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Lista 1 de Fı́sica Moderna - Respostas
Fabio Iareke <[email protected]>
23 de junho de 2012
Resumo
Solução:
• 19. Uma partı́cula está se movendo com velocidade 0, 9c ao longo do eixo x00 do referencial
S 00 , que está se movendo com velocidade 0, 9c
no sentido positivo do eixo x0 do referencial S 0 .
Lista de exercı́cios escolhidos pelo professor Fernando Haas. Exercı́cios retirados de [1].
1
papel...
Capı́tulo 1
(a) Determine a velocidade da partı́cula em
relação ao referencial S 0 .
• 10. Suponha que A0 , B 0 e C 0 estejam em repouso no referencial S 0 , que se move em relação
a S com velocidade v no sentido positivo do
eixo dos x. O ponto B 0 está exatamente a meio
caminho entre A0 e C 0 , cuja distância é L0 . Em
t0 = 0, um pulso luminoso é emitido em B 0 e se
propaga em todas as direções como uma onda
esférica.
(b) Determine a velocidade da partı́cula em
relação ao referencial S.
Solução:
papel...
• 22. A velocidade de um caça supersônico é da
ordem de 3 × 10−6 c.
(a) As frentes de onda chegam simultaneamente em A0 e C 0 de acordo com um observador em S 0 ?
(b) As frentes de onda simultaneamente em
A0 e C 0 de acordo com um observador em
S?
(c) Se a resposta ao item (a) ou (b) foi negativa, qual a diferença entre os tempos de
chegada? Em que ponto a frente de onda
chega primeiro?
(a) Qual é a contração relativı́stica do comprimento do avião nesta velocidade, em
termos percentuais?
(b) Se o avião voar durante um ano (3, 16 ×
107 s) nesta velociade, de acordo com um
relógio em terra, quanto tempo levará o
vôo de acordo com o relógio do piloto?
Quanto tempo, em minutos, ele terá perdido na viagem, de acordo com o relógio
de terra?
• 13. Suponha que um evento ocorra no referencial inercial S no ponto de coordenadas x = 75
m, y = 18 m, z = 4, 0 m e t = 2, 0 × 10−5 s.
O referencial inercial S 0 está se movendo no
sentido positivo do eixo dos x com urna velocidade v = 0, 85c. As origens de S e de S 0
coincidem em t = t0 = 0.
• 25.
Uma espaçonave cujo comprimento
próprio é 100 m passa por um observador em
alta velocidade. O comprimento medido pelo
observador é 85 m. Qual é a velocidade da
espaçonave em relação ao observador?
(a) Quais são as coordenadas do evento em
S’ ?
(b) Use a transformação inversa dos resultados do item (a) para obter as coordenadas
originais.
Solução: De acordo com o fenômeno da contração das distâncias,
L=
1
Lp
γ
(1)
sejam o comprimento próprio dado por Lp =
100 m, e o comprimento medido pelo observador dado por L = 85m,
seja, 40 anos se os deslocamentos fossem na
velocidade da luz.
t = tdeslocamento + 10 (12)
γ
=
1
=
p
1 − v 2 /c2
p
1 − v 2 /c2
1−
v2
c2
Lp
L
Lp
L
v2
=
L
Lp
(4)
=
L2
L2p
(5)
c2
v=
tdeslocamento
=
(16)
tida
L2
1− 2
Lp
30, 03anos
(14)
(15)
Para o tempo próprio t0 temos:
t = t0deslocamento + 10
tdeslocamento
t0deslocamento =
γ
1
γ = p
1 − v 2 /c2
= 22, 37
30, 03
0
tdeslocamento =
22, 37
0
tdeslocamento = 1, 34anos
(6)
(7)
assim,
s
(13)
tdeslocamento
= tvolta
15anos c
=
0, 999c
= 2 × tida
(3)
L2
= 1− 2
Lp
L2
= c2 1 − 2
Lp
v2
c2
tida
(2)
(8)
substituindo,
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
E assim,
s
v=c
(85)2
(100)2
p
v = c (0.2775)
1−
(a) 40, 03 anos
(9)
(b) 11, 34 anos
(10)
• 40. Um amigo da sua idade viaja para Alfa
do Centauro, a 4 anos-luz de distância, e volta
imediatamente. Ele afirma que a viagem durou
apenas 6 anos.
ou seja,
v = 0, 527c
(11)
• 28. Uma régua de um metro está em repouso
no referencial S 0 fazendo um ângulo de 30o com
o eixo x0 . Se S 0 está se movendo com β =
0, 8 m em relação a S, qual o comprimento da
régua em S e que ângulo faz com o eixo dos x?
(a) Com que velocidade seu amigo viajou?
(b) Qual a diferença de idade entre vocês dois
quando voltam a se encontrar?
(c) Desenhe um diagrama espaço-tempo para
confirmar as respostas dos itens (a) e (b).
• 34. Uma amiga da sua idade viaja a uma velocidade de 0, 999c para uma estrela situada a
15 anos-luz de distância. Ela passa 10 anos em
um dos planetas da estrela e volta para casa a
0, 999c. Quanto tempo sua amiga passou fora
de casa (a) do seu ponto de vista; (b) do ponto
de vista dela?
Solução:
papel...
• 43. Um feixe de mésons π + viaja em um tubo
do Fermilab com uma velocidade β = 0, 92 em
relação ao laboratório.
(a) Determine o valor de γ para esses pı́ons.
(b) O tempo de vida próprio dos pı́ons é
2, 6 × 10−8 s. Qual o tempo de vida no
referencial no laboratório?
Solução: A viagem levaria, no ponto de
vista da Terra, 15 anos-luz (ida) + 10 anos
(tempo parado) + 15 anos-luz (retorno), ou
2
(c) Se o feixe contém inicialmente 50.000
pı́ons, quantas partı́culas restam 50 m
adiante?
(d) Qual é a resposta do item (c) se a dilatação dos tempos for ignorada?
Solução:
papel...
• 54. A equação da frente de onda esférica de um
pulso luminoso que parte da origem no instante
t = 0 é x2 + y 2 + z 2 − (ct)2 = 0. Use a transformação de Lorentz para demonstrar que a
frente de onda do pulso em qualquer referencial S 0 que esteja se movendo com velocidade
constante em relação a S também é esférica.
(Sugestão: mostre que a equação de onda em
S 0 é x02 + y 02 + z 02 − (ct0 )2 = 0)
2
Referências
Referências
[1] P. A Tipler e R. A. Llewellyn, Fı́sica Moderna
3a edição, 2001 LTC Rio de Janeiro
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