indução finita

• O passo final
Vamos usar a hipótese de indução e assim mostrar que a mesma fórmula
vale para n + 1. Se conseguirmos fazer esta demonstração, então teremos
demonstrado a fórmula para qualquer n > 2.
Quer dizer, vamos calcular:
Indução Finita
T. Praciano-Pereira
Univ. Estadual Vale do Acaraú
Documento produzido com LATEX
1 + 2 + ···+ n + n + 1
Dep. de Computação
16 de agosto de 2009
sis. op. Debian/Gnu/Linux
usando a hipótese de indução, então:
1 + 2 + ··· + n + n + 1 =
0.0.1
Indução finita.
= (1 + 2 + · · · + n) + n + 1 =
= n+1
2 n+n+1 =
Vamos usar uma técnica chamada1 induç~
ao finita
A indução finita consiste numa comparação com os números naturais
= (n + 1)( n2 + 1) =
= (n + 1) n+2
2 =
N = {0, 1, 2, · · · }
=
que sabemos ser um conjunto infinito de tal forma que, se
Confirmamos a fórmula, pois obtivemos novamente “o primeiro mais o ú
ltimo, dividido por 2, veze o número de termos”.
é verdadeiro. x + 1 é chamado no conjunto dos axiomas de Peano de sucessor
de x. O conjunto N contém todos os sucessores de todos os seus elementos.
n+1
n
2
e nós podemos prová-lo usndo induç~
ao finita.
Vamos chamar esta identidade de P (n), isto é, uma proposição que de depende de n.
+ 1) = P (n + 1)
Portanto P (n) ⇒ P (n + 1) é verdadeiro!
x∈N ⇒ x+1∈N
Exemplo 1 Válidade de uma fórmula
A soma dos n primeiros números naturais é
n+1+1
(n
2
Fica assim demonstrada a fórmula
1 + 2 + ···+ n =
1 + 2 + ··· + n =
n+1
n ; para todo n > 2.
2
O que fizemos pode ser sintetizado no teorema:
Teorema 1 da indução finita
• Verifica-se que P (n0 ) é verdadeiro, para um valor inicial n0 do ı́ndice.
• Primeiro passo
Vamos verificar que a fórmula vale para um valor inicial de n, por exemplo
para n = 2.
2+1
2=3
1+2=
2
é verdadeiro!
• Suposemos, hipótese de indução que, para um valor arbitrário de n > n0
a fórmula fosse verdadeira.
• Tentamos obter a fó rmula, P (n + 1), usando a hipótese de indução, com
sucesso, então provamos que
P (n) ⇒ P (n + 1) é verdadeiro!
• Hipótese de indução
Vamos supor que a fórmula seja então verdeira para um valor arbitrário
de n; n > 2 :
n+1
n
1 + 2 + ···+ n =
2
é verdade.
1 Deveriamos demonstrar que esta té cnica é verdadeira não vamos fazê-lo aqui, entretanto.
Observe num livro de Álgebra, por exemplo [?].
1
Logo, P (n) é verdadeira para todo n > n0 .
Exemplo 2 Soma dos termos de uma p.a.
Queremos mostrar que se dada uma p.a.
a 1 , a 2 , . . . , an
então
2
n
n
a1 + a2 + · · · + an = Sn = a1 +a
2
Devemos então verificar se a fórmula vale para os dois primeiros termos:
Exercı́cios 1 Indução finita
1. Prove, para a soma dos quadrados, que
2a1 + 2a2
a1 + a2
=
2
a1 + a2 =
2
2
P (2) é verdadeiro!
Agora vamos supor válida a fórmula para um valor genérico n de termos e
verificar se a fórmula se mantém no passo seguinte:
1 + 4 + · · · n2 =
n(n + 1)(2n + 1)
.
6
2. Prove que 1 + 3 + · · · + (2n − 1) = n2 .
3. Prove que
n
P
k 3 = (1 + 2 + · · · + n)2 .
k=1
a1 + a2 + · · · + an + an+1 =
= Sn + an+1 =
a1 + an
=
n + an+1 =
2
a1 + an
=
n + an+1 =
2
a1 + an
n + an + r =
=
2
a1 + an
n + 2an2+2r =
=
2
na1 + nan + 2an + 2r
=
=
2
na1 + n(a1 + (n − 1)r) + 2(a1 + (n − 1)r) + 2r
=
=
2
(2n + 2)a1 + [n((n − 1)) + 2(n − 1) + 2]r
=
=
2
2(n + 1)a1 + [n(n − 1) + 2n]r
=
=
2
(n + 1)a1 + (n + 1)a1 + n(n + 1)r
=
=
2
(n + 1)(a1 + a1 + nr)
=
=
2
(n + 1)(a1 + an+1 )
=
=
2
= Sn+1
4. Prove que
n−1
X
k4 =
k=0
5. Prove que
n−1
X
k=0
k5 =
6n5 − 15n4 + 10n3 − n
30
2n6 − 6n5 + 5n4 − n2
12
Ver algumas soluções no fim deste capı́tulo.
e confirmamos a fórmula Sn+1 como consequência da hipótese, logo mostramos
que
P (n) ⇒ P (n + 1) é verdadeiro!
portanto P (n) é verdadeira para qualquer n.
Este encadeamento sucessivo existe em muitas relações. Se pudermos provar
que ele existe na relação P (n), teremos provado, usando induç~
ao finita, que
esta relação P vale para todo n ∈ N.
3
4