Aula 14

Relações de ordem
Renata de Freitas e Petrucio Viana
Instituto de Matemática e Estatı́stica, UFF
Novembro de 2013
Sumário
• Reflexividade, antissimetria, transitividade.
• Relações de ordem.
• Principais exemplos.
• Elementos e propriedades especiais.
Helmut Hasse
• Matemático alemão.
(1898 – 1979)
Motivação
Algumas relações organizam os objetos relacionados em nı́veis.
aRb
se, e somente se,
a está no mesmo degrau ou
em degrau abaixo ao de b.
Inclusão
Uma das mais famosas é a inclusão de conjuntos.
Propriedades da inclusão:
(1) Para todo conjunto A, temos que A ⊆ A.
(2) Para todos os conjuntos A, B, se A ⊆ B e B ⊆ A, então
A = B.
(3) Para todos os conjuntos A, B, C , se A ⊆ B e B ⊆ C , então
A ⊆ C.
Inclusão organiza os conjuntos
Diagramas de Hasse
P({x})
Inclusão organiza os conjuntos
P({x, y })
Inclusão organiza os conjuntos
P({x, y , z})
Exercı́cio
• Esboçar o diagrama de Hasse de ⊆ em P({x, y , z, w }).
Relações de ordem
Qualquer relação que tem as mesmas propriedades que a inclusão
também organiza objetos em nı́veis.
Definição Seja A um conjunto e R ⊆ A × A. Dizemos que R é
uma relação de ordem em A se R é reflexiva, antissimétrica e
transitiva.
Álgebra
Proposição
Seja R uma relação em A.
• R é reflexiva se, e somente se, IA ⊆ R.
• R é antissimétrica se, e somente se, R −1 ∩ R ⊆ IA .
• R é transitiva se, e somente se, R ◦ R ⊆ R.
Principais exemplos
Os principais exemplos são as ordens numéricas.
• ≤ em N
• ≤ em Z
• ≤ em Q
• ≤ em R
Você saberia diferenciar estas ordens?
≤ em N
Definição Seja A um conjunto, R uma relação de ordem em A e
a ∈ A. Dizemos que a é um primeiro elemento de A segundo R se
para todo b ∈ A, temos que aRb.
• 0 é um primeiro elemento de N segundo ≤.
• Z não possui um primeiro elemento, segundo ≤.
Proposição Se a e b são primeiros elementos de A segundo R,
então a = b.
Exercı́cio
1. Defina último elemento.
2. Mostre que N não tem último elemento segundo ≤.
3. Encontre um exemplo de uma ordem que tem último
elemento.
≤ em Z
Definição Seja A um conjunto e R uma relação de ordem em A.
Dizemos que R é discreta em A se, para todos a, b ∈ A, temos que
{c ∈ A : aRc e cRb} é finito.
• ≤ é discreta em N e em Z.
• ≤ não é discreta em Q.
≤ em Q
Definição Seja A um conjunto e R uma relação de ordem em A.
Dizemos que R é densa em A se, para todos a, b ∈ A, se aRb e
a 6= b, então existe c ∈ A tal que c 6= a, c 6= b, aRc e cRb.
Ou seja, para todos a, b ∈ A, se aRb e a 6= b, então
{c ∈ A : aRc e cRb} é infinito.
• ≤ não é densa em Z.
• ≤ é densa em Q.
≤ em R
Definição Seja A um conjunto, R uma relação de ordem em A e
a ∈ A. Dizemos que a é um elemento minimal de A segundo R se
não existe b ∈ A, tal que bRa e b 6= a.
• O aluno a de MD sentado no primeiro degrau ocupado da
escadaria do IME-UFF é um elemento minimal.
• No entanto, nem sempre temos um único elemento minimal.
Exercı́cio
1. Considere a relação de divisibilidade | em N.
(a) Mostre que | é relação de ordem em N.
(b) Mostre que N tem primeiro e último elemento segundo |.
(c) Verifique se | é densa em N.
2. Considere a relação de divisibilidade | em N − {0, 1}.
(a) Mostre que N − {0, 1} não tem primeiro nem último elemento
segundo |.
(b) Identifique os elementos minimais de N − {0, 1} segundo |.
(c) Identifique os elementos maximais de N − {0, 1} segundo |.
≤ em R
Definição Seja A um conjunto, R uma relação de ordem em A,
X ⊆ A e a ∈ A. Dizemos que a é um limite inferior de X em A
segundo R se
para todo x ∈ X , temos que aRx.
Definição Seja A um conjunto, R uma relação de ordem em A e
X ⊆ A. Dizemos que X é limitado inferiormente em A segundo R
se existe a ∈ A, tal que a é um limite inferior de X em A.
• {x ∈ Q :
√
2 ≤ x} é limitado inferiormente em Q segundo ≤.
≤ em R
Definição Seja A um conjunto, R uma relação de ordem em A,
X ⊆ A tal que X 6= ∅, e a ∈ A. Dizemos que a é o ı́nfimo de X em
A segundo R se a é o último elemento do conjunto dos limites
inferiores de X em A segundo R.
Definição Seja A um conjunto e R uma relação de ordem em A.
Dizemos que A é completo segundo R se todo subconjunto de A
não vazio limitado inferiormente possui ı́nfimo em A, segundo R.
• {x ∈ Q :
√
2 ≤ x} não possui ı́nfimo em Q segundo ≤.
Exercı́cio
1. Defina elemento maximal.
2. Defina limite superior e conjunto limitado superiormente.
3. Defina supremo.
4. Mostre que, se A é completo segundo R, então todo
subconjunto de A não vazio limitado superiormente possui
supremo em A.
Exercı́cios
1. Exercı́cios do Menezes
(Paulo B. Menezes, Matemática Discreta para Computação e
Informática, 2a. edição, Sagra Luzzatto / Instituto de Informática da
UFRGS, Porto Alegre, 2006).
2. Exercı́cios do Scheinerman
(E.R. Scheinerman, Matemática Discreta, Thomson, São Paulo, 2006).
3. Exercı́cios da Lista 14.