questões da prova

2ª Prova de Matemática Discreta — 2017-1
1. Prove ou dê contraexemplo: Para todos A, B e C conjuntos, A ⊆ B se, e somente se, C \ B ⊆ C \ A.
2. Prove ou dê contraexemplo: Para todo R1 e todo R2 , se R1 e R2 são relações de equivalência sobre um
conjunto A então R1 ∩ R2 é uma relação de equivalência sobre A.
3. Defina conjunto infinito e prove usando indução que A é infinito se, e somente se, |A| ≥ n para todo n ∈ N.
4. Prove usando indução em n que se A1 , . . . , An são conjuntos dois-a-dois disjuntos então
|A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An | = |A1 | + |A2 | + · · · + |An |.
5. Sejam A1 , A2 , . . . , An conjuntos finitos e não vazios. Prove usando indução que
A1 × A2 × · · · × An = A1 · A2 · · · An 6. Seja A um conjunto totalmente ordenado pela relação de ordem 4 e seja B um conjunto totalmente
ordenado pela relação de ordem E. Uma função f : A → B é crescente sse
para todos x e y pertencentes a A, x ≺ y ⇒ f (x) C f (y).
Uma função crescente de A em B é injetiva? Justifique (dê uma prova ou um contraexemplo).
7. Sejam A um conjunto não vazio, P o conjunto de todas as partições de A e R o conjunto de todas as
relaçoes de equivalência sobre A.
Prove que f : R → P dada por f (R) = {[a] R : a ∈ A} para todo R ∈ R é uma função bijetiva.
8. Considere (Z− , 4) com a 4 b se, e somente se, |b| ≤ |a|.
(Z− , 4) é uma ordem parcial?
(Z− , 4) é uma ordem total?
(Z− , 4) é uma boa-ordem?
Justifique as respostas.
9. Considere a relação 4 sobre Z− definida por a 4 b se, e somente se, |b| ≤ |a|.
(Z− , 4) é uma boa-ordem? Justifique a resposta.
10. Prove que uma relação R sobre A é antissimétrica se e somente se R ∩ R−1 ⊆ {(a, a) : a ∈ A}.
11. (Bônus) Prove que todo conjunto infinito contém um subconjunto infinito enumerável.
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