  xsenx  0
lembrando apenas que y  f ( x ) .
Ao derivarmos uma equação implícita derivamos normalmente, usando as propriedades de derivadas, lembrando apenas que
a variável y é uma função de x.
EXEMPLO 6.2.
Determine f ' ( x ) onde
e f ( x )  x 2  f (x)  xsenx  0 .
Derivando obtemos
Página | 28
e f ( x )  f ' ( x )  2x f ( x )  x 2  f ' ( x )  senx  x cos x  0 

f ' ( x ) ef (x)  x 2
f' ( x ) 
   2xf ( x )  senx  x cos x 
 2xf ( x )  senx  x cos x
x  ( ef (x)  x 2 )
.
Repare que f ' ( x ) está bem definida se e somente se x  ( e f ( x )  x 2 )  0 .
Sendo
f : IR  IR
uma função real e derivável , definindo u  f (x) e u ' pela derivada de u em relação a x , obtemos da regra da cadeia que:
(u
n
)'  n  u
n 1
 u ' , n  IR
( sen u ) '  cos u  u '
( cos u ) '   sen u  u '
( tg u ) '  sec 2 u  u '
( sec u ) '  sec u  tgu  u '
( cos sec u ) '   cos sec u  cot gu  u '
( cot u ) '   cos sec 2 u  u '
( eu ) '  eu  u'
( a u ) '  ln a  a u  u '
u'
, u 0
u
u'
( log a u ) ' 
, u 0
u  ln a
( ln u ) ' 
7. DERIVADA DA FUNÇÃO INVERSA
Seja
f : IR  IR
uma função real, bijetora e
g : IR  IR
a sua função inversa, então
y  f (x)  x  g( y)
Logo
g( y)  x  g' ( y) y'  1  (f 1 )' ( x ) f ' ( x )  1  (f 1 )' ( x ) 
1
, f ' (x)  0
f ' (x)
EXEMPLO 7.1.
Derive y  arcsen x,  1  x  1 .
Uma vez que y  arcsen x é a função inversa da função seno, temos:
y  arcsen x  seny  x
Logo,
seny  x  cos y  y'  1  y' 
1
1
1


cos y
1  sen 2 y
1 x2
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Então completando a lista temos:
( u n ) '  n  u n 1  u ' , n  IR
( sen u ) '  cos u  u '
( cos u ) '   sen u  u '
( tg u ) '  sec 2 u  u '
( sec u ) '  sec u  tgu  u '
( cos sec u ) '   cos sec u  cot gu  u '
( cot u ) '   cos sec 2 u  u '
( eu ) '  eu  u '
( a u ) '  ln a  a u  u '
( ln u ) ' 
u'
, u 0
u
( log a u ) ' 
(arcsen u ) ' 
(arctg u ) ' 
u'
, u 0
u  ln a
u'
1 u2
u'
1 u2
u'
(arc sec u ) ' 
u u 2 1
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EXERCÍCIOS
NÍVEL A
ESCOLA NAVAL
R1. EN 1998 Seja
y = x3 – 3x + 5, onde x = g(t), g’(2) = 3 e g(2) = 4. A derivada de y no ponto t = 2 é
(A) 9
(B) 27
(C) 45
(D) 90
(E) 135.
1
R2. EN 1998 A derivada da função f(x) = arctg  
x
é
x2
x2 1
1
(B)
1 x2
1
(C)
1 x2
1
(D) 2
x (1  x 2 )
1
(E) .
x
(A)
R3. EN 1997 A derivada de y = 1/2 tg2 x + ln (cos x)
é
(A) sen2 x – tg x
(B)
cos x  1
cos 2 x
(C) tg3 x
sen x  cos 2 x
cos 3 x
(E) 0.
(D)
1 x 
1
4. EN 1993 Se f(x) = ln 
 , o valor de f ’   é:
1

x


2
(A) 0
(B) 1/3
(C) 2/3
(D) 4/3
Página | 31
(E) 8/3
R5. EN 1992 Se f (x) =
x
x2 1
então f '(2) vale:
(A) – 0,4
(B) – 0,12
(C) 0
(D) 0,12
(E) 0,4
Página | 32
6. EN 1991 Se f(x) = ln sen2x determine f ’(π/4).
(A) – ln 2
(B) 1
(C) π/4
(D) 2
(E) 2 2
7. EN 1990 A derivada da função f(x) = x / ex é:
(A) f’(x) = 1/ ex
1 x
(B) f’(x) =
ex
x 1
(C) f’(x) = x
e
x
(D) f`(x) = 2 x
e
(E) f`(x) = x + 1/e2x
π
R8. EN 1989 Se f(x) = tg3(2x), podemos afirmar que f ”   é igual a
8
(A) 0
(B) 72
(C) 144
(D) 96
(E) 24
9. EN 1985 A derivada de ordem n da função f(x) = x . e x para x = 1
é:
(A) e
(B) ne
(C) 2ne
(D) nen
(E) (n + 1) e.
NÍVEL B
ESCOLA NAVAL
1. EN 2001 Sejam f e g funções definidas em R e deriváveis em x = 0, tais que f(0) = 3, f’(0) = 4, g(0) = 1 e g’(0) = -1.
'
 2f  g 
 (0) é igual a:
Então 
 f g 
(A) 21/6
(B) 7/5
(C) –21/4
(D) –21/2.
Página | 33
R2. EN 1999 Supondo que y = f(x) seja uma função real derivável e que satisfaz a equação xy2 + y + x = 1, podemos afirmar que:
(A) f ’ (x) =
f ( x )
2xf ( x )  1
(B) f ’ (x) =
 1  (f ( x )) 2
2xf ( x )  1
(C) f ’ (x) =
 (f ( x )) 2
2xf ( x )  1
(D) f ’ (x) =
 1  (f ( x )) 2
2xf ( x )  1
(E) f ’ (x) =
1  (f ( x )) 2
.
2xf ( x )  1
NÍVEL C
ESCOLA NAVAL
R1. EN 2013 Considere f e f ' funções reais de variável real, deriváveis, onde f(1) = f ' (1) = 1. Qual o valor da derivada da
função h(x) = f (1  sen2x) para x = 0?
(A) –1
(B) –
1
2
(C) 0
(D) –
1
3
(E) 1
R2. EN 2009 Considere a função real f, de variável real, definida por (x) = x + ln x, x > 0. Se g é a função inversa de f, então
g”(1) vale
(A) 1
(B) 0,5
(C) 0,125
(D) 0,25
(E) 0.
3. EN 2006 Sejam f e g duas funções reais e deriváveis tais que f (x)  sen (cos x ) e g(x)  f (x 2 ) , x  R * . Pode-se afirmar
que g (x 2 ) é igual a:
(A) 2x sen (cos x 2 ) .
(B) 2x 2 cos (cos x 2 ) .
(C) 2x 2 sen (cos x 2 ) .
(D) 2x cos (cos x) .
(E) 2x 2 sen (cos x) .
Página | 34
R4. EN 2004 Seja g( x ) uma função real, derivável até a 3ª ordem para todo x real, tal que g(0)  g' (0)  0 e g" (0)  16 . Se
f ( x ) uma função real definida por:
 g( x )
se x  0

,
f ( x )   2x
0
se
x

0

então f ' (0) é igual a:
(A) 16.
(B) 12.
(C) 8.
(D) 4.
(E) 0.
x
x

R5. EN 2004 A função real f ( x ) satisfaz a seguinte equação: sen   f ( x )   x f ( x )   3 .
2
2


f (x)
Considere a função g, definida por g(x)  k
com x  0 e k  R . Sabendo que f(2)  1 , podemos afirmar que o valor da
x
constante real k para que g’(2) = f’(2) é:
1
.
2
3
(B) .
4
4
(C) .
3
8
(D) .
5
(E) 2.
(A)
se x  1

a x  b
R6. EN 2005 O valor das constantes reais a e b para as quais a função real g (x)   3
seja derivável para

a x  x  2b se x  1
todo x é:
1
e b 1.
2
1
a 1 e b   .
2
1
a   e b 1.
2
1
a  1 e b   .
2
1
a  e b  1 .
2
(A) a 
(B)
(C)
(D)
(E)
7. EN 1985 Se
(g-1)1 (3) é:
(A) cos2e
(B) sec2e
(C) tg e
(D) e3
(E) 1.
f ’ (x) = cos2 (ex+1), f (0) = 3, g (x)= f (x – 1) e g-1 é a inversa de g, o valor de
Página | 35
CAPÍTULO 3 – APLICAÇÕES DE DERIVADA
3.1. RETA TANGENTE
A reta tangente ao gráfico de uma função derivável em um ponto é definida pela reta que contem este ponto e cujo coeficiente
angular é a derivada da função neste ponto. A reta tangente ao gráfico de uma função em um ponto existe somente quando a
função for derivável neste ponto.
Assim, sendo f derivável, a equação da reta tangente ao seu gráfico no ponto P0 é dada por:
(t ) : y  f ' (x 0 )  (x  x 0 )  f (x 0 )
Além disso, pode-se definir a reta normal ao gráfico de f no ponto P 0.
Se m t  f ' (x 0 )  0 então
(n ) : y  
1
 (x  x 0 )  f (x 0 )
f (x 0 )
'
Se f ' (x 0 )  0 então (n) : x  x 0 .
EXEMPLO 3.1.
Seja
f : IR  IR
x  f (x)  x 3
a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa x  1 , é obtida por
(t ) : y  f (1)  f ' (1)  (x  1)
Como f (1)  13  1 e f ' (1)  3  12  3 então y  3  5  (x  1)  (t ) : y  5x  2  0 .
e a equação da reta normal ao gráfico de f é determinada por:
(n ) : y  f (1)  
1
 ( x  1)
f (1)
'
já que f ' (1)  5  0 , então (n) : 5y  x  16  0 .
Página | 36
3.2. MÁXIMOS MÍINIMOS E PONTODE INFLEXÃO
TEOREMA 3.1. Seja f : IR  IR derivável e I  IR um intervalo aberto, então
a) Se f ' (x)  0 ,  x  I então f é estritamente crescente em I .
b) Se f ' (x)  0 ,  x  I então f é estritamente decrescente em I .
DEFINIÇÃO 3.1. Seja f : IR  IR .Dizemos que um ponto c  IR é um ponto de máximo absoluto de f, se e somente se
f (x)  f (c) ,  x  IR .
DEFINIÇÃO 3.2. Seja f : IR  IR .Dizemos que um ponto c  IR é um ponto de mínimo absoluto de f, se e somente se
f (c)  f (x) ,  x  IR .
DEFINIÇÃO 3.3. Seja f : IR  IR . Dizemos que um ponto c  IR é um ponto de máximo local de f, se e somente se
   0 :  x   c  , c    , f (x)  f (c) .
DEFINIÇÃO 3.4. Seja f : IR  IR . Dizemos que um ponto c  IR é um ponto de mínimo local de f, se e somente se
   0 :  x   c  , c    , f (c)  f (x) .
TEOREMA 3.2. Seja f : IR  IR derivável e p  IR tal que f ' (p)  0
a) Se
   0 : f ' (x)  0 ,  x   p   , p  e f ' (x)  0 ,  x   p, p   
Então p é um máximo local.
b) Se
   0 : f ' (x)  0 ,  x   p   , p  e f ' (x)  0 ,  x   p, p   
Então p é um mínimo local.
EXEMPLO 3.2.
f : IR  IR
x  f (x)  x 2
Como f ' (x)  2x então f ' (x)  0  x  0 .
Note que x  0 é um mínimo local já que
x  0  f ' ( x )  2x  0
x  0  f ' ( x )  2x  0.
EXEMPLO 3.3.
f : IR  IR
x  f (x)   x 2
Como f ' (x)   2x então f ' (x)  0  x  0 .
Note que x  0 é um máximo local já que
Página | 37
x  0  f ' ( x )   2x  0
x  0  f ' ( x )   2x  0.
DEFINIÇÃO 3.5. Seja f : IR  IR derivável e I  IR aberto e p  I , então f tem concavidade para cima em I se e somente se
f (x)  y  f (p)  f ' (p) (x  p) ,  x , p  I, x  p.
DEFINIÇÃO 3.6. Seja f : IR  IR derivável e I  IR aberto e p  I , então f tem concavidade para baixo em I se e somente se
f (x)  y  f (p)  f ' (p) (x  p) ,  x , p  I, x  p.
DEFINIÇÃO 3.7. Seja f : IR  IR derivável e I  IR aberto e p  I , p é um ponto de inflexão, se nas vizinhanças laterais de
p, as concavidades forem diferentes.
TEOREMA 3.3. Sejam f : IR  IR derivável de segunda ordem, I  IR um intervalo aberto e p  I :
a) Se f ( 2) (x)  0 ,  x  I
b) Se f
( 2)
então f tem concavidade para cima em I.
(x)  0 ,  x  I então f tem concavidade para baixo em I
EXEMPLO 3.4.
f : IR  IR
x  f (x)  x 2
Como f ( 2) (x)  2  0 ,  x  IR f tem concavidade para cima em todo seu domínio.
EXEMPLO 3.5.
f : IR  IR
x  f (x)  x 3
Note que
x 0é
um ponto de inflexão já que
x  0  f ( 2) ( x )  6x  0 , concavidad e 
x  0  f ( 2) ( x )  6x  0, concavidad e  .
3.3. GRÁFICOS DE FUNÇÕES
O esboço de um gráfico pode ser feito através de um procedimento, que será descrito a seguir.
1° PASSO
Domínio da função.
2° PASSO
Limites laterais nos pontos de fronteira do domínio da função e nos pontos de descontinuidade.
3° PASSO
Determinar as raízes da função.
4° PASSO
Análise da primeira derivada.
5° PASSO
Análise da segunda derivada.
6° PASSO
Determinação das assíntotas ao gráfico da função.
Página | 38
As assíntotas do gráfico de uma função podem ser verticais ou não verticais.
ASSÍNTOTAS VERTICAIS
x  x0
é uma assíntota vertical se
lim f ( x )   
xx 0
ou
lim f ( x )   
xx 0
ou
lim f ( x )   
xx0
ou
lim f ( x )   
xx0
ASSÍNTOTAS NÃO VERTICAIS
y  mx  h é uma assíntota não vertical se existirem os limites,
m  lim
x 
f (x)
x
E
h  lim ( f (x)  mx)
x 
EXEMPLO 3.6.
Seja
f : IR \  0   IR
x
 f (x)  x 2 
1
x
1° PASSO
D f  IR \ 0
2° PASSO
1
lim f ( x )  lim ( x 2  )    
x 0
x 0
x
1
lim f ( x )  lim ( x 2  )    
x 0
x 0
x
3° PASSO
Raízes da função
1
f ( x )  0  x 2  0
x
1
2
x 
x
 x3   1
 x   1, x  IR.
Página | 39
2° PASSO
O único ponto de descontinuidade da função
x0
e os limites laterais já foram calculados.
4° PASSO
f ' ( x )  2x 
1
x2
Então
 1

 0  x 
,  
3
x
 2


1
1 
f ' ( x )  2x  2  0  x   , 0   0,

3
x
2 

f ' ( x )  2x 
1
2
 1

,  
Logo a função é crescente em 
3
 2


1 
E decrescente em  , 0   0,
 e
3
2 

1
x
é ponto de mínimo local.
3
2
5° PASSO
f ( 2) ( x )  2 
2
x3
Então
f ( 2) ( x )  2 
2
x3
2
 0  x     ,  1    0,  
 0  x  1, 0 
x3
Logo a função tem concavidade voltada para cima em
f ( 2) ( x )  2 
   ,  1    0,  
e tem concavidade voltada para baixo em  1, 0 
e x   1 é ponto de inflexão.
6° PASSO
x  0 é uma assíntota vertical já que
lim f ( x )  
x 0 
e
lim f ( x )  
x 0
O gráfico não possui assíntotas não verticais.
Página | 40
3.4. TEOREMA DE L’HÔPITAL
Sejam f : IR  IR e g : IR  IR funções deriváveis tais que g' (x)  0,  x  IR e
 lim f ( x )  0
x p

g(x )  0
xlim
 p
ou
 lim f ( x )   
x p

g(x )   
xlim
 p
Então lim
x p
f (x)
f ' (x)
 lim
.
x p g ' ( x )
g( x )
EXEMPLO 3.7.
Uma vez que
 lim senx  0
senx
cos x
x 0
 lim
 lim
 lim cos x  cos 0  1

x 0 x
x 0 1
x 0
x0
xlim
0
Página | 41
EXERCÍCIOS
NÍVEL A
ESCOLA NAVAL
R1. EN 2013 Considere a função real de variável real definida por f(x) = 3x4 – 4x3 + 5. É verdade afirmar que
(A) f tem um ponto de mínimo em ]–, 0[.
 1 1
(B) f tem um ponto de inflexão em   , 
 2 2
(C) f tem um ponto de máximo em [0, +[
(D) f é crescente em [0, 1]
(E) f é decrescente em [–, 2].
lim 

R2. EFOMM 2012 O valor do x  0  x  a  a  é
x


(A)
1
a
(D) 2 a
(B) a
(C)
1
2 a
(E) 0
R3. EFOMM 2011 Analise a função a seguir.
 x2  4

,x  2
f ( x)   x  2
3 p  5, x  2

Para que a função acima seja contínua no ponto x = 2, qual deverá ser o valor de p?
(A) 1/3
(B) 1
(C) 3
(D) –1
(E) –3
 x  1


R4. EFOMM 2006 O valor do limite lim 
, é
x 1 x  1 


(A) –1/4
(B) –1/2
(C) 0
(D) 1/4
(E) 1/2.
1 / X  1 / 2 , é
5. EFOMM 2006 O valor do limite lim
x 2
X2  4
(A) –1/8
(B) –1/16
(C) 0
(D) 1/16
(E) 1/8.
Página | 42
R6. EN 1999 A reta S passa pelo ponto (3, 0) e é normal ao gráfico de f(x) = x 2 no ponto P(x, y). As coordenadas x e y de P, são,
respectivamente:
(A) 2 e 4
(B)
1
1
e
2
4
(C) 1 e 1
1
1
e
3
9
5
25
(E)
.
e
2
4
(D)
R7. EN 1998 A função f(x) = x e1/x é decrescente no intervalo
(A) ] 1,  [
(B) ] –  , 1[
(C) ] –  , 0[
(D) ] 0, +  [
(E) ] 0, 1[.
8. EN 1998 Podemos observar que o gráfico de
y=
x2 1
x2 1
(A) cresce em ] – ,1]  ] 0,1[
(B) tem (0, –1) como ponto de inflexão
(C) tem assíntota horizontal em y = 1 e assíntota vertical em x = 1 e x = –1
(D) tem cavidade voltada para cima qualquer x  ] –1, 1[
(E) está definido para x  R.
 x 3

se x  3
R9. EN 1998 O valor de “a” para que a função f(x)=  x  3
seja contínua m x = 3 é
a
se x  3

(A) 3
3
3
1
(C)
3
3
(D)
6
1
(E)
6
(B)
R10. EN 1994 A menor distância entre um ponto da parábola y  1  x 2 e a origem é igual a:
(A) 1
7
4
1
(C)
4
(B)
(D)
3
2
(E)
3
.
4
Página | 43
11. EN 1993 A área do triângulo formado pelos eixos coordenados e pela tangente à curva y = 4x 2 no ponto (1,4) vale:
(A) 8
(B) 4
(C) 2
(D) 1
1
(E)
2
x4  x2  2
12. EN 1992 O valor de lim
é:
x  1 x 5  2x 2  3
2
(A)
3
4
(B)
5
(C) 1
3
(D)
2
(E) 2
R13. EN 1988 No intervalo
(A) –1,25 e 5
(B) –1,25 e 1
(C) –1 e 1
(D) –1 e 5
(E) 1 e 5.
, o menor valor e o maior valor da função f(x) = x 4 – 3x2 + 1 são, respectivamente:
R14. EN 1987 Para x > 0, o valor mínimo de xx é obtido para x igual a:
1
(A)
10
1
(B)
3
1
(C)
e
1
(D)
2
(E) 1.
NÍVEL B
ESCOLA NAVAL
R1. EN 2013. Um ponto P(x, y) move-se ao longo da curva plana de equação x2 + 4y2 = 1, com y > 0. Se a abscissa x está
variando a uma velocidade
(A)
(1  x)2 sen 2 4t  4x 3 cos 4t
8y3
(B)
x 2sen4t  4x cos 2 4t
16y3
(C)
sen 2 4t  16xy 2 cos 4t
16y3
(D)
x 2sen4t  4x cos 2 4t
8y3
(E)
sen 2 4t  16xy 2 cos 4t
16y3
dx
= sen4t, pode-se afirmar que a aceleração da ordenada y tem por expressão
dt
Página | 44
R2. EN 2012. A taxa de depreciação dV de determinada máquina é inversamente proporcional ao quadrado de t+1, onde V é o
dt
valor, em reais, da máquina t anos depois de ter sido comprada. Se a máquina foi comprada por R$ 500.000,00 e seu valor
decresceu R$100.000,00 no primeiro ano, qual o valor estimado da maquina daqui após 4 anos?
(A) R$ 350.000,00
(B) R$ 340.000,00
(C) R$ 260.000,00
(D) R$ 250.000,00
(E) R$ 14.000,00
3. EN 2012 Ao meio dia, o navio NE-Brasil encontra-se a 100km a leste do navio Aeródromo São Paulo. O NE-Brasil navega
para oeste com a velocidade de 12 km/h e o São Paulo para o sul a 10 km/h. Em que instante, aproximadamente, os navios estarão
mais próximos um do outro?
(A) 5,3 h
(B) 5,1 h
(C) 4,9 h
(D) 4,4 h
(E) 4,1 h
4. EN 2002 De um ponto P do cais, João observa um barco AB ancorado. Para um sistema de eixos ortogonais os pontos A e B
têm coordenadas respectivamente iguais a (0,20) e (0,40), enquanto P encontra-se no semi-eixo positivo das abscissas. Se o ângulo
A P̂ B de observação é máximo, então a abscissa de P é igual a:
(A) 20 2
(B) 20 3
(C) 20
(D) 15
(E) 10.
5. EN 2000 A reta tangente à curva de equação
x2
y2
+
25
9

12 
 é dada por
= 1 no ponto P  3 ,
5 

(A) 20 y + 9 x = 75
(B) 5 y – 5 x = 3
(C) 5 y + 15 x = 51
(D) 20 y – 9 x = 45
(E) y – 5 x = 75.
6. EN 1999 Na confecção da raia de tiro para navios da Marinha, verificou-se que o alvo ideal seria um retângulo. As dimensões
de um retângulo de área máxima com base no eixo x e vértices superiores sobre a parábola y = 12 – x2 pertencem ao intervalo:
(A) [2, 5]
(B) [0, 3]
(C) ]3, 7]
(D) [4, 9[
(E) [0, 6[.
R7. EN 1998 A relação entre os coeficientes b e c para que a equação x3 + bx + c = 0 possua duas raízes iguais é
(A) 4 b3 + 27 c2 = 0
(B) b3 + c2 = 0
(C) 2b3 + 3c2 = 0
(D) b3 + c2 = 0
(E) 3b = c.
Página | 45
8. EN 1998 Considere um cone circular reto de raio da base 5 cm e altura 12 cm. As dimensões do raio e da altura do cilindro
circular reto, de maior volume, que pode ser inscrito neste cone, são respectivamente
(A)
10
e4
3
(B) 4 e 10
14
(C) 3 e
3
9 23
(D) e
5
4
5
(E)
e 5.
2
R9. EN 1998 O valor de
sen 2 x
lim
é
x  0 sen x 2
(A) –1
(B) 0
(C) 1
(D) 2
(E) +  .
10. EN 1997 Dois trens se deslocam sobre trilhos paralelos, separados por 1/4 km. A velocidade do primeiro é 40 km/h e a do
segundo 60 km/h, no mesmo sentido que o primeiro. O passageiro A do trem mais lento observa o passageiro B do trem mais
rápido. A velocidade com que muda a distância entre eles quando A está a 1/8 km à frente de B é, em km/h.
20
(A)
5
(B) 5
(C) 0
(D) – 5
20
(E)
5
11. EN 1991 As tangentes à curva de equação y = x2 que passam pelo ponto P (–2 , 0) formam ângulo α. Determine tgα.
(A) 1
(B) 2
(C) 4
(D) 6
(E) 8
2x  3
12. EN 1987 A equação da reta que é tangente à curva y =
e que contém o ponto (3, 2) é:
x 1
(A) y = –5x + 17
(B) y = –4x + 14
(C) y = –3x + 11
(D) y = –2x + 8
(E) y = –x + 5.
13. EN 1987 O volume do cone de revolução de volume máximo que pode ser inscrito em uma esfera de raio R é:
(A)
16R 3
81
R 3
3
32R 3
(C)
81
(B)
(D)
16R 3
27
(E)
32R 3
.
27
Página | 46
14. EN 1986 Os valores mínimo e máximo de
(A) 0 e
(B) 0 e
1
e
(C)
e
(D) 0 e
f(x) = xe  x no intervalo  0,1  são respectivamente:
2
1
e
1
2e
1
2e
1
2e 4
(E) 0 e e.
R15. EN 1986 O valor de a para o qual as curvas de equações y = a – x2 e xy = 16 são tangentes é:
(A) 12
(B) –4
(C) 4
(D) 2
(E) 1.
NÍVEL C
EFOMM
R1. EFOMM 2013. O gráfico de f(x) = (x – 3)2 . ex, x  IR tem uma assíntota horizontal r. Se o gráfico de f intercepta r no ponto
2
P = (a,b) , então a2 + b. esen a – 4a é igual a:
(A) –3.
(B) –2 .
(C) 3 .
(D) 2 .
1
(E)
2
ESCOLA NAVAL
R2. EN 2012 Calculando – se
lim (cot g x)
sen x
, obtém-se
x  0
(A) 
(B) 0
(C) e
(D)–1
(E) 1
R3. EN 2012 Em que ponto da curva y2 = 2x3 a reta tangente é perpendicular à reta de equação 4x – 3y + 2 = 0?
(A)  1 , 1 
 8 16 


(B)  1 ,  2 
4
16


(C) (1,  2)
(D) (2, –4)


(E)  1 , 1 
2
2
Página | 47


e g(x) =
x
18
18
representa a função inversa da função g. A reta L
R4. EN 2010 Sejam f e g funções reais de variável real definidas por f(x) = 2 – arcsen (x2 + 2x) com
f(3x). Seja L a reta normal ao gráfico g–1 no ponto (2, g–2(2)), onde g–1
contém o ponto
(A) (–1, 6)
(B) (–4, –1)
(C) (1, 3)
(D) (1, –6)
(E) (2, 1)
5. EN 2010 Sejam:
a) f uma função real de variável real definida por
 x3

 x , x > 1 e
 3

f(x) = arctg 
b) L a reta tangente ao gráfico da função y = f–1(x) no ponto (0, f–1 (0)). Quanto mede, em unidades de área, a área do triângulo
formado pela reta L e os eixos coordenados?
(A)
3
2
(B) 3
(C) 1
2
3
4
(E)
3
(D)
6. EN 2010 Os gráficos das funções reais f e g de variável real, definidas por f(x) = 4 – x2 e g(x) =
5x
interceptam-se nos
2
pontos A = (a,f(a)) e B = (b,f(b)), a  b. Considere os polígonos CAPBD onde C e D são as projeções ortogonais de A e B
respectivamente sobre o eixo x e P(x,y), a  x  b um ponto qualquer do gráfico da f. Dentre esses polígonos, seja , aquele que
tem área máxima. Qual o valor da área de , em unidades de área?
530
64
505
(B)
64
445
(C)
64
125
(D)
64
95
(E)
64
(A)
7. EN 2010 Seja L uma lata de forma cilíndrica, sem tampa, de raio da base r e altura h. Se a área da superfície de L mede 54
π a2 cm2, qual deve ser o valor de
(A) a cm
(B) 3a cm
(C) 6a cm
(D) 9a cm
(E) 12a cm
r 2  h 2 , para que L tenha volume máximo?
Página | 48
R8. EN 2010 Considere o triângulo ABC dado abaixo, onde M1,M2 e M3 são os pontos médios dos lados AC, BC e AB,
respectivamente e k a razão da área do triângulo AIB para a área do triângulo IM1M2 e f(x)=(
1 3
x + x2 – 2x – 11) 2 . Se um
2
cubo se expande de tal modo que num determinado instante sua aresta mede 5dm e aumenta à razão de f (k) dm min então
podemos afirmar que a taxa de variação da área total da superfície deste sólido, neste instante, vale em dm2 min
(A) 240
(B) 330
(C) 420
(D)940
(E) 1740
2
2
2
2
2
9. EN 2008 O valor mínimo relativo de função f, de variável real x, definida por f(x) 

(A) a  2 b

2
a2
2
sen x

b2
2
, onde a , b  R * , vale:
cos x
.
(B) a  b .
(C) 2 ab .
2
2

(D) a  b
2 ,
E) 2 (a  b) 2 .
R10. EN 2008 A função real f, de variável real, é definida por f(x)  n (x 5  x 3  x) . Podemos afirmar que a equação da reta
1
normal ao gráfico de função inversa f 1 no ponto (n 3 , f (n 3)) é:
(A) y  3x  3 n 3  1 .
(B) 3y  x  n 3  3 .
(C) y  3x  n 27  1 .
(D) 3y  x  n 3  3 .
(E) y  3x  n 3  3 .
2
11. EN 2008 Sejam L1 a reta tangente ao gráfico da função real f(x)  e x 3x no ponto P(–1,f(–1) e L2 a reta tangente ao
gráfico da função y  f (x) no ponto Q( 1, f (1)) . A abscissa do ponto de interseção de L1 e L2 é:
1
.
9
1
(B)  .
3
1
(C) .
9
1
(D) .
3
(E) 1.
(A) 
Página | 49
12. EN 2007 A reta r tangente à curva de equação x  xy  y  1 , no ponto P  (x , y) , é paralela ao eixo das abscissas. Pode-se
afirmar que o ponto P também pertence à reta de equação:
(A) x  0 .
(B) y  1 .
(C) y  x  2  0 .
(D) y  x  1  0 .
(E) 3y  3x  1  0 .
13. EN 2007 O cone circular reto, de volume mínimo, circunscrito a um hemisfério de raio R e apoiado no plano diametral, tem
por volume o número real:

(A) R 3 .
3
3
R3 .
(B)
3
(C)  R 3 .
2
R3.
3
3
R3 .
(E)
2
(D)
14. EN 2006 Um recipiente cilíndrico que deve ter 1 m 3 de volume vai ser construído nas oficinas do Arsenal de Marinha, para
atender a um dos navios da MB. Na lateral e na tampa, será utilizado um material cujo preço é R$ 1.000,00 por m 2 e, no fundo,
um material cujo preço é R$ 2.000,00 por m 2 . Que dimensões deve ter o recipiente, para que a MB tenha a menor despesa
possível?
1
1
(A)
m e
m.
3
3
3 2
1
1
(B)
m e
m.
3
3
3
9  2
(C)
(D)
(E)
1
 3
3
1
3
3
3
1
3
1
m e
m e
3
9
m.

3
1
m e
m.
9 2
3
m.
 9 2
 π
 x 
 e 2 
3
π 2
 3π


cos   2x  no ponto  ,
2 2 
 4



. Se P e Q são os pontos de interseção de L com os eixos coordenados, a medida da área do triângulo de vértices P, Q e (0 , 0) é:
15. EN 2006 Seja L a reta tangente ao gráfico da função real, de variável real, Y(x)
(A)
2  (  1)
.
2
(B)
2 (  1) 2
.
8
(C)
2  
  1 .
4 2 
(D)
2 (  1) 2
.
4
2
Página | 50
2
2 

  2 .
2 2

(E)
1
R16. EN 2002 Se
lim (cotx) 1nx = p, então
x0
1
3
1
1
< p 
2
3
1
< p  1
2
1 < p  2
2 < p  3.
(A) 0  p 
(B)
(C)
(D)
(E)
17. EN 2001 Qual o valor do lim (cotg x)1/1n x ?
x 0
(A) e
(B) 1/e
(C) 0
(D) –1.
18. EN 1999 Um navio levará estocado um latão de óleo contendo 100  dm3 de volume e deve ter a forma de um cilindro com
base plana e parte superior hemisférica, conforme a figura. Desprezando a espessura do material, podemos afirmar que o raio r da
base, para que seja gasto a menor quantidade possível de material para a confecção do latão é:
(A) 3 60
(B) 2 15
(C) 4 50
(D) 3 3 15
(E)
3
60 .
19. EN 1998 Considere r a reta tangente ao gráfico da função y = f(x) no ponto (1, f(1)). Sejam f(1) = 3 e f’(1) = 2. Se r
intercepta o gráfico da função g(x) = x2 – 3x + 7 nos pontos (x1, y1) e (x2, y2) então os valores de y1 e y2 são respectivamente
(A) 1 e 2
(B) 2 e 3
(C) 3 e 5
(D) 5 e 7
(E) 7 e 9.
lim ln ( x  1)  sen x
R20. EN 1997 O valor de x 
é
0
sen 2 x
(A) – 
(B) – 1/2
(C) 0
(D) 1/2
(E) não existe.
Página | 51
21. EN 1991 Calcule lim
1
xex
x 0
(A) 0
(B) 1
(C) e
(D) e
(E) ∞
22. EN 1987 A equação da reta que é tangente à curva
y=
2x  3
e que contém o ponto (3, 2) é:
x 1
(A) y = –5x + 17
(B) y = –4x + 14
(C) y = –3x + 11
(D) y = –2x + 8
(E) y = –x + 5.
R23. EN 1985 O valor de a que torna a função:

1/ x 2
, se x  0
(cos x )
f(x) = 

, se x  0
 2a
contínua em x = 0
é:
(A) 2
(B) 2 e 2
(C)
(D)
e
2
1
2 e
(E) 2e2.
Página | 52
CAPÍTULO 4 - INTEGRAL
1. DEFINIÇÃO
Seja f : IR  IR ,uma primitiva de f é uma função
F : IR  IR
Tal que
F' (x)  f (x) ,  x  IR .
A primitiva de uma função, caso exista, é única a menos de uma constante real,
F1' ( x )  F 2 '( x ) ,  x  IR

 c  IR : F1 ( x )  F 2 ( x )  c ,  x  IR
Para representar a família de primitivas de uma função, introduzimos a seguinte notação
 f (x) dx
 F(x)  c , c  IR : F' ( x)  f ( x) ,  x  IR .
Dizemos que uma função é integrável se e somente a sua primitiva existir.
EXEMPLO 4.1.

'
x dx 
 x2

x2
  x ,  x  IR.
 c , c  IR. pois, 

c
 2

2


A função F : IR  IR também é chamada de integral indefinida de f.
As principais propriedades da integral indefinida são:

 f (x) dx   f
2.  ( c  f (x) ) dx  c   f (x) dx , c IR.
1. (f1 (x)  f 2 (x) ) dx 
1
2
(x) ) dx
As integrais indefinidas das principais funções são:
 x dx  n  1  x  c, c  IR e n   1.
1
2.  dx  ln x  c , c  IR , x  0.
x
3.  sen x dx   cos x  c , c  IR
1.
n
1
n 1
 cos x dx  sen x  c , c  IR
5.  tg x dx  ln sec x  c , c  IR
4.
 sec x dx  ln sec x  tgx  c , c  IR
7.  cos sec x dx  ln cos sec x  cot g x  c , c  IR
8.  cot x dx  ln sen x  c , c  IR
6.
Página | 53
9.

1
1 x2
1
10.
 1 x
11.
x
2
dx  arc sen x  c , c  IR , x    1, 1 
dx  arc tg x  c , c  IR ,
1
x2 1
dx  arc sec x  c , c  IR , x     1    1,  
 e dx  e  c, c  IR.
1
 a  c, c  IR.
13.  a dx 
ln a
14.  ln x dx  x ln x  x  c, c  IR. x  0
1
  x ln x  x   c, c  IR. x  0
15.  log x dx 
ln a
16.  sec x dx  tg x  c , c  IR
17.  cos sec x dx   cot g x  c , c  IR
18.  sec x  tg x dx  sec x  c , c  IR
19.  cos sec x  cot g x dx   cos sec x  c , c  IR
x
12.
x
x
x
a
2
2
2. INTEGRAL DE RIEMANN
Seja
f : IR  IR
Integrável.
A integral de Riemann ou integral definida de f no intervalo  a, b  , é representada por
b
 f (x) dx
a
Onde a e b são chamados de limite inferior e superior da integral definida.
TEOREMA 2.1 (Teorema Fundamental do Cálculo)
Seja
Integrável em
 a, b  , a , b  IR
f : IR  IR
, a  b. Então

onde F ' (x)  f (x) ,  x   a, b .
b
f ( x ) dx  F(b)  F(a )
a
Sejam a , b  IR , a  b, as principais propriedades da integral de Riemann são:
b

2. 
1.
a
3.
(f1 ( x)  f 2 (x ) ) dx 
b
( c  f ( x ) ) dx  c 
a


b
a
f1 ( x) dx 
b
f
a
2
(x ) dx
b
f (x ) dx , c  IR.
a
 f (x) dx   f (x) dx   f (x) dx ,  c  a, b 
b
c
b
a
a
c
Página | 54
IMPORTANTE: Quando a função f for uma função integrável e não negativa, o valor da integral de Riemann coincide com o
valor da área limitada pelo gráfico da função , pelas retas x  a , x  b e pelo eixo das abscissas.
EXEMPLO 2.1.
2
 x dx
Calcule
2
0
Como
x
2
dx 
1 3
 x  c ,  IR ,
3
Temos
1
F( x )   x 3  c ,  IR
3
Logo

2
0
8
1
 1
 8

x 2dx  F (2)  F (0)    23  c     03  c     c    c  .
3
3
 3
 3

Então a área limitada pelo gráfico da parábola y  x 2 , pelas retas x  0 , x  2 e pelo eixo das abscissas vale
8
.
3
Página | 55
EXERCÍCIOS
NÍVEL A
EFOMM
R1. EFOMM 2013 O valor da integral   senx.cosx dx é:
(A) – cos x + c .
1
(B) – cos 2x + c
4
1
(C) – cos x + c
2
1
(D) + cos x + c
4
1
(E) + cos 2x + c
2
ESCOLA NAVAL
R2. EN 2013 O valor de
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)

/ 2
0
(e2x  cos x)dx é
e 3

2 2
e / 2 1

2
2
e 3

2 2
e / 2 3

2
2
e / 2 1

2
2

3. EN 2010 Qual o valor de sen 6x cos x dx
7cos7x 5cos5x

c
2
2
7sen7x 5sen5x

c
(B)
2
2
sen7x sen5x

c
(C)
14
10
cos7x cos5x

c
(D) 
14
10
7cos 7x 5cos5x

c
(E)
2
2
(A) 
Página | 56
 4 sen 2x cos x dx é:
2
R4. EN 2008 O valor de
cos 2x cos 4x

 C.
2
4
sen 2 2x
 cos 2x 
 C.
2
4 cos 3 x

C.
3
3
 cos 2x  C .
2
cos 4x
 cos 2x 
C.
4
(A) 
(B)
(C)
(D)
(E)

R5. EN 1998 O valor de
/8
tg 2 (2x ) dx
0
1
3
1
(B)
6
(C) 2 – 1
(A)
8 2  3
24
4
(E)
.
8
(D)
6. EN 1997 O valor de

2/
1 / 
1
3
sen   dx é
x2
x
(A)  /3
(B) 1
(C) 1/3
(D) –1/3
(E) –1.
1
7. EN 1989
2x
 2  2x
0
2
 x4
dx é igual a
(A) –/8
(B) –/4
(C) /8
(D) /4
(E) 0
Página | 57
NÍVEL B
ESCOLA NAVAL
2
R1. EN 2012 Qual o valor de  (cos sec x . sec x) dx?
(A) 1 (4x  sen4x)  c
32
5
3
sen
x  sen x  c
(B)
5
3
3
3
sen x. cos x
c
9
(D) 1 (4x  sen4x)  c
16
(E) 1 (4x  sen4x)  c
16
(C)
R2. EN 2007 Sejam a e b constantes reais positivas, a  b . Se x é uma variável real, então 
(a x  b x ) 2
a xbx
dx é:
 a x bx 
  2x  c .

(A) (n a  n b) 
 bx a x 


 a x bx 
  2x  c .

(B) (n b  n a ) 
 bx a x 


x
x 

1
 a  b   2x  c .
(C)
(n a  n b)  b x a x 
(D)
(E)
ax
bx

bx
ax
 2x  c .
 a x bx 
1

  2x  c .

(n b  n a )  b x a x 
R3. EN 2006 O cálculo de 
n 1  e 4 x
(A)
4
e 2x
1  e 4x
dx é igual a:
c.
(B) 2 arctg e 2x  c .
(C)
arctg e 2 x
c .
4
n 1  e 4 x
(D)
(E) 
4e 2 x
c.
arcctg e 2 x
c.
2
Página | 58
R4. EN 2004 Seja p uma constante real positiva. A integral
(A)
2
2px 
3
(B) p2px 
3
1
2
c.
2
c.
3
(C)
1
2px 
3
(D)
2
x 2px 
3
1
(E) x 2px 
3
2

e
n ( 2px )
2
dx
é igual a:
c .
1
1
2
c.
2
c.
5. EN 1999 Sabendo-se que a função
é contínua em x = 7 e que b =
(A)


x  7 se x  7

2
f(x) =  x  15  8

se x  7
a
/2
a
cos 2x . sen 4x dx, o valor de
é:
o
b
7
7
(B) 2 7
(C)
(D)
6 7
49
4 7
49
(E) 7 7 .
6. EN 1985 O valor de
(A)
(B)
(C)
0
sen 2x (cos 2 x  sen 2 x )
1  sen 2 2x
dx é:
2
2
2 1
2
2
(D) 1 
(E)

/4
2
2
1 2
2
NÍVEL C
Página | 59
ESCOLA NAVAL
R1. EN 2013 Considere a função f(x) = ln (secx + tgx) + 2 senx, com 0 < x <

. O resultado de
2
  f '(x) 
2
 2  2cos 2x  dx é

(A) tgx + 8x + 2sen2x + C
(B) sec x + 6x + C
(C) sec x – 2x – sen2x + C
(D) tgx + 8x + C
(E) secx + 6x – sen2x + C
R2. EN 2010 Seja f(x) = ln(cos x)2, o ≤ x <

7
2
e F(x)    f '(x)   sen 2 2x  dx . Se F(0) 
 5 , então lim F(x) vale


2
8
x
4
(A) –2
(B) –1
(C) 0
(D) 1
(E) 2
3. EN 2009 A equação
d2y
2
=
1
sen5x cos3x é dita uma
3
equação
diferencial ordinária de 2 a ordem. Quando x = 0
dx
dy
43
,
vale
e y vale 2. O volume do cilindro circular reto, cujo raio da base mede 2 2 m e cuja altura, em metros, é o
dx
48
valor de y quando x = 4, vale em metros cúbicos
(A) 4(2 + 1)
(B) 8(4 + 1)
(C) 4(4 + 2)
(D) 16( + 1)
(E) 16(2 + 1).
R4. EN 2008
Considere y  f(x) uma função rela, de variável real, derivável até 2ª ordem e tal que f (x)  f(x)  0 ,  x  R .
Se g(x)  f (x) sen x  f(x) cos x  cos 2 x , então:
sen 2x
 C.
2
(B) g(x)  C .
cos 2x
 C.
(C) g( x ) 
2
cos 2x
 C.
(D) g( x )  2f ( x ) 
2
(A) g( x ) 
2
(E) g(x)  sen x  cos x  C .
R5. EN 2006 Seja y  f(x) uma função real que satisfaz a equação
 x6  2 
  0 , x  R * .
8y  
 x2 


2
 dy 
O valor de  x 2 1    dx é:
 dx 
Página | 60
x 6 n x

c .
12
2
x 4 x 2
(B) 

c.
8
4
(A)
x6
 n x  c .
12
x 6 n x

c.
(D) 
12
2
x 4 x 2
(E)

c .
8
4
(C) 
R6. EN 2005 Sabendo-se que y(x) é uma função derivável em todo o seu domínio e que y (x)  e 3x 
y (0) 
1
1
e
1

3x
x  2x  2
2

π 4
 , pode-se afirmar que y(1) é igual a:
4 3
(A)
e 3  2 n 2
.
3
(B)
4e 3  5
.
4
(C)
e 3  3 n 2  3
.
3
(D)
3  2 n 2  e 3
.
3
(E)
e 3  n 2  3
.
3
7. EN 1999 Seja f(x) =
x 4 x 2

, o valor de 12 1  (f ' ( x )) 2 dx
8
4
é:
11
;
16
17
(B)
;
16
(A)
(C) 2;
33
;
16
17
(E)
.
8
(D)
8. EN 1987 A área da região do primeiro quadrante limitada pelas retas
y=
x
9
e
y=
x
4
e pela
hipérbole y =
1
x
vale:
1
3
(B) n 1,5
(C) 1 + n 2
(D) 2 + n 2
(E) 4.
(A)
9. EN 1985 A superfície limitada pela curva de equação y = x2 e pela reta de equação y = 4 gira em torno da reta
volume do sólido assim gerado mede:
y = 5. O
Página | 61
832
15
512
(B)
15
836
(C)
15
176
(D)
15
(E) 15.
(A)
10. EN 1985 Considere os gráficos das funções y = sen x e y = cos x, x  [–, ]. A área da superfície limitada inferiormente
por y = sen x e superiormente por y = cos x mede:
(A) 4 2
(B) 2 2
(C) 2
(D)
2
(E) 2 + 2 .
(F) Nenhuma das respostas acima.
CAPÍTULO 5 - GABARITO E SOLUÇÕES
Página | 62
CAPÍTULO 1
LIMITE E CONTINUIDADE
NÍVEL A
EFOMM
1. E
SOLUÇÃO:
lim
x 0
sen 5 2x
4x 5
5
 sen 2x 
 8  lim
  8 1  8
x 0 2x 
2. E
SOLUÇÃO:
1

1
 x  1

2 x
lim 

  lim
x 1 x  1 
2

 x 1 1
3. D
4. E
SOLUÇÃO:
lim 3x 3  5x 2  x  1
lim x  12 3x  1
lim 3x  1 4



3
2
2
x  1 2x  3x  1
x  1 x  1 2x  1 x  1 2x  1 3
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5. C
SOLUÇÃO:
sen 2 x
lim

x  0 sen x 2
 senx 
lim 

x  0 x 
sen x 2
2
1
lim
x  0 x2
6. A
7. E
SOLUÇÃO:
 x 3  x 2  x 3  x 3  x 2  x 3 



x2

  lim
lim  x 3  x 2  x 3   lim 
 x  
x   
x   x3  x2  x3
x3  x2  x3
é
1
 lim

x 1 1
1


x x2
x
8. B
9. B
SOLUÇÃO:
Página | 63
lim
1  cos 2x
x 0
x2
 2 lim
x 0
sen 2 x
x2
2
10. D
SOLUÇÃO:
Uma vez que
lim x  1
x  1
e


lim x 2  1  0 
x  1
então
x
lim
 
x  1 x 2  1
NÍVEL B
EFOMM
1. C
SOLUÇÃO:
lim  1
lim  x 2 
lim  x 
1 
 x  0 
  x  0 
x  0   2

  0 é:

x
x
x

1
x

x




 x 1 


2. C
SOLUÇÃO:
lim  x  a  a 
lim
x  0
  x 0
x



xa  a
x


xa  a
xa  a


lim
x 0
1
 1
xa  a 2 a
3. C
SOLUÇÃO:
x2  4
 3p  5  limx  2  3p  5  3p  5  4  p  3
x 2 x  2
x 2
lim f ( x )  f (2)  lim
x 2
4. D
Página | 64
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5. D
6. D
SOLUÇÃO:
lim f ( x )  f (3)  lim
x 3
x 3
x 3
1
1
3
 a  lim
aa

x

3
x 3
6
x 3
2 3
NÍVEL C
EFOMM
1. A
SOLUÇÃO:
 a 1
1
1
  lim

I- lim 


a  1 a  1  a  1 a  1 2
1
x
lim 1  x 
1
2
k
 k  x  x  0 k 
e
k



e
II- lim  x
1
1
x  0  k  x 
x
e k
lim 1  x 
x  0 k 





 tan 2 x   
 tan 2x 
2


  lim 
III- lim  
2
x 
  x 

2 x 
2 
x

2 
2



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2. C
3. D
4. C
SOLUÇÃO:
x  a6 
1
2 (1  x )


1
3 (1  x )
3
1  a  2a


2
61  a 1  a  1  a  a
2

1
21 a


3
1

 31 a 
2

1  2a

61  a  1  a  a
2

31  a   2 1  a  a 2

61  a 1  a  1  a  a


2

1  26 x
 61  x 1 
6
6
x 3 x

Então



1
1
1  26 x
  lim
lim 

x 1  2 (1  x )
3 (1  3 x )  x 1 6 1  6 x 1  6 x  3 x





 3  1
 62 3 12

Página | 65
CAPÍTULO 2
DERIVADA
NÍVEL A
ESCOLA NAVAL
1. E
SOLUÇÃO:
y(t )  g 3 (t )  3g(t )  5  y' (t )  3g 2 (t )  g ' (t )  3g ' (t )  y' (2)  3g 2 (2)  g ' (2)  3g ' (2)  3  4 2  3  3  3  135 2. C
SOLUÇÃO:
1
'
 2

1
 1 
x
 arctg    

2
1 x2
 x 

1
1  
x
3. C
SOLUÇÃO:

'

 
1 2
 1
2
2
2
3
 tg x  ln cos x    2tgx  sec x  tgx  tgx  sec x  1  tgx  tg x  tg x
2
 2
4. E
5. B
SOLUÇÃO:


x 2  1  1  2x   x
1 x2
3
 x 
f ' (x)   2

 f ' (2) 
 0,12
 
2
2
2
2
25
 x 1
x 1
x 1
6. D
'




7. B
8. C
SOLUÇÃO:
f ' ( x )  3tg 2 2x   sec 2 2x   2  6  tg 2 2x   sec 2 2x 


f ' ' ( x )  6  2tg2x   sec 2 2x   2  sec 2 2x   6  tg 2 2x 2 sec 2x   sec 2x  tg 2x   2

 f ' '    24  1 
8
9. E
 2
4
 24  13 
 2
2
 96  48  144
Página | 66
NÍVEL B
ESCOLA NAVAL
1. C
2. B
SOLUÇÃO:
x  f 2 ( x )  f ( x )  x  1  1  f 2 ( x )  x  2  f ( x )  f ' ( x )   f ' ( x )  1  0
 f ' (x) 
 1  (f ( x )) 2
2xf ( x )  1
NÍVEL C
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1. E
SOLUÇÃO:
h(x)  f (1  sen2x)  h`(x) 
 h`(0) 
1
1
  f (1  sen2x)  2  f `(1  sen2x)  (2cos 2x)
2
1
1
  f (1)  2  f `(1)  (2)  1
2
2. B
SOLUÇÃO:
g(f (x))  x
 g`(f (x))  f `(x)  1
 g``(f (x))   f `(x)   g`(f (x))  f ``(x)  0  g``(f (x))  
2
g`(f (x))  f ``(x)
 f `(x) 
2
 g``(f (1))  
g`(f (1))  f ``(1)
 f `(1) 
2
x  1  f (1)  1  g`(f (1))  f `(1)  1 g`(1)  f `(1)  1
1
1
Uma vez que f `(x)  1   f `(1)  2  g`(1) 
x
2
Logo
g`(1)  f ``(1)
g``(1)  
2
 f `(1) 
Uma vez que f ``(x)  
1
 f ``(1)  1
x2
Logo
g``(1)  
g`(1)  f ``(1)
 f `(1) 
2
1
  1
1
 2 2 
2
1
3. C
4. D
SOLUÇÃO:
g ' (x)
g ' ' ( x ) 16
f ( x )  f (0)
f (x)
g( x )
f ' (0)  lim
 lim
 lim 2  lim
 lim

4,
x 0
x 0 x
x 0 2x
x 0 4x
x 0
x0
4
4



 

0
0

0
0
Página | 67
5.D
SOLUÇÃO:
f (x)
x  f ' (x)  f (x)
2  f ' (2)  f (2)
g(x)  k
 g ' (x)  k 
 g ' (2)  k 
x
4
x2
2  f ' (2)  1
4  f ' (2)
 f ' (2)  k 
k
4
2  f ' ( 2)  1
Uma vez que
x
1
x

x
 1

sen   f ( x )   x f ( x )   3  cos   f ( x )     f ' ( x )   f ( x )  x  f ' ( x ) 
2
2
2
2
2



 

1
3
1

1

 cos 1  f (2)     f ' (2)   f (2)  2  f ' (2)   cos 0    f ' (2)   2  f ' (2) 
2
2
2

2

 f ' ( 2)  2
Logo
4  f ' (2)
42
8


2  f ' (2)  1 2  2  1 5
k
6. C
1.
lim g ( x )  lim g ( x )
x  1
x  1

 lim a x  b   lim a x 3  x  2b
x  1
x  1

  a  b  a  1  2b  b  1
2.
lim g ' ( x )  lim g ' ( x )
x  1
x  1


 lim a   lim 3a x 2  1
x  1
x  1
 a  3a  1  a  
1
2
7. B
Página | 68
CAPÍTULO 3
APLICAÇÕES DE DERIVADA
NÍVEL A
ESCOLA NAVAL
1. B
SOLUÇÃ0:
f (x)  3x 4  4x 3  5
 f `(x)  0  x  1

 f `(x)  12x  12x  12x  x  1  f `(x)  0  x  0 ou x  1

 f `(x)  0  x  0 ou 0  x  1
3
2
2
 f ``(x)  0  x  0 ou x 



2
 f ``(x)  36x  24x  f ``(x)  0  x  0 ou x 


2
 f ``(x)  0  0  x 
3

2
3
2
3
Logo x = 0 é ponto de inflexão
2. C
SOLUÇÃO:
1

lim  x  a  a 
lim  2 x  a
x  0
  x  0
x
1




0


1

 2 a

0
3. C
SOLUÇÃO:
lim f ( x )  f (2)  lim
x 2
x 2
x2  4
 3p  5
x2
x 4
2x
 3p  5  lim
 lim
 4  p  3.
2
x 
2 x
x 2 1

2

0
0
4. E
SOLUÇÃO:
 1


 x  1

2 x
lim 
  lim 
x 1 x  1 
x 1
 1
 





0



 1

 2


0
5. B
Página | 69
6. C
SOLUÇÃO:
Sejam
(P) : y  x 2 e (n ) a reta normal e P0 ( x 0 , y 0 )  (P)  (n )
Como
(t ) : m t  2x 0 
y 0
x 3
1
 0
 y0  0
2x 0 x 0  3
 2x 0
(n ) : m n  
Uma vez que P0 ( x 0 , y 0 )  (P)  y 0  x 0 2
Então
x0  3
 x 0 2  2x 0 3  x 0  3  0  x 0  1  y 0  1
 2x 0
7. E
SOLUÇÃO:
1
1
 1 1 
x 1
 x 1
f ' (x)  1  e x  x   e x  2   e x  
 0  0  x 1
0


x 
x
x



8. C
9. D
SOLUÇÃO
x 3
a
x 3
1
lim f ( x )  f (3)  lim
x 3
x 3
x 3
1
3
2 x
 a  lim
 lim


x 3 x  3
x 3 1
6
2
3




0
0
10. D
SOLUÇÃO:
Seja P0  x 0 , y 0   (P) : y  1  x 2

 d P0 , O  x 0 2  y 0 2  x 0 2  1  x 0 2

2
 1  x02  x04
d P0 , O ( x 0 )  1  x 0 2  x 0 4
 d P0 , O ' ( x 0 ) 
 2x 0  4x 0 3
2 1  x02  x04
x 0  0  (d P0 , O ) min  1

3
0
1
3  (d P0 , O ) min 
2
 (d P0 , O ) min 
x 0  
2
2

11. D
12. C
13. D
SOLUÇÃO:

3
3
ou 0  x 
f ' ( x )  0  x  
2
2


3
3

f ' ( x )  4x 3  6x  x  4x 2  6  0  f ' ( x )  0  x  0 ou x 
ou ou x  
2
2


3
3
 x  0 ou x 
f ' ( x )  0  
2
2



Página | 70
Uma vez que x    1, 2  
x  0  f (0)  1 (máximo local )

x  3  f ( 3 )   11  0, 6875 ( mínimo local ) máx  5


2
2
16
mín  1
f (1)  1

f (2)  5
14. C
SOLUÇÃO:
y  x x  ln y  x ln x 
y'
1
 ln x  x 
y
x
 y '  y  ln x  1  y '  x x  ln x  1  0  ln x  1  x 
1
e
NÍVEL B
ESCOLA NAVAL
1. C
SOLUÇÃO:
x 2  4 y 2  1  2x x '8yy'  0  xsen 4t  4 yy'  0
 x ' sen 4t  4x cos 4t  4( y' ) 2  4 yy' '  0
 (sen 4t ) 2  4x cos 4t  4(
 y ''
xsen 4t 2
)  4 yy' '  0
4y
 4 y 2 sen 2 4t  16xy 2 cos 4t  x 2 sen 2 4t
16 y
3

 sen 2 4t  16xy 2 cos 4t
16 y 3
2. B
SOLUÇÃO:
dV
k
k

 V( t )  
 c, c  IR
dt t  12
t 1
V(0)  500.000  k  c  500.000

 k  200.000 e c  300.000

k
V(1)  400.000   2  c  400.000
200.000
 V( t ) 
 300.000  V(4)  340.000
t 1
3. C
4. A
5. A
6. D
7. A
SOLUÇÃO:
x 3  bx  c  0  x  x 2  b   c
3c

 b

 x    b   c  x  
 2
b
2
3
2
b
3
x

b

0

x





3



2
b
 3c 
2
3
 
    27c  4b
2
b
3


Página | 71
8. A
9. C
SOLUÇÃO:
sen 2 x
sen 2x
2 cos 2x
lim
 lim
 lim
1
2
2
x  0 sen x
x  0 2x cos x
x  0 2 cos x 2  4x 2 senx 2

 

0
0

0
0
10. E
11. E
12. A
13. C
14. B
15. A
SOLUÇÃO:
16

 2 x   2  x  2
x

16

2
y

a

x
y
 8  8  a  2 2  a  12.

2

16
y 
x


NÍVEL C
EFOMM
1. A
SOLUÇÃO:
 lim f ( x )  r  lim x  32  e x  r  r   
x 
x 
 b  0  f (x)  0

2
x
 lim f ( x )  r  lim x  3  e  r  r  0
x 
x 
 x  32  e x  0  x  3  a  3
Então
2
a 2  b  e sen a  4  a  3 2  0  e sen
2
3
 4  3  3
Página | 72
ESCOLA NAVAL
2. E
SOLUÇÃO:
lim (cot g x)
sen x
lim senx ln(cot g x )
 e x 0
x  0
 0
Pr ecisamos de
2
lim
x  0
sec x
2
ln(t g x)
sec x
se nx
tgx
senx ln(cot g x)  lim
 lim
 lim
 lim 2  0
 cos ec x
  cos ec x cot x
  cos ec x
 cos x
x 0
x 0
x 0
x 0


Logo
lim (cot g x)
sen x
lim senx ln(cot g x )
0
 e x 0
 e 1
x  0
 0
3. A
SOLUÇÃO:
y 2  2 x 3  2 y  y'  6 x 2
Uma vez que y'  
3
3
  y 0  6x 0 2
4
2
Então
2

 y 0  4x 0
  4x 0 2
 2
3

y

2
x
0
 0


2
 2x 0 3  x 0 
1
1
 x0  
8
16
4. D
SOLUÇÃO:
g 1 (2)  x  g( x )  2  f (3x )  2  2  arcsen ( x 2  2x )  2  arcsen ( x 2  2x )  0  x  0
Então
(n ) : y  0  m n ( x  2)
Uma vez que
m t  (g 1 )' (2) 
1
1


g' (0) 3  f ' (0)
1

20  2
3   

1  (0 2  2  0) 2

 (n ) : y  0  6  ( x  2)  (n ) : y  6x  12





1
 mn  6
6
5. E
6. B
7. C
Página | 73
8. E
SOLUÇÃO:
2S
k
 4 , onde S ABC  6S
2S
4
da
| a 5  f (4)  29 2 dm / min
dt
dS
da
dS
S  6a 2 
 12a

| a 5  12  5  29 2  1740 2 dm 2 / min
dt
dt
dt
9. D
10. E
SOLUÇÃO:
1
( ln 3, f (ln 3))  (n )
(n ) : 
m n  m t  1
1.
f 1 (ln 3)  x  f ( x )  ln 3  ln(x 5  x 3  x )  ln 3  x 5  x 3  x  3  x  1
 ( ln 3, 1)  (n )
2.
m t  f ' (1) 
5  14  3  12  1
1 1 1
5
3
 3  mn  
1
3
Então
1
(n ) : y  1    ( x  ln 3)
3
11. A
12. D
13. E
14. D
15. B
16. B
SOLUÇÃO
1
limcot x  ln x  e x 0
x

0


lim
ln(cot x )
ln x 
e 1 
1
e
 0
Uma vez que 2  e  3 
1 1 1
 
3 e 2
17. B
18. E
19. D
20. B
SOLUÇÃO:
1
1
 sen x

cos
x
lim ln ( x  1)  sen x
lim x  1
lim x  12
1
x
x

2
x0
0 sen (2x )
0 2 cos( 2x )
2
sen
x
 

0
0

0
0
21. E
22. A
23. D
SOLUÇÃO:
c
Página | 74
CAPÍTULO 4
INTEGRAL
NÍVEL A
EFOMM
1. B
SOLUÇÃO:
1
1  1



1
 senx.cosx dx  2  sen2x dx  2    2 cos 2x   c   4 cos 2x  c
ESCOLA NAVAL
2. A
SOLUÇÃO:

/ 2
0
x

 e2x
 2  e
  e0
 e 3

(e  cos x)dx  
 senx  c 
   sen  c     sen0  c   
2
 2
x  0  2
  2
 2 2
2x
3. D
4. E
SOLUÇÃO:
1
 1  cos 2x 
 dx  ( 2 sen 2x  sen 4x) dx   cos 2x  cos 4x  c
2
4

 4 sen 2x cos x dx   4 sen 2x  
2

5. E
SOLUÇÃO:

/8
tg (2x ) dx 
2
0

/8
0
x

1
 8 1  
 1
 1 
(sec (2x )  1) dx   tg2x  x  c 
  tg   c    tg0  0  c    6. C
2
 x 0  2 4 8
 2
 2 8
2
NÍVEL B
ESCOLA NAVAL
1. A
SOLUÇÃO:
 (cos sec x . sec x)
2
dx   sen 2 x  cos 2 x dx  1  sen 2 2x dx
4
 1   1  cos 4x  dx  1   x  1 sen4x   c  x  1 sen4x  c
4 
2
4 2 8
8 32


Página | 75
2. C
SOLUÇÃO:

a
x
b
 dx 
x 2
x x
a b
x
  a x
 b  dx

2







   b 
 a  
x
x
a
b
 
 
  a x  b x 
1
b



 2x   a   c 
        2x  c
ln a  ln b
ln b  ln a
ln a  ln b   b   a  
3. E
SOLUÇÃO:
e 2x
1
1

1
dx  arc tg(e 2 x )  c   arc ctg (e 2 x )   c   arc ctg (e 2 x )  c'
4x
2
2
2
2
1 e

4. D
SOLUÇÃO:

n ( 2 px)
e 2 dx


2px dx  2p

 3

 2

x
2
x dx  2p  
 c   x 2px  c'
 3
 3


 2

5. C
6. B
NÍVEL C
ESCOLA NAVAL
1. D
SOLUÇÃO:
f (x)  ln  secx  tgx   2 senx  f '(x)  sec x  2cos x
Logo
  f '(x) 
2
 2  2cos 2x  dx   (sec x  2cos x) 2  2  2cos 2x  dx



 1  cos 2x 
2
  (sec 2 x  4  4 
)  2  2cos 2x   dx   sec x  8  dx  tgx  8x  c
2




Página | 76
2. B
SOLUÇÃO:
f (x)  2 ln cos x  f `(x)  2tgx
Logo
2
F(x)    f '(x)   sen 2 2x  dx    4tg 2 x  sen 2 2x  dx


1  cos 4x 
7 1
7x 1



2
   4sec 2 x  4 
 dx    4sec x  2  2 cos 4x  dx  4 tgx  2  8 sen4x  c
2




Uma vez que
7
7
7x 1
7
F(0) 
5  c 
 5  F(x)  4 tgx 
 sen4x 
5
8
8
2 8
8
Logo
7 1
7
lim F(x)  4 
 sen 
 5  1

8 8
8
x
4
3. E
4. C
SOLUÇÃO:
g(x)  f (x) sen x  f(x) cos x  cos 2 x
 g ' ( x )  f ' ' (x) sen x  f (x) cos x  f ' (x) cos x  f (x) sen x  2cosx senx
 g ' ( x )  f ' ' (x)  f ( x ) senx  2cosx senx  2cosx senx   sen 2x
1
 g( x )  cos 2x  c
2
5. D
SOLUÇÃO:
1  x 6  2  1 4 1 2
dy 1 3 1 3
y  
 x  x 
 x  x
8  x 2  8
4
dx 2
2
Logo

2
2
1
 dy 
1

x 2 1    dx  x 2 1   x 3  x 3  dx
2
 dx 
2


 x2

1 3 1 3
1
1
1
 1

x  x dx    x 5  x 1 dx   x 6  ln x  c
2
2
2
12
2
 2


6. D
SOLUÇÃO:
y (x)  e 3x 
1

1
1
1
 y ( x )  e 3x  arc tg( x  1)  ln 1  3x  c
1  3x
3
3
x  2x  2
1 
 4
y(0)    c    c  1
3 4
4 3
1
1
1
1
y ( x )  e 3x  arc tg( x  1)  ln 1  3x  1  y (1)  e 3  ln 4  1
3
3
3
3
2
7. D
8. B
9. A
10. B
Página | 77