Linguagem de 1ª Ordem

Resumos - Lógica - Prof. Ricardo P. Tassinari - Departamento de Filosofia - UNESP/Marília – 2012
LINGUAGEM
DE
1ª ORDEM: SEMÂNTICA
Vamos agora estabelecer uma semântica para a linguagem de primeira ordem exposta na
lição Linguagem de 1ª Ordem: Sintaxe. Trata-se, sobretudo, de definir: interpretação,
fórmula verdadeira em uma interpretação e fórmula válida (a validade desempenha na
Lógica de 1ª ordem o papel que a tautologia tem para a Lógica Proposicional).
SEMÂNTICA
Para definir interpretação, fórmula verdadeira em uma interpretação e fórmula válida,
precisamos de algumas definições preliminares.
Definição. Em uma fórmula ∃xY, a parte Y é chamada de escopo do quantificador
em uma fórmula ∀xY, a parte Y é chamada de escopo do quantificador ∀x.
∃x, e
Definição. A ocorrência da variável x é livre se não ocorre logo após um quantificador
(como nas expressões "∃x” ou "∀x”) ou não está no escopo de um quantificador ∃x ou ∀x.
Definição. Uma sentença é uma fórmula que não tem variável com ocorrência livre
Definição: Uma interpretação I para uma linguagem de primeira ordem consiste de:
1) Um conjunto não-vazio D, chamado de domínio da interpretação;
2) Para cada constante individual a, uma atribuição I(a) de algum elemento de D.
3) Para cada letra predicativa A uma atribuição a I(A) de algum conjunto de seqüência
de n elementos de D.
Exemplos.
Seja L a linguagem com as constantes a, b e c, e as letras predicativas E, F (de aridade
1) e M (de aridade 2).
(1) Uma interpretação para L é
D = {Sócrates, Platão, Aristóteles},
I(a) = Sócrates, I(b) = Platão, I(c) = Aristóteles,
I(E) = {Platão, Aristóteles}, I(F) = {Sócrates, Platão, Aristóteles}, e
I(M) = {(Sócrates, Platão), (Platão, Aristóteles)}.
Notemos que, nesta interpretação, podemos ver as classes definidas por E, F e M como
significando, respectivamente: escritor, filósofo, mestre de.
(2) Outra interpretação para L é
D = {1, 2, 3, 4},
I(a) = 1, I(b) = 2, I(c) = 4,
I(E) = {1, 2,3}, I(F) = {1, 3} e
I(M) = {(1,2), (2,4)}.
Vamos agora definir quando uma sentença S é verdadeira em uma interpretação I; para
simplificar a exposição da definição, vamos introduzir a definição e a notação abaixo.
Definição. Dada uma interpretação I de domínio D de para uma linguagem de primeira
ordem L, denotamos por L(D) a linguagem que além dos símbolos de L tem, para cada
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elemento de D, uma constante associada a ele.
Notação: Escrevemos ⊧I S para denotar que a sentença S é verdadeira em I, e ⊭I S
para denotar que S não é verdadeira em I.
Definição. ⊧I S (por indução a partir das regras de composição da fórmula S)
1) ⊧I A(a1, ..., an) se, e somente se, (I(a1), ..., I(an)) Є I(A);
2) ⊧I ~X se, e somente se, ⊭I X;
3) ⊧I X ∧ Y se, e somente se, ⊧I X e ⊧I Y ;
4) ⊧I X ∨ Y se, e somente se, ⊧I X ou ⊧I Y ;
5) ⊧I X → Y se, e somente se, ⊭I X ou ⊧I Y ;
8) ⊧I ∃xY se, e somente se, ⊧I Y(x/a) para toda constante individual a em L(D); Y(x/a) é
a fórmula que resulta de Y pela substituição das ocorrências livres da variável x pela
constante a.
9) ⊧I ∀xY se, e somente se, ⊧I Y(x/a) para alguma constante individual a em L(D); Y(x/a)
é a fórmula que resulta de Y pela substituição das ocorrências livres da variável x pela
constante a.
Exercícios.
(1) Na interpretação dada no exemplo (1) acima verifique se:
(a) ⊧I E(b)
(b) ⊧I E(a)
(g) ⊧I E(b) ∧ M(b,c) (h) ⊧I E(a) ∧ E(b)
(l) ⊧I ∀x E(x)
(m) ⊧I ∀x F(x)
(c) ⊧I M(b,c)
(i) ⊧I E(a) ∨ E(b)
(n) ⊧I ∃x ~F(x)
(d) ⊧I ~E(a)
(j) ⊧I E(a) → E(b)
(f) ⊧I ~E(b)
(k) ⊧I ∃x E(x)
(2) Formalize, nessa nova linguagem, as sentenças:
(a) Algum filósofo é escritor
(b) Algum filósofo não é escritor
(c) Todo filósofo é escritor
(d) Nenhum filósofo é escritor
Definição: Um modelo para um conjunto de fórmula é uma interpretação em que cada
fórmula do conjunto é verdadeira.
Definição: Um contramodelo para uma fórmula é uma interpretação na qual ela é falsa.
Definição: Uma sentença é válida se é verdadeira em toda interpretação.
Podemos estender a noção de validade para uma fórmula qualquer (e não apenas para
sentenças).
Definição: Uma fórmula é válida se e somente se:
(1) é uma sentença verdadeira em toda interpretação ou,
(2) caso tenha variáveis livres, se é verdadeira a sentença obtida quantificando
universalmente todas as suas variáveis livres.
Vemos então que a validade desempenha na Lógica de 1ª ordem o papel que a tautologia
tem para a Lógica Proposicional.
Com essas definições, estabelecemos de forma precisa uma semântica para as
linguagens de 1ª ordem. Temos então uma linguagem cujo uso implica que identifiquemos os
indivíduos e os universais e que expressa de forma concisa e precisa as relações desses
indivíduos com os universais e dos universais entre si. Assim, uma de suas maiores virtudes
da tradução de sentenças da linguagem natural para ela é explicitação dessas relações.