Matemática Básica

Matemática Básica
Humberto José Bortolossi
Se A, então B: notações
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Parte 2
Parte 2
Matemática Básica
1
Parte 2
Matemática Básica
2
Se A, então B: notações
Notação
Exemplo
Se A, então B.
Se 0 < a < b, então a2 < b2 .
A ⇒ B.
0 < a < b ⇒ a2 < b 2 .
A implica B.
0 < a < b implica a2 < b2 .
A é condição suficiente para B.
0 < a < b é condição suficiente para a2 < b2 .
B é condição necessária para A.
a2 < b2 é condição necessária para 0 < a < b.
Parte 2
Matemática Básica
Demonstrações: direta e por absurdo
3
Parte 2
Matemática Básica
4
Demonstração direta
Demonstração direta: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro par, então m2 é um inteiro par.
Demonstração direta
Demonstração: se m é um inteiro par, então m é divisível por 2, isto é,
m = 2 · k para algum inteiro k . Então,
Mostra-se que todas as situações que satisfazem a hipótese A também
satisfazem a tese B. Feito isto, segue-se que a sentença “se A, então B” é
verdadeira, pois ela não possui contraexemplos.
m2 = (2 · k )2 = 4 · k 2 = 2 · (2 · k 2 ).
Segue-se que m2 é divisível por 2. Logo, m2 é um número par.
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Demonstração por absurdo
Parte 2
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Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro e m2 é par, então m é par.
Demonstração por absurdo
Demonstração: suponha, por absurdo, que a sentença seja falsa. Então
ela possui um contraexemplo! Portanto, existe um m que satisfaz
a hipótese, mas não satisfaz a tese, isto é, existe um m tal que m inteiro
e m2 é par, mas m é ímpar. Mas, se m é ímpar, existe inteiro k tal que
Nesta técnica, para demonstrar que a sentença “se A, então B” é verdadeira,
supomos inicialmente que ela seja falsa. A seguir, a partir desse pressuposto,
usando argumentos válidos, deve-se chegar a dois fatos contraditórios (por
exemplo, que um número inteiro é par e ímpar ao mesmo tempo ou que
uma sentença é verdadeira ou falsa ao mesmo tempo). Feito isto, como
em uma teoria consistente não podem existir contradições, concluímos que
nosso pressuposto da sentença “se A, então B” ser falsa está errado e, assim,
a sentença “se A, então B” deve ser verdadeira.
m = 2 · k + 1.
Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k 2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k 2 + 2 · k ) + 1.
Segue-se que m2 é ímpar. Um número inteiro não pode ser par e ímpar
ao mesmo tempo. Temos então uma contradição. Assim, a premissa de
que a sentença inicial é falsa está errada, o que nos leva a concluir que a
sentença inicial é verdadeira!
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Parte 2
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A se, e somente se, B
Regras do Jogo
Dizemos que uma sentença
A se, e somente se, B
A se, e somente se, B
é verdadeira quando as sentenças
“se A, então B”
e
“se B, então A”
são simultaneamente verdadeiras.
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A se, e somente se, B: verdadeira ou falsa?
Parte 2
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A se, e somente se, B: verdadeira ou falsa?
m e n são inteiros pares se, e somente se, o produto m · n é um inteiro par.
m é um inteiro e m2 é par se, e somente se, m é um inteiro par.
A sentença é verdadeira, pois as duas sentenças
A sentença é falsa, pois a sentença
se o produto m · n é um inteiro par, então m e n são inteiros pares
se m é um inteiro e m2 é par, então m é um inteiro par
é falsa (justificativas já foram apresentadas anteriormente).
e
m é um inteiro par, então m é um inteiro e m2 é par
são simultaneamente verdadeiras (justificativas já foram apresentadas
anteriormente).
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A se, e somente se, B: verdadeira ou falsa?
A se, e somente se, B: notações
Notação
m é um inteiro múltiplo de 3 se, e somente se, m é um inteiro múltiplo de 9.
Exemplo
A se, e somente se, B.
A sentença é falsa, pois a sentença
se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9
m é um inteiro e
m2
é par se, e somente se, m é par.
A ⇔ B.
m é um inteiro e m2 é par ⇔ m é par.
A se, e só se, B.
m é um inteiro e m2 é par se, e só se, m é par.
é falsa (justificativas já foram apresentadas anteriormente).
Outra notação:
A é condição necessária e suficiente para B.
Exemplo:
m ser um número inteiro e m2 ser um número par é condição necessária e suficiente
para que m seja par.
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Observação 1
O pai de João disse que:
Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo.
Quatro observações
Admita que o pai de João esteja dizendo a verdade. João não foi aprovado no vestibular.
Podemos então garantir que João não vai ganhar um carro novo de seu pai?
Resposta: não! O pai de João disse que se João passar no vestibular, então João vai
ganhar um carro novo. O pai de João não fez nenhuma promessa (nada afirmou) caso
João não fosse aprovado no vestibular. João pode ganhar ou não um carro novo de seu
pai. Nada podemos afirmar.
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Observação 2
Observação 3
A sentença abaixo é verdadeira ou falsa?
A sentença abaixo é verdadeira ou falsa?
Se x ∈ R e x 2 < 0, então x = 1/7.
Se x ∈ R e x 2 − 5 · x + 6 = 0, então x = 2 ou x = 3 ou x = 5.
Resposta: a sentença é verdadeira, pois ela não possui contraexemplos uma vez que
não existe nenhum x que satisfaça a hipótese. Neste caso, dizemos que a sentença é
verdadeira por vacuidade.
Parte 2
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Resposta: a sentença é verdadeira, pois todas as situações que satisfazem a hipótese
(no caso, os números x = 2 e x = 3) também satisfazem a tese.
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Observação 4
Proposição é sinônimo de sentença.
Um teorema
é uma proposição que merece destaque e tem importância
central no desenvolvimento de uma determinada teoria.
Um
lema
é uma proposição auxiliar usada na demonstração de uma
outra proposição.
Um corolário
tra proposição.
Parte 2
Uma demonstração por absurdo famosa
é uma proposição que é consequência imediata de uma ou-
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Parte 2
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Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Se x ∈ R, x > 0 e x 2 = 2, então x não é um número racional
Demonstração: Suponha, por absurdo, que exista x ∈ R tal que x > 0,
x 2 = 2 e x = m/n, com m, n ∈ N. Sem perda de generalidade, podemos
supor que x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Se
x = m/n e x 2 = 2, então (m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2 .
Então, m2 é um número par. Por um exercício resolvido anteriormente,
concluímos que m deve ser par: m = 2 · k para algum inteiro k . Desta
maneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k )2 = 4 · k 2 . Daí, segue-se que n2 = 2 · k 2 .
Logo, n2 é par. Por um exercício resolvido anteriormente, concluímos que
n é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator em
comum (2), uma contradição.
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Seção de Exercícios
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Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x ·x =x ⇒ x =1
(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é falsa, pois x = 0 é um contraexemplo! De fato: x = 0 satisfaz
a hipótese (pois 02 = 0), mas x não satisfaz a tese (pois 0 = 1).
Implicações e Teoria dos Conjuntos
H
=
{x | x satisfaz a hipótese}
=
{0, 1}
T
=
{x | x satisfaz a
=
{1}
tese }
Note que H ⊂ T !
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Exemplo
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x =1 ⇒ x ·x =x
x2 = 4 ⇒ x = 2
(aqui x representa um número real)
(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é verdadeira, pois não existem contraexemplos! De fato: todo x
que satisfaz a hipótese (no caso, apenas x = 1 satisfaz a hipótese), também satisfaz
a tese (pois 1 · 1 = 1).
Resposta: a sentença é falsa, pois x = −2 é um contraexemplo! De fato: x = −2
satisfaz a hipótese (pois (−2)2 = 4), mas x não satisfaz a tese (pois −2 = 2).
H
=
{x | x satisfaz a hipótese}
=
{1}
T
=
{x | x satisfaz a
=
{0, 1}
tese }
H
=
{x | x satisfaz a hipótese}
=
{−2, 2}
T
=
{x | x satisfaz a
=
{2}
tese }
Note que H ⊂ T !
Note que H ⊂ T !
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Exemplo
Parte 2
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Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x = 2 ⇒ x2 = 4
1 > 1/x ⇒ x > 1
(aqui x representa um número real)
(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é verdadeira, pois não existem contraexemplos! De fato: todo x
que satisfaz a hipótese (no caso, apenas x = 2 satisfaz a hipótese), também satisfaz
a tese (pois (2)2 = 4).
Resposta: a sentença é falsa, pois x = −1 é um contraexemplo! De fato: x = −1
satisfaz a hipótese (pois 1 > −1 = 1/(−1)), mas x não satisfaz a tese (pois −1 < 1).
H
=
{x | x satisfaz a hipótese}
=
{2}
T
=
{x | x satisfaz a
=
{−2, 2}
tese }
H
=
{x | x satisfaz a hipótese}
=
] − ∞, 0[ ∪ ]1, +∞[
T
=
{x | x satisfaz a
=
]1, +∞[
tese }
Note que H ⊂ T !
Note que H ⊂ T !
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Parte 2
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Exemplo
Moral
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
Verdadeira ou falsa?
x (x 2 − 2 x + 1) = 0 ⇒ x = 0 ou x = 1 ou x = 2
Se A, então B.
(aqui x representa um número real)
Sejam:
Resposta: a sentença é verdadeira, pois não existem contraexemplos! De fato: todo x
que satisfaz a hipótese (no caso, apenas x = 0 e x = 1 satisfazem a hipótese), também
satisfaz a tese.
H
=
{x | x satisfaz a hipótese}
=
{0, 1}
T
=
{x | x satisfaz a
=
{0, 1, 2}
tese }
H
=
{x | x satisfaz a hipótese A},
T
=
{x | x satisfaz a
tese
B}.
Relação entre Implicações e Teoria dos Conjuntos:
A sentença “se A, então B” é verdadeira se, e somente se, H ⊂ T .
Note que H ⊂ T !
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Parte 2
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Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x ∈ R e x 2 < 0 ⇒ x = 1/7
H
=
{x | x satisfaz a hipótese}
=
∅
T
=
{x | x satisfaz a
=
{1/7}
tese }
Conectivos Lógicos
Como o conjunto vazio está contido em qualquer outro conjunto, segue-se que H ⊂ T
e, portanto, a sentença é verdadeira!
Por que o conjunto vazio está contido em qualquer outro conjunto? Alguém sabe
demonstrar esse fato?
Parte 2
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Parte 2
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Conectivo “ou” (∨)
Conectivo “ou” (∨)
Regras do Jogo
Regras do Jogo
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
p
ou
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
q
p
(a disjunção entre p e q) se x satisfaz pelo menos um dos predicados
p e q. Notação para o conectivo “ou”: ∨.
Relação com a Teoria dos Conjuntos: se
A = {x | x satisfaz p}
x2 = 4 .
ou
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{x | x satisfaz p ∨ q} = A ∪ B.
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Conectivo “e” (∧)
Parte 2
Matemática Básica
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Conectivo “e” (∧)
Regras do Jogo
Regras do Jogo
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
p
e
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
q
p
(a conjunção entre p e q) se x satisfaz simultaneamente os dois predicados p e q. Notação para o conectivo “e”: ∧.
x +1=2
e
q
Relação com a Teoria dos Conjuntos: se
A = {x | x satisfaz p}
x2 = 1 .
e
B = {x | x satisfaz q},
então
{x | x satisfaz p ∧ q} = A ∩ B.
Resposta: x = 1 (satisfaz p e q). Note que x = −1 satisfaz q mas não
satisfaz p.
Matemática Básica
e
(a conjunção entre p e q) se x satisfaz simultaneamente os dois predicados p e q. Notação para o conectivo “e”: ∧.
Quais são todos os valores de x ∈ R que satisfazem o predicado
abaixo?
Parte 2
B = {x | x satisfaz q},
e
então
Resposta: x = 1 (satisfaz p), x = −2 (satisfaz q) e x = 2 (satisfaz q).
Parte 2
q
(a disjunção entre p e q) se x satisfaz pelo menos um dos predicados
p e q. Notação para o conectivo “ou”: ∨.
Quais são todos os valores de x ∈ R que satisfazem o predicado
abaixo?
x +1=2
ou
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Parte 2
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Conectivos e o uso de parêntesis
Conectivos e o uso de parêntesis
Quais são todos os valores de x ∈ R que satisfazem o predicado abaixo?
Quais são todos os valores de x ∈ R que satisfazem o predicado abaixo?
(x > 0
ou
x < 2)
e
x >1.
(x = 0
ou
x = 1)
e
q
p
2
= 3.
r
Resposta: x > 1.
Resposta: não existe valores de x ∈ R tais que (x = 0 ou x = 1) e 2 = 3.
Quais são todos os valores de x ∈ R que satisfazem o predicado abaixo?
Quais são todos os valores de x ∈ R que satisfazem o predicado abaixo?
x
> 0
p
Parte 2
ou
(x
< 2
e
q
x
> 1).
= 0
x r
p
ou
(x = 1
e
q
= 3).
2 r
Resposta: x > 0.
Resposta: x = 0.
Moral: os parêntesis são importantes!
Moral: os parêntesis são importantes!
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Parte 2
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