parte 1 dos slides das aulas

Folha 1
Matemática Básica
Humberto José Bortolossi
Apresentação do curso
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Parte 1
Parte 1
Matemática Básica
1
Ementa do curso
Matemática Básica
2
Bibliografia
Iaci Malta; Sinésio Pesco; Hélio Lopes. Cálculo a Uma
Variável. Volume 1: Uma Introdução ao Cálculo. Coleção
MatMídia, Edições Loyola, Editora PUC-Rio, 2002.
Noções de lógica.
Função.
Números inteiros, racionais e irracionais: axiomas e
propriedades.
Números complexos.
Série geométrica.
Função exponencial.
Função logarítmica.
Função potência.
Parte 1
Parte 1
Matemática Básica
3
Parte 1
Matemática Básica
4
Bibliografia
Folha 2
Bibliografia
Elon Lages Lima; Paulo Cezar Pinto Carvalho; Eduardo
Wagner; Augusto César Morgado. A Matemática do Ensino
Médio. Volume 1. Coleção do Professor de Matemática,
Sociedade Brasileira de Matemática, 2003.
Parte 1
Matemática Básica
Elon Lages Lima. Logaritmos. Coleção do Professor de
Matemática, Sociedade Brasileira de Matemática, 2002.
5
Bibliografia
Parte 1
Matemática Básica
6
Bibliografia
James Stewart. Cálculo, volume 1, Quarta edição, Editora
Pioneira, 2001.
Marlene Dieguez Fernandez. Matemática Básica. Notas de
Aula, Departamento de Matemática Aplicada, Universidade
Federal Fluminense, 2011.
Sebastião Marcos Antunes Firmo. Lições de Matemática
Básica.
Departamento de Matemática Aplicada,
Universidade Federal Fluminense, 2011.
Parte 1
Matemática Básica
7
Parte 1
Matemática Básica
8
Outras informações
Folha 3
Datas das provas
Página WEB do curso: http://www.professores.uff.br/hjbortol/.
Clique no link DISCIPLINAS no menu à esquerda.
Conteúdo: cronograma dia a dia, lista de execícios, material
extra, notas das provas.
Não deixe de consultar os horários de monitoria no GMA.
Vamos definir agora um horário de atendimento para esta
turma.
Parte 1
Matemática Básica
1a VE
29/04/2015 (peso 2)
2a VE
29/06/2015 (peso 3)
VR
01/07/2015
VS
08/07/2015
Frequência mínima: 75%.
9
Parte 1
Matemática Básica
10
O significado das palavras
linguagem do cotidiano
=
linguagem matemática
Elementos de Lógica e Linguagem
Matemáticas
Parte 1
Matemática Básica
11
Parte 1
Matemática Básica
12
Exemplo
Folha 4
Exemplo
João disse que:
Se
A afirmação seguinte é verdadeira ou falsa?
eu viajar para a região Sul do Brasil,
então
eu visitarei o estado do
eu visitarei o estado de
eu visitarei o estado do
eu visitarei o estado da
Se x (x 2 − 2 x + 1) = 0, então x = 0 ou x = 1 ou x = 2.
Paraná
Santa Catarina
Rio Grande do Sul
Bahia.
ou
ou
ou
Quais são as regras do jogo? Veremos que pelas regras da linguagem matemática, esta
afirmativa é verdadeira!
A afirmativa de João é verdadeira ou falsa? Quais são as regras do jogo? Veremos que
pelas regras da linguagem matemática, a afirmativa de João é verdadeira!
Parte 1
Matemática Básica
13
Exemplo
Parte 1
Matemática Básica
14
Exemplo
O pai de João disse que:
Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo.
A afirmação seguinte é verdadeira ou falsa?
Admita que o pai de João esteja dizendo a verdade. Depois da divulgação do resultado
do vestibular, João foi visto com um carro novo. É então verdade que João foi aprovado
no vestibular?
Se n é ímpar ou m é ímpar, então m + n é ímpar.
Resposta: não! João poderia, por exemplo, não ter sido aprovado no vestibular e ter
ganhado o carro em um sorteio.
Quais são as regras do jogo? Veremos que pelas regras da linguagem matemática, esta
afirmativa é falsa!
Equívoco: na linguagem do cotidiano, é comum assumir que se a sentença
Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo.
é verdadeira, então também é verdadeira a sentença
Se João tem um carro novo, então João foi aprovado no vestibular.
Parte 1
Matemática Básica
15
Parte 1
Matemática Básica
16
Folha 5
Se A, então B: hipótese e tese
Na sentença
Se A, então B.
A é denominada hipótese e B é denominada tese.
Se A, então B: hipótese e tese
Exemplo:
Se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par.
Hipótese: m e n são inteiros pares.
Tese: o produto m · n é um inteiro par.
Parte 1
Matemática Básica
17
Se A, então B: hipótese e tese
Parte 1
Matemática Básica
18
Se A, então B: hipótese e tese
Na sentença
Na sentença
Se A, então B.
Se A, então B.
A é denominada hipótese e B é denominada tese.
A é denominada hipótese e B é denominada tese.
Exemplo:
Exemplo:
Se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 · k 2 + 1.
Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9.
Hipótese: m é um inteiro múltiplo de 3.
Tese: m é um inteiro múltiplo de 9.
Parte 1
Hipótese: m é um inteiro ímpar.
Tese: existe um inteiro k tal que m = 2 · k 2 + 1.
Matemática Básica
19
Parte 1
Matemática Básica
20
Folha 6
Se A, então B: hipótese e tese
Na sentença
Se A, então B.
Se A, então B: exemplo e
contraexemplo
A é denominada hipótese e B é denominada tese.
Exemplo:
Se n é um inteiro positivo, então n2 + n + 41 é um número primo.
Hipótese: n é um inteiro positivo.
Tese: n2 + n + 41 é um número primo.
Parte 1
Matemática Básica
21
Se A, então B: exemplo e contraexemplo
Um
exemplo
matemático que
para uma sentença “Se A, então B.”
satisfaz a hipótese A e
satisfaz
Parte 1
Matemática Básica
Se A, então B: exemplo e contraexemplo
Um
exemplo
matemático que
é um objeto
a tese B.
para uma sentença “Se A, então B.”
satisfaz a hipótese A e
satisfaz
é um objeto
a tese B.
Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto
matemático que
satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B.
Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto
matemático que
satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B.
Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9.
Se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 · k 2 + 1.
Exemplo: m = 18.
Exemplo: m = 1.
Satisfaz a hipótese: m = 18 é múltiplo de 3.
Satisfaz a hipótese: m = 1 é um inteiro ímpar.
Satisfaz a tese: m = 18 é múltiplo de 9.
Satisfaz a tese: se k = 0, então 2 · k 2 + 1 = 2 · (0)2 + 1 = 1 = m.
Contraexemplo: m = 6.
Contraexemplo: m = −3.
Satisfaz a hipótese: m = 6 é múltiplo de 3.
Satisfaz a hipótese: m = −3 é um inteiro ímpar.
Não satisfaz a tese: m = 6 não é múltiplo de 9.
Não satisfaz a tese: não existe inteiro k tal que 2 · k 2 + 1 = m, pois 2 · k 2 + 1 > 0
para todo inteiro k e m = −3 < 0.
Parte 1
22
Matemática Básica
23
Parte 1
Matemática Básica
24
Se A, então B: exemplo e contraexemplo
Um
exemplo
matemático que
para uma sentença “Se A, então B.”
satisfaz a hipótese A e
satisfaz
é um objeto
a tese B.
Um
exemplo
matemático que
para uma sentença “Se A, então B.”
satisfaz a hipótese A e
satisfaz
é um objeto
a tese B.
Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto
matemático que
satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B.
Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto
matemático que
satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B.
Se n é um inteiro positivo, então n2 + n + 41 é um número primo.
Se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par.
Exemplo: m = 2 e n = 2.
Exemplo: n = 1.
Folha 7
Se A, então B: exemplo e contraexemplo
Satisfaz a hipótese: n = 1 é um inteiro positivo.
Satisfaz a tese:
n2
+ n + 41 =
(1)2
+ 1 + 41 = 43 é um número primo.
Contraexemplo: n = 40.
Satisfaz a hipótese: n = 40 é um inteiro positivo.
Não satisfaz a tese: n2 + n + 41 = (40)2 + 40 + 41 = 1681 = 412 = 41 · 41 não é
um número primo.
Parte 1
Matemática Básica
Satisfaz a hipótese: m = 2 e n = 2 são inteiros pares.
Satisfaz a tese: m · n = (2) · (2) = 4 é um inteiro par.
Contraexemplo: não existe, pois todo objeto que satisfaz a hipótese, obrigatoriamente
também irá satisfazer a tese. De fato: se m e n satisfazem a hipótese, então m e n são
inteiros pares. Mas o produto de inteiros pares é inteiro par. Logo, m · n é inteiro par e
satisfaz a tese.
25
Parte 1
Matemática Básica
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Se A, então B: verdadeira ou falsa?
Regras do Jogo
Com relação a uma sentença da forma “Se A, então B.”:
Se A, então B: verdadeira ou falsa?
(1) Ela possui um e somente um dos atributos: verdadeira e falsa.
(2) Ela é verdadeira se não possui contraexemplos.
(3) Ela é falsa se possui pelo menos um contraexemplo.
Parte 1
Matemática Básica
27
Parte 1
Matemática Básica
28
Se A, então B: verdadeira ou falsa?
Folha 8
Se A, então B: verdadeira ou falsa?
Se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2·k 2 +1.
Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9.
Contraexemplo: m = −3.
Contraexemplo: m = 6.
Satisfaz a hipótese: m = 6 é múltiplo de 3.
Não satisfaz a tese: m = 6 não é múltiplo de 9.
Satisfaz a hipótese: m = −3 é um inteiro ímpar.
Não satisfaz a tese: não existe inteiro k tal que
2 · k 2 + 1 = m, pois 2 · k 2 + 1 > 0 para todo inteiro k e
m = −3 < 0.
Logo a sentença (proposição) é falsa!
Logo a sentença (proposição) é falsa!
Parte 1
Matemática Básica
29
Se A, então B: verdadeira ou falsa?
Parte 1
Matemática Básica
30
Se A, então B: verdadeira ou falsa?
Se n é um inteiro positivo, então n2 + n + 41 é um número primo.
Se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par.
Contraexemplo: n = 40.
Satisfaz a hipótese: n = 40 é um inteiro positivo.
Não satisfaz a tese:
n2 + n + 41 = (40)2 + 40 + 41 = 1681 = 412 = 41 · 41 não
é um número primo.
Contraexemplo: não existe, pois todo objeto que satisfaz a hipótese, obrigatoriamente também irá satisfazer a tese. De fato:
se m e n satisfazem a hipótese, então m e n são inteiros pares. Mas o produto de inteiros pares é inteiro par. Logo, m · n é
inteiro par e satisfaz a tese.
Logo a sentença (proposição) é verdadeira!
Logo a sentença (proposição) é falsa!
Parte 1
Matemática Básica
31
Parte 1
Matemática Básica
32
Folha 9
A recíproca de “Se A, então B.”
A recíproca de uma sentença na forma
Se A, então B.
é a sentença
A recíproca de “Se A, então B.”
Se B, então A.
Sentença: se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9.
Sentença: (a sentença é falsa)
Recíproca: se m é um inteiro múltiplo de 9, então m é um inteiro múltiplo de 3.
Recíproca: (a recíproca é verdadeira: prove!)
Parte 1
Matemática Básica
33
A recíproca de “Se A, então B.”
Parte 1
Matemática Básica
A recíproca de “Se A, então B.”
A recíproca de uma sentença na forma
A recíproca de uma sentença na forma
Se A, então B.
Se A, então B.
é a sentença
é a sentença
Se B, então A.
Se B, então A.
Sentença: se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 · k 2 + 1.
Sentença: (a sentença é falsa)
Sentença: se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par.
Sentença: (a sentença é verdadeira)
Recíproca: se existe um inteiro k tal que m = 2 · k 2 + 1, então m é um inteiro ímpar.
Recíproca: (a recíproca é verdadeira: prove!)
Recíproca: se o produto m · n é um inteiro par, então m e n são inteiros pares.
Recíproca: (a recíproca é falsa: prove!)
Parte 1
34
Matemática Básica
35
Parte 1
Matemática Básica
36
Folha 10
Matemática Básica
Humberto José Bortolossi
Se A, então B: notações
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Parte 2
Parte 2
Matemática Básica
1
Parte 2
Matemática Básica
2
Se A, então B: notações
Notação
Exemplo
Se A, então B.
Se 0 < a < b, então a2 < b2 .
A ⇒ B.
0 < a < b ⇒ a2 < b 2 .
A implica B.
0 < a < b implica a2 < b2 .
A é condição suficiente para B.
0 < a < b é condição suficiente para a2 < b2 .
B é condição necessária para A.
a2 < b2 é condição necessária para 0 < a < b.
Parte 2
Matemática Básica
Demonstrações: direta e por absurdo
3
Parte 2
Matemática Básica
4
Demonstração direta
Demonstração direta: exercício resolvido
Folha 11
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro par, então m2 é um inteiro par.
Demonstração direta
Demonstração: se m é um inteiro par, então m é divisível por 2, isto é,
m = 2 · k para algum inteiro k . Então,
Mostra-se que todas as situações que satisfazem a hipótese A também
satisfazem a tese B. Feito isto, segue-se que a sentença “se A, então B” é
verdadeira, pois ela não possui contraexemplos.
m2 = (2 · k )2 = 4 · k 2 = 2 · (2 · k 2 ).
Segue-se que m2 é divisível por 2. Logo, m2 é um número par.
Parte 2
Matemática Básica
5
Demonstração por absurdo
Parte 2
Matemática Básica
6
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m é um inteiro e m2 é par, então m é par.
Demonstração por absurdo
Demonstração: suponha, por absurdo, que a sentença seja falsa. Então
ela possui um contraexemplo! Portanto, existe um m que satisfaz
a hipótese, mas não satisfaz a tese, isto é, existe um m tal que m inteiro
e m2 é par, mas m é ímpar. Mas, se m é ímpar, existe inteiro k tal que
Nesta técnica, para demonstrar que a sentença “se A, então B” é verdadeira,
supomos inicialmente que ela seja falsa. A seguir, a partir desse pressuposto,
usando argumentos válidos, deve-se chegar a dois fatos contraditórios (por
exemplo, que um número inteiro é par e ímpar ao mesmo tempo ou que
uma sentença é verdadeira ou falsa ao mesmo tempo). Feito isto, como
em uma teoria consistente não podem existir contradições, concluímos que
nosso pressuposto da sentença “se A, então B” ser falsa está errado e, assim,
a sentença “se A, então B” deve ser verdadeira.
m = 2 · k + 1.
Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k 2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k 2 + 2 · k ) + 1.
Segue-se que m2 é ímpar. Um número inteiro não pode ser par e ímpar
ao mesmo tempo. Temos então uma contradição. Assim, a premissa de
que a sentença inicial é falsa está errada, o que nos leva a concluir que a
sentença inicial é verdadeira!
Parte 2
Matemática Básica
7
Parte 2
Matemática Básica
8
Folha 12
A se, e somente se, B
Regras do Jogo
Dizemos que uma sentença
A se, e somente se, B
A se, e somente se, B
é verdadeira quando as sentenças
“se A, então B”
e
“se B, então A”
são simultaneamente verdadeiras.
Parte 2
Matemática Básica
9
A se, e somente se, B: verdadeira ou falsa?
Parte 2
Matemática Básica
10
A se, e somente se, B: verdadeira ou falsa?
m e n são inteiros pares se, e somente se, o produto m · n é um inteiro par.
m é um inteiro e m2 é par se, e somente se, m é um inteiro par.
A sentença é verdadeira, pois as duas sentenças
A sentença é falsa, pois a sentença
se o produto m · n é um inteiro par, então m e n são inteiros pares
se m é um inteiro e m2 é par, então m é um inteiro par
é falsa (justificativas já foram apresentadas anteriormente).
e
m é um inteiro par, então m é um inteiro e m2 é par
são simultaneamente verdadeiras (justificativas já foram apresentadas
anteriormente).
Parte 2
Matemática Básica
11
Parte 2
Matemática Básica
12
A se, e somente se, B: verdadeira ou falsa?
Folha 13
A se, e somente se, B: notações
Notação
m é um inteiro múltiplo de 3 se, e somente se, m é um inteiro múltiplo de 9.
Exemplo
A se, e somente se, B.
A sentença é falsa, pois a sentença
se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9
m é um inteiro e
m2
é par se, e somente se, m é par.
A ⇔ B.
m é um inteiro e m2 é par ⇔ m é par.
A se, e só se, B.
m é um inteiro e m2 é par se, e só se, m é par.
é falsa (justificativas já foram apresentadas anteriormente).
Outra notação:
A é condição necessária e suficiente para B.
Exemplo:
m ser um número inteiro e m2 ser um número par é condição necessária e suficiente
para que m seja par.
Parte 2
Matemática Básica
13
Parte 2
Matemática Básica
14
Observação 1
O pai de João disse que:
Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo.
Quatro observações
Admita que o pai de João esteja dizendo a verdade. João não foi aprovado no vestibular.
Podemos então garantir que João não vai ganhar um carro novo de seu pai?
Resposta: não! O pai de João disse que se João passar no vestibular, então João vai
ganhar um carro novo. O pai de João não fez nenhuma promessa (nada afirmou) caso
João não fosse aprovado no vestibular. João pode ganhar ou não um carro novo de seu
pai. Nada podemos afirmar.
Parte 2
Matemática Básica
15
Parte 2
Matemática Básica
16
Observação 2
A sentença abaixo é verdadeira ou falsa?
A sentença abaixo é verdadeira ou falsa?
Se x ∈ R e x 2 < 0, então x = 1/7.
Se x ∈ R e x 2 − 5 · x + 6 = 0, então x = 2 ou x = 3 ou x = 5.
Resposta: a sentença é verdadeira, pois ela não possui contraexemplos uma vez que
não existe nenhum x que satisfaça a hipótese. Neste caso, dizemos que a sentença é
verdadeira por vacuidade.
Parte 2
Folha 14
Observação 3
Matemática Básica
17
Resposta: a sentença é verdadeira, pois todas as situações que satisfazem a hipótese
(no caso, os números x = 2 e x = 3) também satisfazem a tese.
Parte 2
Matemática Básica
18
Observação 4
Proposição é sinônimo de sentença.
Um teorema
é uma proposição que merece destaque e tem importância
central no desenvolvimento de uma determinada teoria.
Um
lema
é uma proposição auxiliar usada na demonstração de uma
outra proposição.
Um corolário
tra proposição.
Parte 2
Uma demonstração por absurdo famosa
é uma proposição que é consequência imediata de uma ou-
Matemática Básica
19
Parte 2
Matemática Básica
20
Folha 15
Demonstração por absurdo: exercício resolvido
Se x ∈ R, x > 0 e x 2 = 2, então x não é um número racional
Demonstração: Suponha, por absurdo, que exista x ∈ R tal que x > 0,
x 2 = 2 e x = m/n, com m, n ∈ N. Sem perda de generalidade, podemos
supor que x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Se
x = m/n e x 2 = 2, então (m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2 .
Então, m2 é um número par. Por um exercício resolvido anteriormente,
concluímos que m deve ser par: m = 2 · k para algum inteiro k . Desta
maneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k )2 = 4 · k 2 . Daí, segue-se que n2 = 2 · k 2 .
Logo, n2 é par. Por um exercício resolvido anteriormente, concluímos que
n é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator em
comum (2), uma contradição.
Parte 2
Matemática Básica
Seção de Exercícios
21
Parte 2
Matemática Básica
22
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x ·x =x ⇒ x =1
(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é falsa, pois x = 0 é um contraexemplo! De fato: x = 0 satisfaz
a hipótese (pois 02 = 0), mas x não satisfaz a tese (pois 0 = 1).
Implicações e Teoria dos Conjuntos
H
=
{x | x satisfaz a hipótese}
=
{0, 1}
T
=
{x | x satisfaz a
=
{1}
tese }
Note que H ⊂ T !
Parte 2
Matemática Básica
23
Parte 2
Matemática Básica
24
Exemplo
Folha 16
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x =1 ⇒ x ·x =x
x2 = 4 ⇒ x = 2
(aqui x representa um número real)
(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é verdadeira, pois não existem contraexemplos! De fato: todo x
que satisfaz a hipótese (no caso, apenas x = 1 satisfaz a hipótese), também satisfaz
a tese (pois 1 · 1 = 1).
Resposta: a sentença é falsa, pois x = −2 é um contraexemplo! De fato: x = −2
satisfaz a hipótese (pois (−2)2 = 4), mas x não satisfaz a tese (pois −2 = 2).
H
=
{x | x satisfaz a hipótese}
=
{1}
T
=
{x | x satisfaz a
=
{0, 1}
tese }
H
=
{x | x satisfaz a hipótese}
=
{−2, 2}
T
=
{x | x satisfaz a
=
{2}
tese }
Note que H ⊂ T !
Note que H ⊂ T !
Parte 2
Matemática Básica
25
Exemplo
Parte 2
Matemática Básica
26
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x = 2 ⇒ x2 = 4
1 > 1/x ⇒ x > 1
(aqui x representa um número real)
(aqui x representa um número real)
Resposta: a sentença é verdadeira, pois não existem contraexemplos! De fato: todo x
que satisfaz a hipótese (no caso, apenas x = 2 satisfaz a hipótese), também satisfaz
a tese (pois (2)2 = 4).
H
=
{x | x satisfaz a hipótese}
=
{2}
T
=
{x | x satisfaz a
=
{−2, 2}
tese }
Resposta: a sentença é falsa, pois x = −1 é um contraexemplo! De fato: x = −1
satisfaz a hipótese (pois 1 > −1 = 1/(−1)), mas x não satisfaz a tese (pois −1 < 1).
H
=
{x | x satisfaz a hipótese}
=
] − ∞, 0[ ∪ ]1, +∞[
T
=
{x | x satisfaz a
=
]1, +∞[
tese }
Note que H ⊂ T !
Note que H ⊂ T !
Parte 2
Matemática Básica
27
Parte 2
Matemática Básica
28
Exemplo
Folha 17
Moral
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
Verdadeira ou falsa?
x (x 2 − 2 x + 1) = 0 ⇒ x = 0 ou x = 1 ou x = 2
Se A, então B.
(aqui x representa um número real)
Sejam:
Resposta: a sentença é verdadeira, pois não existem contraexemplos! De fato: todo x
que satisfaz a hipótese (no caso, apenas x = 0 e x = 1 satisfazem a hipótese), também
satisfaz a tese.
H
=
{x | x satisfaz a hipótese}
=
{0, 1}
T
=
{x | x satisfaz a
=
{0, 1, 2}
tese }
H
=
{x | x satisfaz a hipótese A},
T
=
{x | x satisfaz a
tese
B}.
Relação entre Implicações e Teoria dos Conjuntos:
A sentença “se A, então B” é verdadeira se, e somente se, H ⊂ T .
Note que H ⊂ T !
Parte 2
Matemática Básica
29
Parte 2
Matemática Básica
30
Exemplo
Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!
x ∈ R e x 2 < 0 ⇒ x = 1/7
H
=
{x | x satisfaz a hipótese}
=
∅
T
=
{x | x satisfaz a
=
{1/7}
tese }
Conectivos Lógicos
Como o conjunto vazio está contido em qualquer outro conjunto, segue-se que H ⊂ T
e, portanto, a sentença é verdadeira!
Por que o conjunto vazio está contido em qualquer outro conjunto? Alguém sabe
demonstrar esse fato?
Parte 2
Matemática Básica
31
Parte 2
Matemática Básica
32
Conectivo “ou” (∨)
Regras do Jogo
Regras do Jogo
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
p
ou
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
q
p
(a disjunção entre p e q) se x satisfaz pelo menos um dos predicados
p e q. Notação para o conectivo “ou”: ∨.
x +1=2
A = {x | x satisfaz p}
Matemática Básica
B = {x | x satisfaz q},
e
então
{x | x satisfaz p ∨ q} = A ∪ B.
Resposta: x = 1 (satisfaz p), x = −2 (satisfaz q) e x = 2 (satisfaz q).
Parte 2
q
Relação com a Teoria dos Conjuntos: se
x2 = 4 .
ou
ou
(a disjunção entre p e q) se x satisfaz pelo menos um dos predicados
p e q. Notação para o conectivo “ou”: ∨.
Quais são todos os valores de x ∈ R que satisfazem o predicado
abaixo?
33
Conectivo “e” (∧)
Parte 2
Matemática Básica
34
Conectivo “e” (∧)
Regras do Jogo
Regras do Jogo
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
p
e
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
q
p
(a conjunção entre p e q) se x satisfaz simultaneamente os dois predicados p e q. Notação para o conectivo “e”: ∧.
x +1=2
e
q
Relação com a Teoria dos Conjuntos: se
A = {x | x satisfaz p}
x2 = 1 .
e
B = {x | x satisfaz q},
então
{x | x satisfaz p ∧ q} = A ∩ B.
Resposta: x = 1 (satisfaz p e q). Note que x = −1 satisfaz q mas não
satisfaz p.
Matemática Básica
e
(a conjunção entre p e q) se x satisfaz simultaneamente os dois predicados p e q. Notação para o conectivo “e”: ∧.
Quais são todos os valores de x ∈ R que satisfazem o predicado
abaixo?
Parte 2
Folha 18
Conectivo “ou” (∨)
35
Parte 2
Matemática Básica
36
Conectivos e o uso de parêntesis
Quais são todos os valores de x ∈ R que satisfazem o predicado abaixo?
Quais são todos os valores de x ∈ R que satisfazem o predicado abaixo?
(x > 0
ou
x < 2)
e
Folha 19
Conectivos e o uso de parêntesis
x >1.
(x = 0
ou
x = 1)
e
q
p
2
= 3.
r
Resposta: x > 1.
Resposta: não existe valores de x ∈ R tais que (x = 0 ou x = 1) e 2 = 3.
Quais são todos os valores de x ∈ R que satisfazem o predicado abaixo?
Quais são todos os valores de x ∈ R que satisfazem o predicado abaixo?
x
> 0
p
Parte 2
ou
(x
< 2
e
q
x
> 1).
= 0
x r
p
ou
(x = 1
e
q
2
= 3).
r
Resposta: x > 0.
Resposta: x = 0.
Moral: os parêntesis são importantes!
Moral: os parêntesis são importantes!
Matemática Básica
37
Parte 2
Matemática Básica
38
Folha 20
Matemática Básica
Humberto José Bortolossi
Negação
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Parte 3
Parte 3
Matemática Básica
1
Negação
Parte 3
Matemática Básica
2
Negação
Regras do Jogo
Regras do Jogo
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
∼p
∼p
(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.
Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.
(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.
Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.
Qual é a negação do predicado abaixo (assumindo que x representa
um número real)?
Relação com a Teoria dos Conjuntos: se
A = {x | x satisfaz p},
x < 1.
então
Resposta: x ≥ 1.
U − A.
{x | x satisfaz ∼ p} = AC = conjunto
universo
Parte 3
Matemática Básica
3
Parte 3
Matemática Básica
4
Negação
Folha 21
Negação
Regras do Jogo
Regras do Jogo
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
∼p
∼p
(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.
Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.
(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.
Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.
Fato: ∼ (p ∨ q) = (∼ p) ∧ (∼ q).
Fato: ∼ (p ∧ q) = (∼ p) ∨ (∼ q).
Exemplo: a negação de x < −δ ou x > δ é x ≥ −δ e x ≤ δ que
pode ser escrita da seguinte forma compacta: −δ ≤ x ≤ δ.
Exemplo: a negação de −δ < x < δ (isto é, −δ < x e x < δ) é
x ≤ −δ ou x ≥ δ.
Parte 3
Matemática Básica
5
Parte 3
Matemática Básica
6
Matemática Básica
8
Negação
Regras do Jogo
Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado
∼p
(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.
Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.
Contrapositiva
Fato: ∼ (∼ p) = p.
Parte 3
Matemática Básica
7
Parte 3
Contrapositiva
Folha 22
Teorema
A ⇒ B é verdadeira se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é verdadeira.
Regras do Jogo
Demonstração.
Dada uma sentença A ⇒ B, sua contrapositiva é a sentença
(⇒) Suponha, por absurdo, que A ⇒ B seja verdadeira, mas que ∼ B ⇒∼ A seja falsa.
Então, ∼ B ⇒∼ A possui pelo menos um contraexemplo, isto é, existe um objeto x que
satisfaz ∼ B, mas não satisfaz ∼ A. Logo, x satisfaz A, mas não satisfaz B. Portanto,
x é um contraexemplo para a sentença A ⇒ B. Logo, a sentença A ⇒ B é falsa, uma
contradição.
∼ B ⇒∼ A.
Exemplo: a contrapositiva da sentença (assumindo que m representa
um número natural)
(⇐) Basta usar (⇒), trocando “A ⇒ B” por “∼ B ⇒∼ A” e observando que ∼ (∼ A) = A
e ∼ (∼ B) = B.
se m2 é um número par, então m é um número par
é a sentença
Corolário:
se m é um número ímpar, então m2 é um número ímpar .
Parte 3
Matemática Básica
A ⇒ B é falsa se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é falsa.
9
Parte 3
Matemática Básica
10
Contrapositiva: exercício resolvido
Se m é um inteiro, mostre que a sentença abaixo é verdadeira!
Se m2 é par, então m é par.
Demonstração: basta demonstrar que a contrapositiva da sentença é verdadeira, isto é,
basta demonstrar que se m é ímpar, então m2 é ímpar. Para isso, faremos uma
demonstração direta. Seja m um número inteiro ímpar. Então existe k ∈ Z tal que
m = 2 k + 1. Portanto, m2 = (2 k + 1)2 = 4 k 2 + 4 k + 1 = 2 (2 k 2 + 2 k ) + 1 é um número
ímpar.
Parte 3
Matemática Básica
Quantificadores
11
Parte 3
Matemática Básica
12
Quantificador universal (∀)
Folha 23
Quantificador universal (∀)
Regras do Jogo
Regras do Jogo
Dizemos que a expressão quantificada
Dizemos que a expressão quantificada
∀x ∈ X , q
∀x ∈ X , q
(lê-se “para todo x pertencente a X , q”)
(lê-se “para todo x pertencente a X , q”)
é verdadeira se todo elemento x do conjunto X satisfaz o predicado q,
isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q é verdadeira. Note que “∀x ∈ X , q”
é falsa se existe pelo menos um x ∈ X que não satisfaz o predicado q.
é verdadeira se todo elemento x do conjunto X satisfaz o predicado q,
isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q é verdadeira. Note que “∀x ∈ X , q”
é falsa se existe pelo menos um x ∈ X que não satisfaz o predicado q.
Exemplo:
Exemplo:
∀x ∈ [1, ∞[,
x2
∀x ∈ R, x 2 ≥ −x
≥x
A sentença é verdadeira. Justificativa: se x ∈ [1, ∞[, então x ≥ 1 e
x > 0. Portanto, x · x ≥ 1 · x, isto é, x 2 ≥ x.
Parte 3
Matemática Básica
A sentença é falsa. Justificativa: existe x ∈ R tal que x 2 < −x. De
fato: se x = −1/2, então x ∈ R e x 2 = 1/4 < 1/2 = −x.
13
Quantificador universal (∀)
Parte 3
Matemática Básica
14
Quantificador existencial (∃)
Regras do Jogo
Regras do Jogo
Dizemos que a expressão quantificada
Dizemos que a expressão quantificada
∀x ∈ X , q
∃x ∈ X | q
(lê-se “para todo x pertencente a X , q”)
(lê-se “existe x pertencente a X tal que q”)
é verdadeira se todo elemento x do conjunto X satisfaz o predicado q,
isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q é verdadeira. Note que “∀x ∈ X , q”
é falsa se existe pelo menos um x ∈ X que não satisfaz o predicado q.
é verdadeira se existe pelo menos um elemento x do conjunto X que
satisfaz o predicado q, isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q possui pelo
menos um exemplo. Note que “∃x ∈ X | q” é falsa se todo elemento
x ∈ X não satisfaz o predicado q.
Exemplo:
∀a, b ∈ R, (a + b)2 = a2 + 2 ab + b2
Exemplo:
∃x ∈ R | x 2 − x − 1 = 0
A sentença é verdadeira. Justificativa: se a, b ∈ R, então (a + b)2 =
(a + b)(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2 ab + b2 .
Parte 3
Matemática Básica
√
A sentença é verdadeira. Justificativa: se x = (1 + 5)/2, então x ∈ R
e x 2 − x − 1 = 0.
15
Parte 3
Matemática Básica
16
Quantificador existencial (∃)
Folha 24
Quantificador existencial (∃)
Regras do Jogo
Regras do Jogo
Dizemos que a expressão quantificada
Dizemos que a expressão quantificada
∃x ∈ X | q
∃x ∈ X | q
(lê-se “existe x pertencente a X tal que q”)
(lê-se “existe x pertencente a X tal que q”)
é verdadeira se existe pelo menos um elemento x do conjunto X que
satisfaz o predicado q, isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q possui pelo
menos um exemplo. Note que “∃x ∈ X | q” é falsa se todo elemento
x ∈ X não satisfaz o predicado q.
é verdadeira se existe pelo menos um elemento x do conjunto X que
satisfaz o predicado q, isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q possui pelo
menos um exemplo. Note que “∃x ∈ X | q” é falsa se todo elemento
x ∈ X não satisfaz o predicado q.
Exemplo:
Exemplo:
∃x ∈ R |
x2
∃a, b, c ∈ N | a2 = b2 + c 2
−x +1=0
A sentença é falsa. Justificativa: para todo x ∈ R, x 2 − x + 1 =
(x − 1/2)2 + 3/4 > 0.
Parte 3
Matemática Básica
A sentença é verdadeira. Justificativa: se a = 5, b = 3 e c = 4, então
a2 = 25 = 9 + 16 = b2 + c 2 .
17
Quantificador existencial (∃)
Parte 3
Matemática Básica
18
Quantificador existencial de unicidade (∃!)
Regras do Jogo
Dizemos que a expressão quantificada
Regras do Jogo
∃x ∈ X | q
Dizemos que a expressão quantificada
(lê-se “existe x pertencente a X tal que q”)
∃!x ∈ X | q
é verdadeira se existe pelo menos um elemento x do conjunto X que
satisfaz o predicado q, isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q possui pelo
menos um exemplo. Note que “∃x ∈ X | q” é falsa se todo elemento
x ∈ X não satisfaz o predicado q.
(lê-se “existe um único x pertencente a X tal que q”)
é verdadeira se existe um único elemento x do conjunto X que
satisfaz o predicado q, isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q possui um
único exemplo. Note que “∃!x ∈ X | q” é falsa se existe mais de um
elemento x ∈ X que satisfaz o predicado q ou se todo elemento x ∈ X
não satisfaz o predicado q.
Exemplo:
∃n, a, b, c ∈ N | n > 2 e an = bn + c n
A sentença é falsa. Justificativa: difícil (ler a respeito do Último
Teorema de Fermat).
Parte 3
Matemática Básica
19
Parte 3
Matemática Básica
20
Quantificador existencial de unicidade (∃!)
Quantificador existencial de unicidade (∃!)
Exemplo:
Folha 25
Exemplo:
∃!x ∈ R | 2 x − 4 = 0
∃!x ∈]0, ∞[ | x 2 = 4
A sentença é verdadeira. Justificativa:
A sentença é verdadeira. Justificativa:
(Existência) Se x = 2, então x ∈ R e 2 x − 4 = 2 (2) − 4 = 4 − 4 = 0.
(Existência) Se x = 2, então x ∈]0, +∞[ e x 2 = (2)2 = 4.
(Unicidade) Sejam x1 , x2 ∈ R tais que 2 x1 − 4 = 0 e 2 x2 − 4 = 0. Logo
2 x1 − 4 = 2 x2 − 4. Portanto, 2 x1 = 2 x2 . Assim, x1 = x2 .
(Unicidade) Sejam x1 , x2 ∈]0, +∞[ tais que x12 = 4 e x22 = 4. Logo
x12 = x22 e x1 + x2 = 0. Portanto, x12 − x22 = 0 e x1 + x2 = 0. Assim,
(x1 − x2 )(x1 + x2 ) = 0 e x1 + x2 = 0. Desta maneira, x1 − x2 = 0, isto
é, x1 = x2 .
Parte 3
Matemática Básica
21
Quantificador existencial de unicidade (∃!)
Parte 3
Matemática Básica
22
Quantificador existencial de unicidade (∃!)
Exemplo:
Exemplo:
∃!x ∈ R |
x2
∃!x ∈]0, ∞[ | x 2 = 2
=4
A sentença é falsa. Justificativa: se x1 = −2 e x2 = 2, então x1 ∈ R,
x2 ∈ R, x12 = 4, x22 = 4 e x1 = x2 .
A sentença é verdadeira. Justificativa:
(Existência) Difícil: para justificar a existência é necessário estudar
primeiro o conceito de continuidade de funções reais.
(Unicidade) Sejam x1 , x2 ∈]0, +∞[ tais que x12 = 2 e x22 = 2. Logo
x12 = x22 e x1 + x2 = 0. Portanto, x12 − x22 = 0 e x1 + x2 = 0. Assim,
(x1 − x2 )(x1 + x2 ) = 0 e x1 + x2 = 0. Desta maneira, x1 − x2 = 0, isto
é, x1 = x2 .
Parte 3
Matemática Básica
23
Parte 3
Matemática Básica
24
Cuidado: ordem dos quantificadores
Folha 26
Negação dos quantificadores
Negação dos Quantificadores
∼ (∀x ∈ X , p) = (∃x ∈ X | ∼ p)
∼ (∃x ∈ X | p) = (x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p)
∀a ∈ R, ∃b ∈ R | b > a
∼ (∃!x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p) ∨ (∃x ∈ X | (p ∧ (∃y ∈ X | p ∧ (x = y))))
(Verdadeira)
∃b ∈ R | ∀a ∈ R, b > a
Exemplos:
(Falsa)
∼ (∀x ∈ R, x 2 ≥ −x) = ∃x ∈ R | x 2 < −x
Moral: cuidado com a ordem dos quantificadores!
∼ (∃x ∈ R | x 2 − x + 1 = 0) = ∀x ∈ R, x 2 − x + 1 = 0
∼ (∃b ∈ R | ∀a ∈ R, b > a) = ∀b ∈ R, ∃a ∈ R | b ≤ a
Parte 3
Matemática Básica
25
Negação de uma implicação
Negação de Uma Implicação
∼ (p ⇒ q) = ∃x | (p ∧ ∼ q)
Exemplos:
∼ (x ∈ R ⇒ x 2 ≥ −x) = ∃x | (x ∈ R ∧ x 2 < −x)
∼ (1/x < 1 ⇒ x > 1) = ∃x | (1/x < 1 ∧ x ≤ 1)
∼ (4 ≤ x 2 ≤ 9 ⇒ 2 ≤ x ≤ 3) = ∃x | [4 ≤ x 2 ≤ 9 ∧ (x < 2 ∨ x > 3)]
Parte 3
Matemática Básica
27
Parte 3
Matemática Básica
26
Folha 27
Matemática Básica
Humberto José Bortolossi
Argumentos
Departamento de Matemática Aplicada
(Autora: Anne Michelle Dysman Gomes)
Universidade Federal Fluminense
Parte 4
Parte 4
Matemática Básica
1
Argumentos
Parte 4
Matemática Básica
2
Argumentos
Decida se o argumento é ou não válido.
Argumento é uma sequência de proposições que começa com
premissas e termina com conclusões obtidas por implicações lógicas
decorrentes das premissas.
Premissas:
1) se a = b, então a + 1 = b + 1;
2) a = b.
Quando todas as implicações lógicas que levam a conclusão são
corretas, dizemos que o argumento é válido. Caso contrário, dizemos
que não é válido.
Conclusão:
a + 2 = b + 2.
Exemplos
Argumento:
Argumento válido
Premissas: se x = 0, então x 2 = x; x = 0;
Conclusão: x 2 = x.
por (2), a = b. Logo, por (1), a + 1 = b + 1. Usando (1) novamente,
obtemos que (a + 1) + 1 = (b + 1) + 1, isto é, a + 2 = b + 2.
Argumento não válido
Premissas: se x = 0, então x 2 = x; x 2 = x;
Conclusão: x = 0.
Parte 4
Matemática Básica
3
Parte 4
Matemática Básica
4
Argumentos
Folha 28
Argumentos
Decida se o argumento é ou não válido.
Forme um argumento válido acrescentando como conclusão tudo
o que você puder concluir sobre o conjunto A a partir das premissas
dadas.
Premissas:
1) se m > 0, então p > 0;
Premissas:
2) se p > 0, então j > 0;
3) p > 0.
1) A ⊂ N;
Conclusão:
3) 11 ∈ A se e somente se {12, 13, 14, . . . , 18, 19} ∩ A = ∅;
j > 0 e m > 0.
4) existe x ∈ A tal que 11 ≤ x ≤ 20;
2) para quaisquer x e y pertencentes a A, x − y é múltiplo de 10;
5) para todo x ∈ A temos que 0 < x < 40;
Argumento:
6) se 25 ∈
/ A, então A possui exatamente 3 elementos.
por (3), p > 0. Logo, por (2), j > 0. Como p > 0, por (1), m > 0.
Assim j > 0 e m > 0.
Parte 4
Matemática Básica
5
Parte 4
Matemática Básica
6