Teste_Versão 1 - Matemática? Absolutamente!

Teste Intermédio Matemática A
Versão 1
Teste Intermédio
Matemática A
Versão 1
Duração do Teste: 90 minutos | 15.03.2010
12.º Ano de Escolaridade
Decreto-Lei n.º 74/2004, de 26 de Março
Na folha de respostas, indique claramente a versão do teste.
A ausência dessa indicação implica a classificação das respostas
aos itens de escolha múltipla com zero pontos.
Teste Intermédio de Matemática A – 12.º Ano – Versão 1 – Página 1
Formulário
Comprimento de um arco de
circunferência
Probabilidades
α<
5 œ ÉB" .# :" ÞÞÞÞ B8 .# :8
. œ B" :" ÞÞÞÞ B8 :8
(α amplitude, em radianos, do
ângulo ao centro; < raio)
Se \ é R Ð.ß 5 Ñ, então:
Áreas de figuras planas
Losango:
T Ð. 5 ( \ ( . 5 Ñ ¸ !,')#(
T Ð. #5 ( \ ( . #5 Ñ ¸ !,*&%&
H3+198+6 7+39< ‚ H3+198+6 7/89<
#
T Ð. $5 ( \ ( . $5 Ñ ¸ !,**($
Trapézio: F+=/ 7+39< # F+=/ 7/89< ‚ E6>?<+
Regras de derivação
Polígono regular: Semiperímetro ‚ Apótema
Ð? @Ñw œ ?w @w
α <#
(α amplitude,
#
em radianos, do ângulo ao centro; < raio)
Ð?Þ@Ñw œ ?w Þ @ ? Þ @w
Sector circular:
w
w
ˆ ? ‰w œ ? Þ @ #? Þ @
@
@
Ð?8 Ñw œ 8 Þ ?8" Þ ?w
Áreas de superfícies
Área lateral de um cone: 1 < 1
(< raio da base; 1 geratriz)
Área de uma superfície esférica:
(< raio)
Ð8 − ‘Ñ
Ðsen ?Ñw œ ?w Þ cos ?
Ðcos ?Ñw œ ?w Þ sen ?
w
Ðtg ?Ñw œ cos?# ?
% 1 <#
Ð/? Ñw œ ?w Þ /?
Ð+? Ñw œ ?w Þ +? Þ ln +
Volumes
Ð+ − ‘ Ï Ö"×Ñ
w
Ðln ?Ñw œ ??
"
Pirâmide: $ ‚ Área da base ‚ Altura
w
Ðlog + ?Ñw œ ? Þ?ln +
"
Cone: $ ‚ Área da base ‚ Altura
%
Esfera: $
1 <$
Ð+ − ‘ Ï Ö"×Ñ
Limites notáveis
(< raio)
lim Š" 8" ‹ œ /
8
Trigonometria
lim senB B œ "
sen Ð+ ,Ñ œ sen + Þ cos , sen , Þ cos +
BÄ!
cos Ð+ ,Ñ œ cos + Þ cos , sen + Þ sen ,
B
lim / B" œ "
BÄ!
tg + tg ,
tg Ð+ ,Ñ œ "tg + Þ tg ,
ln ÐB"Ñ
B
BÄ!
lim
œ"
Complexos
3 -3= )8 œ 38 -3= Ð8 )Ñ
lim
BÄ∞
8 3 -3= ) œ È
8 3 -3= )# 5 1 ß 5 − Ö!ß ÞÞÞß 8 "×
È
8
ln B
B
/B
:
B
BÄ∞
lim
œ!
œ ∞
Ð: − ‘Ñ
Teste Intermédio de Matemática A - 12.º Ano - Versão 1 - Página 2
GRUPO I
1.
•
Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla.
•
Em cada um deles, são indicadas quatro opções, das quais só uma está correcta.
•
Escreva, na sua folha de respostas, apenas o número de cada item e a letra
correspondente à opção que seleccionar para responder a esse item.
•
Não apresente cálculos, nem justificações.
•
Se apresentar mais do que uma opção, a resposta será classificada com zero pontos,
o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível.
Seja
H o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória.
Sejam
E e F dois acontecimentos (E § H e F § H)
Sabe-se que:
E e F são acontecimentos independentes;
• T ÐEÑ œ !,% e T ÐFÑ œ !,&
•
Qual é o valor de
(A)
2.
3.
!, '
T ÐE ∪ FÑ ?
(B)
Qual é o valor de
!, (
(C)
!, )
(D)
!, *
(C)
*(&
(D)
**)
log & Œ #&  ?
&"!!!
(A)
%!
Seja
1 a função, de domínio Ò !ß ∞Ò, definida por
(B)
&!!
Ú $B È B
1ÐBÑ œ Û
Ü B & log # B "
=/ ! Ÿ B ( #
=/ B € #
Em qual dos intervalos seguintes o Teorema de Bolzano permite garantir a existência de
pelo menos um zero da função
(A)
Ó!ß "Ò
(B)
1?
Ó"ß $Ò
(C)
Ó$ß &Ò
(D)
Ó&ß *Ò
Teste Intermédio de Matemática A - 12.º Ano - Versão 1 - Página 3
4.
Na figura 1, está representada parte do gráfico
de uma função
0 , de domínio ‘
Tal como a figura sugere, a recta de equação
C œ " é assimptota do gráfico de 0
Indique o valor de
lim ”
B Ä ∞
ln ÐBÑ
0 ÐBÑ•
B
Figura 1
(A)
5.
"
(B)
!
(C)
"
Na figura 2, está representada parte do gráfico de uma função
(D)
∞
2, de domínio ‘
Figura 2
Seja ?8 a sucessão de termo geral
Qual é o valor de
(A)
∞
lim ?8 ?
(B)
"
?8 œ 2Š% (C)
"!!!
8 ‹
#
(D)
$
Teste Intermédio de Matemática A - 12.º Ano - Versão 1 - Página 4
GRUPO II
Nas respostas aos itens deste grupo, apresente todos os cálculos que tiver de efectuar e
todas as justificações necessárias.
Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o
valor exacto.
1.
Uma caixa tem seis bolas: três bolas com o número 0 (zero), duas bolas com o número 1
(um) e uma bola com o número 2 (dois). Tiram-se, simultaneamente e ao acaso, duas bolas
da caixa e observam-se os respectivos números.
1.1.
Sejam
E e F os acontecimentos:
E À «os números saídos são iguais»
F À «a soma dos números saídos é igual a 1»
Qual é o valor da probabilidade condicionada
1.2.
Seja
T ÐElFÑ? Justifique a sua resposta.
\ a variável aleatória «produto dos números saídos».
Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória
\
Apresente cada uma das probabilidades na forma de fracção irredutível.
2.
Uma professora de Matemática propôs o seguinte problema aos seus alunos:
Uma turma tem 25 alunos, dos quais 15 são rapazes e 10 são raparigas. Pretende-se
formar uma comissão com dois alunos do mesmo sexo.
Quantas comissões diferentes se podem formar?
Apresentam-se, em seguida, as respostas da Rita e do André a este problema.
Resposta da Rita:
"&
G# ‚
"!
G#
Resposta do André:
#&
G# "& ‚ "!
Apenas uma das respostas está correcta.
Elabore uma composição na qual:
•
identifique a resposta correcta;
•
explique o raciocínio que conduz à resposta correcta;
•
proponha uma alteração na expressão da resposta incorrecta, de modo a torná-la
correcta;
•
explique, no contexto do problema, a razão da alteração.
Teste Intermédio de Matemática A - 12.º Ano - Versão 1 - Página 5
3.
Seja
0 a função, de domínio ‘ , definida por
Ú
B#
Ý
Ý
B È#B
0 ÐBÑ œ Û
Ý
Ý
Ü B /B B "
=/ ! ( B ( #
=/ B € #
Resolva, usando exclusivamente métodos analíticos, os itens 3.1. e 3.2.
3.1.
Averigúe se a função
3.2.
O gráfico da função
0 é contínua em B œ #
0 tem uma assimptota oblíqua.
Determine a equação reduzida dessa assimptota.
3.3.
Seja
1 a função, de domínio ‘ , definida por 1ÐBÑ œ $ lnÐBÑ
A equação
0 ÐBÑ œ 1ÐBÑ tem exactamente duas soluções.
Determine essas soluções, utilizando as capacidades gráficas da sua calculadora.
Apresente as soluções arredondadas às centésimas.
Apresente os gráficos que obteve na calculadora e assinale os pontos relevantes.
4.
Numa certa região, uma doença está a afectar gravemente os coelhos que lá vivem. Em
consequência dessa doença, o número de coelhos existentes nessa região está a diminuir.
Admita que o númeroß em milhares, de coelhos que existem nessa região,
> semanas
após a doença ter sido detectada, é dado aproximadamente por
5
0 Ð>Ñ œ $ # /!,"$ >
(5 designa um número real positivo)
Resolva, usando exclusivamente métodos analíticos, os dois itens seguintes.
Nota: a calculadora pode ser utilizada em cálculos numéricos; sempre que, em cálculos
intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, quatro casas decimais.
4.1.
Suponha que
5 œ "!
Ao fim de quantos dias, após a doença ter sido detectada, é que o número de coelhos
existentes na referida região é igual a
4.2.
Admita agora que o valor de
* !!! ?
5 é desconhecido.
Sabe-se que, durante a primeira semana após a detecção da doença, morreram dois
mil coelhos e não nasceu nenhum.
Determine o valor de
5, arredondado às décimas.
FIM
Teste Intermédio de Matemática A - 12.º Ano - Versão 1 - Página 6
COTAÇÕES
GRUPO I ................................ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ.. (5 ‚ 10 pontos) ............................................... 50 pontos
GRUPO II ..................................................................................................................... 150 pontos
1. ..................................................................................................... 35 pontos
1.1. ........................................................................... 15 pontos
1.2. ........................................................................... 20 pontos
2. ..................................................................................................... 15 pontos
3. ..................................................................................................... 60 pontos
3.1. ........................................................................... 20 pontos
3.2. ........................................................................... 20 pontos
3.3. ........................................................................... 20 pontos
4. ..................................................................................................... 40 pontos
4.1. ........................................................................... 20 pontos
4.2. ........................................................................... 20 pontos
Total ............................................................................................................................. 200 pontos
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