Lista_Proprag_ret_luz

UNIVERSIDADE DO FEDERAL DO AMAPÁ
PRÓ-REITORIA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO
COORDENAÇÃO DO CURSO DE FÍSICA
LISTA DE PROPAGAÇÃO RETILINEA DA LUZ DE FÍSICA BÁSICA IV
PROFESSOR: ROBERT SARAIVA MATOS
1. Quando o sol nasce ou se põe, ele parece estar no horizonte, porém, na realidade ele está abaixo do horizonte. A explicação para esse aparente paradoxo é que a luz
se encurva ligeiramente quando penetra na atmosfera terrestre, como indicado na figura
abaixo. Como temos a percepção de que a luz se propaga sempre em linha reta, intuı́mos
que ela provenha de um ponto situado em uma posição aparente que forma um ângulo δ
acima da posição real do sol. Assim sendo:
a) Suponha, para simplificar, que a atmosfera tenha uma densidade uniforme e , portanto, um ı́ndice de refração n constante, e que ela se estenda até uma altura h acima da
superfı́cie terrestre, onde se interrompe abruptamente. Mostre que o ângulo δ é dado por:
nR
R
δ = arcsen( R+h
) − arcsen( R+h
)
onde R=6378 km é o raio d terra.
b) Calcule δ usando n = 1, 0003 e h = 20km. Como esse resultado se compara com o
raio angular do sol, que é aproximadamente igual a um quarto de grau?
1
2. Um raio de luz deslocando-se com velocidade c parte do ponto 1 da figura abaixo
e é refletido no ponto 2. O raio atinge a superfı́cie a uma distância horizontal x do ponto 1.
a) Demonstre que o tempo t necessário para a luz se deslocar de 1 até 2 é dado por:
√2 2 √2
y1 +x + y2 +(l−x)2
t=
c
b) Faça a derivada de t em relação a x. Iguale a zero a derivada para mostrar que esse
tempo atinge o mı́nimo quando θ1 = θ2 , que é a lei da reflexão e corresponde à trajetória
real do raio. Trata-se do princı́pio do tempo mı́nimo formulado por Fermat, segundo o
qual, entre as trajetórias possı́veis ligando dois pontos, aquela que realmente ocorre é a
que é a que gasta um tempo de percurso mı́nimo.
3. Um raio de luz deslocando-se em um meio com velocidade v1 parte de um ponto
A e atinge um ponto B de outro meio com velocidade v2 , conforme figura abaixo. O raio
atinge a superfı́cie a uma distância horizontal x do ponto A.
a) Demonstre que o tempo t necessário para a luz se deslocar de A até B é dado por:
√ 2 2 √ 2
h +x
h2 +(l−x)2
t = v11 +
v2
2
b) Faça a derivada de t em relação a x. Iguale a zero a derivada para mostrar que
esse tempo atinge o mı́nimo quando n1 senθ1 = n2 senθ2 , que é a lei de Snell da refração
e corresponde à trajetória real do raio.
4. Um raio de luz propagando-se no ar incide com um ângulo thetaa sobre a superfı́cie
superior de uma placa transparente, conforme figura abaixo, sendo suas duas superfı́cies
planas e paralelas.
′
a) Mostre que θa = θa
b) Prove que isso é verdade para qualquer número de placas paralelas diferentes.
c) demonstre que o deslocamento lateral d do raio emergente é dado pela relação:
′
d=t
sen(θa −θb )
′
cosb
5. Considere duas vibrações com a mesma frequência e a mesma amplitude, porém
com duas fases diferentes, uma ao longo do eixo Ox,
x = asen(ωt − α),
e a outra ao longo do eixo Oy,
x = asen(ωt − β),
As relações anteriores podem ser escritas na forma:
x
= senωtcosα − cosωtsenα
a
3
(1)
y
= senωtcosβ − cosωtsenβ
a
(2)
a) Multiplique a equação 1 por senβ e a equação 2 por senα e a seguir subitraia as
duas relações resultantes.
b) Multiplique a equação 1 por cosβ e a equação 2 por cosα e a seguir subitraia as
duas relações resultantes.
c) Eleve ao quadrado e some os resultados dos itens (a) e (b).
d) Deduza a equação x2 + y 2 − 2xycosδ = a2 sen2 δ, onde δ = α − β.
e) Use o resultado anterior para justificar cada um dos diagramas indicados na figura
abaixo.
4