Produtos Cruzados - MTM

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Universidade Federal de Santa Catarina
Curso de Pós-Graduação em Matemática e
Computação Cientı́fica
Produtos Cruzados
Daniel Gonçalves
Orientador: Prof. Dr. Ruy Exel Filho
Florianópolis
Fevereiro de 2001
Universidade Federal de Santa Catarina
Curso de Pós-Graduação em Matemática e
Computação Cientı́fica
Produtos Cruzados
Dissertação apresentada ao Curso de PósGraduação em Matemática e Computação
Cientı́fica do Centro de Ciências Fı́sicas e
Matemáticas da Universidade Federal de
Santa Catarina, para a obtenção do grau
de Mestre em Matemática, com Área de
Concentração em Análise.
Daniel Gonçalves
Florianópolis
Fevereiro de 2001
Produtos Cruzados
por
Daniel Gonçalves
Esta dissertação foi julgada para a obtenção do Tı́tulo de “Mestre”,
Área de Concentração em Análise, e aprovada em sua forma
final pelo Curso de Pós-Graduação em Matemática e
Computação Cientı́fica.
Celso Melchı́ades Dória
Coordenador
Comissão Examinadora
Prof. Dr. Ruy Exel Filho (UFSC-Orientador)
Prof. Dr. Bert Schröer (Berlim e CBPF)
Prof. Dr. Artur Lopes (UFRGS)
Prof. Dr. Michael Dokuchaev (USP)
Florianópolis, 20 de fevereiro de 2001.
ii
À minha mãe
À MI
iii
Agradecimentos
Em primeiro lugar, gostaria de agradecer a minha famı́lia por todo o
suporte, apoio e alegria dados a mim durante toda a minha vida. Em especial, dedico
este trabalho a minha mãe, que sempre me ajudou a escolher os caminhos certos nas
trilhas da vida.
A minha esposa, Maria Inez, por todo seu amor e carinho, sem o qual
minha vida não seria completa.
Ao meu orientador, Ruy Exel, um professor e pesquisador exemplar,
algo difı́cil de se encontrar nos dias de hoje. Gostaria de agradecê-lo por sua enorme
paciência em resolver todas as minhas dúvidas, da mais simples a mais difı́cil. Para
mim, mais do que um orientador, um amigo.
Ao professor Igor Mozolevski, pelas suas aulas de análise funcional,
que despertaram em mim o gosto por esta matéria tão interessante. Às professoras
Jane de O. Crippa e Albertina Zatelli, pela orientação durante a graduação, através
dos programas de iniciação cientı́fica. De novo à professora Albertina Zatelli, pela
compreensão e ajuda na hora de escolher o meu orientador de mestrado. Ao professor
Rubens Starke, por ter acreditado e confiado em mim. A professora Joana Quandt,
por ter me ensinado Álgebra Linear do modo que eu precisava. Ao professor Celso M.
Doria, que sempre desejou o melhor para mim. Ao professor Mário César Zambaldi,
que escreveu certo por linhas tortas, gostaria de dizer que não guardo nenhuma mágoa
pelo passado. Agradeço também a todos os demais professores que contribuı́ram com
a minha formação e não foram citados. Finalmente, a Elisa, secretária da PG, que
sempre me atendeu com muita boa vontade.
A Capes, pelo financiamento de meus estudos.
iv
Resumo
Dado (A, G, α) um C* sistema dinâmico, estudaremos o produto cruzado da C*-algebra A pelo grupo discreto G pela ação α de G em A. Como dada uma
ação parcial de G em um espaço de Hausdorff localmente compacto X, existe uma
ação parcial de G na C*-algebra C0 (X) associada, e a reciproca também vale, vamos
provar que se uma ação parcial é topologicamente livre e minimal em X, então o produto cruzado reduzido associado é simples, [1]. É claro que antes disto precisamos
introduzir as noções de produto cruzado por ações parciais e produto cruzado reduzido. Por último, aplicaremos este resultado para alguns exemplos.
Abstract
Given (A, G, α) a C* dynamical system, we will study the cross product
of the C*-algebra A by the discrete group G under the action α of G into A. Since
given a partial action of G on a locally compact Hausdorff space X, there exists an
partial action of G into the C*-algebra C0 (X) associated, and the converse also holds,
we will proof that if a partial action is topologically free and minimal on X, then the
associated reduced crossed product is simple, [1]. Of course, before we do this, we
need to introduce the notions of cross product by partial actions and reduced crossed
product. Finally, we will apply this theorem for some examples.
vi
Sumário
Introdução
1
1 Preliminares
1.1 Teoria Elementar de C*-algebras
1.2 Um Pouco Sobre Grupos . . . . .
1.3 Teoria de Representação . . . . .
1.4 Fatos Topológicos . . . . . . . . .
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2 Construção do Produto Cruzado
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4
4
12
13
17
21
3 Representações do Produto Cruzado e Exemplos
33
3.1 Exemplos de Produto Cruzado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4 O Produto Cruzado por Ações Parciais de um Grupo Discreto G e
Exemplos
46
4.1 Exemplos de Produtos Cruzados por Ações Parciais . . . . . . . . . . 60
5 Propriedades de C0 (X) oα G, onde α é proveniente de uma ação
parcial em X
66
6 Aplicações dos Resultados do Capı́tulo Anterior para alguns casos
particulares
77
Conclusões
81
Apêndice - A Construção de E na forma integral
82
Referências Bibliográfica
85
vii
Introdução
Dado G um grupo e X um espaço de Hausdorff localmente compacto,
um sistema dinâmico com espaço de representação X, denotado por (X, G, β) , é um
homomorfismo de grupo β : G → Homeo(X).
Se A é uma C* álgebra e G um grupo discreto, então um C* sistema
dinâmico, denotado por (A, G, α), é um homomorfismo de grupo α : G → Aut(A).
É muito interessante notarmos que dado um sistema dinâmico (X, G, β),
existe um C* sistema dinâmico (C0 (X), G, α) associado, e reciprocamente, dado
(C0 (X), G, α) existe (X, G, β) tal que (C0 (X), G, α) é proveniente de (X, G, β).
Portanto, quando queremos resolver problemas ligados a um sistema
dinâmico (X, G, β), um caminho possı́vel é encontrarmos o C* sistema dinâmico
associado, resolvermos os problemas neste ambiente, e então voltarmos ao sistema
dinâmico original.
Também é comum, quando temos um C* sistema dinâmico bem conhecido, tentarmos encontrar um sistema dinâmico (X, G, β) tal que este C* sistema
dinâmico seja proveniente do sistema dinâmico.
Em particular, dado (A, G, α) um C* sistema dinâmico, estamos interessados em fazer com que todos os automorfismos αt de A dados sejam internos, ou
seja, queremos que existam elementos ut unitários tal que αt (a) = ut au−1
para todo
t
a ∈ A. Para isto construı́mos o produto cruzado de A por G pela ação α, que é uma
C*-algebra que contém A e tal que todo automorfismo αt tem uma extensão que é
um automorfismo interno.
Neste contexto, surge a definição de uma ação parcial. Esta definição
é uma generalização tanto da definição de um sistema dinâmico como de um C*
sistema dinâmico.
Uma Ação Parcial de um Grupo G em um conjunto Ω é um par θ =
({∆t }t∈G , {ht }t∈G ), onde para cada t ∈ G, ∆t é um subconjunto de Ω e ht : ∆t−1 → ∆t
é uma bijeção satisfazendo para todo t,s pertencentes ao grupo G:
i) ∆e = Ω e he é a identidade em Ω
ii) ht (∆t−1 ∩ ∆s ) = ∆t ∩ ∆ts
iii) ht (hs (x)) = hts (x), x ∈ ∆s−1 ∩ ∆s−1 t−1
Se Ω é um espaço topológico, precisamos que:
cada ∆t seja um subconjunto aberto de Ω
1
ht seja um homeomorfismo de ∆t−1 em ∆t
Se θ = ({Dt }t∈G , {αt }t∈G ) é uma ação parcial de G em uma C*-algebra
A é necessário que:
Cada Dt seja um ideal bilateral fechado de A
αt seja um *-isomorfismo de Dt−1 em Dt
É interessante notarmos que a relação entre a teoria de sistema dinâmicos
e C*-algebras é preservada, uma vez que dada uma ação parcial de G em um espaço
de Hausdorff localmente compacto X, existe uma ação parcial de G na C*-algebra
C0 (X) associada, e reciprocamente, dada uma ação parcial α em C0 (X), existe uma
ação parcial h em X tal que α é proveniente de h.
Também é possı́vel generalizarmos a construção do produto cruzado
para uma ação parcial α em uma C*-algebra, porém para obtermos os resultados
que procuramos é necessário utilizarmos a noção de produto cruzado reduzido.
Dada uma ação parcial h em X, e α a ação em C0 (X) proveniente de
h, é interessante encontrarmos propriedades do produto cruzado reduzido de C0 (X)
pela ação α, a partir de propriedades da ação h.
É um resultado conhecido, [1], que se α é a ação proveniente de uma
ação parcial h em X, e h é topologicamente livre e minimal, ou seja, ∀t ∈ G \ {e}
o conjunto Ft := {x ∈ ∆t−1 : ht (x) = x} tem interior vazio (topologicamente livre)
e não existem subconjuntos abertos V de X tais que hs (V ∩ ∆s−1 ) ⊂ V ∀s ∈ G, a
não ser V = X e V = ∅ (minimal), então o produto cruzado reduzido associado é
simples, ou seja não possui ideais bilaterais fechados não triviais. Este é o resultado
principal da nossa dissertação de mestrado, que será apresentado ao fim do trabalho.
O trabalho está organizado da seguinte maneira:
No primeiro capı́tulo, faremos a apresentação de alguns resultados sobre C*-algebras, grupos, teoria de representação de C*-algebras e topologia, os quais
serão utilizados no decorrer do trabalho.
Durante o capı́tulo 2, vamos expor algumas das relações entre a teoria
de sistemas dinâmicos e a teoria de C*-algebras e conheceremos um pouco mais
certos C*-sistemas dinâmicos. Em particular, construiremos o produto cruzado de
uma C*-algebra A por um grupo discreto G pela ação de G em A.
Dedicaremos o capı́tulo 3 a tarefa de representarmos o produto cruzado
de A por G, em um espaço de operadores limitados B(H) e melhorarmos nosso
entendimento dos produtos cruzados, através de alguns exemplos.
No capı́tulo 4, introduziremos a definição de uma ação parcial, construiremos o produto cruzado de uma C*-algebra A por um grupo discreto G pela ação
parcial de G em A e representaremos este produto cruzado em um espaço de operadores limitados B(H). Por último daremos alguns exemplos de produtos cruzados
por ações parciais.
O capı́tulo 5 contém o teorema principal desta dissertação. Para
provarmos este resultado é necessário definirmos o produto cruzado reduzido. Com
2
este teorema, provamos que se uma ação parcial é topologicamente livre e minimal
então o produto cruzado reduzido associado é simples.
Finalmente, no capı́tulo 6 aplicaremos os resultados obtidos no capı́tulo
5 para alguns casos particulares.
Apresentaremos ainda, algumas conclusões finais.
3
Capı́tulo 1
Preliminares
Neste capı́tulo veremos alguns resultados necessários para o bom desenvolvimento do trabalho que segue. A maior parte das proposições será demonstrada,
porém em alguns casos apenas daremos a referência. Presume-se que o leitor tenha
um pouco de familiaridade com a teoria de C*-algebras.
1.1
Teoria Elementar de C*-algebras
Definição 1.1. Uma *-algebra é um espaço vetorial A sobre o corpo dos números
complexos, C, munido com uma multiplicação e uma aplicação ∗ : A → A, chamada
involução, que satisfazem:
a(bc) = (ab)c
(a + b)c = ac + bc
a(b + c) = ab + ac
λ(ab) = (λa)b = a(λb)
(a + b)∗ = a∗ + b∗
(λa)∗ = λa∗
(ab)∗ = a∗ b∗
∗
a∗ = a
onde a, b, c
∈ A e λ ∈ C.
Observação 1.2. Se A é um espaço de Banach com relação a uma norma, k · k, tal
que kabk ≤ kakkbk para todo a, b ∈ A, então A é uma *-algebra de Banach.
Definição 1.3. Dizemos que A é uma C*-algebra se A é uma *-algebra de Banach
tal que
ka∗ ak = kak2
para todo a ∈ A.
4
Observação 1.4. Se A possui um elemento unidade e, tal que
ae = ea = a
∀a ∈ A
kek = 1
então A é chamada C*-algebra com unidade.
Exemplo 1.5. Se X é um espaço de Hausdorff compacto então C(X), o espaço de
todas as funções contı́nuas em X, é uma C*algebra onde as operações estão definidas
pontualmente e a involução é dada por ∗ : f → f .
Definição 1.6. Seja A uma *-algebra. Uma representação de A em H, onde H
é um espaço de Hilbert, é um *-homomorfismo π : A → B(H). Aqui B(H) denota os
espaço dos operadores limitados em H.
Proposição 1.7. Se A é uma *-algebra de Banach então toda representação, π, de
A é contrativa, ou seja, kπ(a)k ≤ kak para todo a ∈ A.
Demonstração:
Primeiro note que se a é inversı́vel então π(a)π(a−1 ) = π(aa−1 ) =
π(1) = I e π(a) é inversı́vel. Logo se a − λe é inversı́vel então π(a) − λI é inversı́vel e
o conjunto resolvente de a esta contido no conjunto resolvente de π(a), o que implica
que o espectro de a contém o espectro de π(a). Denotando o raio espectral de um
elemento a ∈ A por ρ(a), segue que ρ(π(a)) ≤ ρ(a) ∀a ∈ A.
Ainda, por [14], página 37, teorema 2.1.1, sabemos que para todo elemento autoadjunto a de uma C*-algebra, ρ(a) = kak.
Então,
kπ(a)k2 = kπ(a)∗ π(a)k = ρ π(a)∗ π(a) = ρ π(a∗ a) ≤ ρ(a∗ a) ≤ ka∗ ak
≤ ka∗ kkak = kak2
Definição 1.8. Seja A uma *-algebra normada não necessariamente completa. Defina |kak| = sup{kπ(a)k : π é representação contrativa de A}. Seja N = {a ∈ A :
A
A
|kak| = 0}. Considere o espaço quociente N
. Para ã ∈ N
defina |kãk| = |kak|. A
A
C*-algebra envolvente de A é o completamento de N , |k · k| .
Proposição 1.9. A norma |k · k| em
de A é, de fato, uma C*-algebra.
A
N
esta bem definida e a C*-algebra envolvente
Demonstração:
A
Para mostrar que a norma |k · k| em N
esta bem definida, suponha que
ã = b̃. Então a − b ∈ N e portanto a = b + n, onde n ∈ N . Logo,
|kak| = |kb + nk| ≤ |kbk| + |knk| = |kbk|
e analogamente |kbk| ≤ |kak|. Assim |kbk| = |kak|.
5
Para demonstrarmos que a C*-algebra envolvente de A é uma C*∗ ak| = |kãk|2 e |kabk|
˜ ≤ |kãk||kb̃k|. Vejamos:
algebra, basta mostrar que |kaf
|kãk|2 = |kak|2 = sup2 {kπ(a)k : π é representação contrativa de A}
= sup{kπ(a)k2 : π é representação contrativa de A}
= sup{kπ(a)∗ π(a)k2 : π é representação contrativa de A}
= sup{kπ(a∗ a)k2 : π é representação contrativa de A}
∗ ak|
= |ka∗ ak| = |kaf
e
˜ = |kabk| = sup{kπ(ab)k : π é representação contrativa de A}
|kabk|
≤ sup{kπ(a)kkπ(b)k : π é representação contrativa de A}
≤ sup{kπ(a)k : π é rep. cont. de A} sup{kπ(b)k : π é rep. cont. de A}
= |kak||kbk| = |kãk||kb̃k|
Definição 1.10. Definimos a inclusão canônica de A na sua C*-algebra envolvente,
i : A → C ∗ (A)
C ∗ (A), como a aplicação
a 7→ ã
Proposição 1.11. Propriedade Universal. Seja A uma *-algebra normada. Se
denotarmos a C*-algebra envolvente de A por C ∗ (A) então, para toda C*-algebra B
e para todo *-homomorfismo contrativo ϕ : A → B, existe único *-homomorfismo
ϕ̃ : C ∗ (A) → B tal que o diagrama abaixo comuta:
A
ϕ
-B
..
*
.
.
.
..
....
.
.
.
..
i
.ϕ̃...
.
.
.
..
....
? .....
C ∗ (A)
Demonstração:
Como B é uma C*-algebra, por [12], página 338, existe um isomorfismo
isométrico de B em B(H), para algum espaço de Hilbert H. Vamos então considerar
B ⊆ B(H).
Assim, ϕ é uma representação contrativa de A. Utilizando as notações
da definição de C*-algebra envolvente, podemos definir uma representação contrativa
A
de N
por φ(ã) = ϕ(a).
Note que φ esta bem definida pois, se ã = b̃ então |ka − bk| = 0, o
que implica que kϕ(a − b)k = 0 pois ϕ é uma representação contrativa. Segue que
ϕ(a − b) = 0 ⇒ ϕ(a) = ϕ(b) e portanto φ(ã) = φ(b̃).
Ainda, φ é realmente contrativa, pois
kφ(ã)k = kϕ(a)k ≤ sup{kπ(a)k : π é representação contrativa de A} = |kak| = |kãk|
A
Agora, como N
é denso em C ∗ (A), segue do teorema 2.7.11, página
100 de [16], que φ pode ser estendido para um operador ϕ̃ em C ∗ (A). É claro que ϕ̃
é tal que o diagrama comuta.
6
Mais explicitamente, estamos na seguinte situação:
ϕ
A
-B
6
ϕ̃
?
A
N
- C ∗ (A)
Lema 1.12. Sejam B uma *-algebra de Banach, B̃ uma C*-algebra e k : B → B̃
um homomorfismo tal que Im(k) = B̃. Se para toda C*-algebra A e para todo
homomorfismo ϕ : B → A, existe único homomorfismo ϕ̃ : B̃ → A tal que o diagrama
abaixo comuta,
ϕ
B
-A
..
*
.
.
.
..
....
.
.
.
..
k
.ϕ̃...
.
.
.
....
? ......
.
B̃
então B̃ ∼
= C ∗ (B), a C*-algebra envolvente de B
Demonstração:
Pela proposição 1.11, existe k̃ : C ∗ (B) → B̃ tal que o diagrama abaixo
comuta:
i
B
k
? ......
.
...
k̃......
.
.
...
...
....
- C ∗ (B)
.
....
.
B̃
Por hipótese, existe k : B̃ → C ∗ (B) tal que o seguinte diagrama comuta:
i
B
k
? ......
.
....
..
....
k
.
.
.
....
....
- C ∗ (B)
..
...*
.
B̃
Vamos mostrar que k é a inversa de k̃ e portanto k̃ é um isomorfismo
entre C (B) e B̃.
∗
7
Seja b̃ pertencente a imagem de k. Então b̃ = k(b) para algum b ∈ B.
Logo,
k̃ ◦ k(b̃) = k̃ ◦ k k(b) = k̃ ◦ i(b) = k(b) = b̃
Assim, k̃ ◦ k = I na Im(k). Como Im(k) = B̃ temos que k̃ ◦ k = I em B̃.
Agora, seja bi pertencente a imagem da inclusão i de B em C ∗ (B), ou
seja, bi = i(b) para algum b ∈ B. Então,
k ◦ k̃(bi ) = k ◦ k̃ i(bi ) = k ◦ k(bi ) = i(bi ) = bi
Logo, k ◦ k̃ = I na Im(i) e como B é denso em C ∗ (B), temos que k ◦ k̃ = I em C ∗ (B).
Proposição 1.13. Se B é uma *-algebra de Banach comutativa, então, C ∗ (B)=C(∆B )
Demonstração:
Nosso objetivo é utilizar o lema anterior para provar a proposição.
Para isto, considere a transformada de Gelfand ∧ : B → C(∆B ), onde ∆B denota os
espaço dos homomorfismos complexos em B. Pela prova do teorema 11.18 de [12],
página 289, temos que Im(∧) = C(∆B ).
Assim, se mostrarmos que para todo homomorfismo ϕ : B → A, onde
A é uma C*-algebra, existe único homomorfismo ϕ̃ : C(∆B ) → A tal que o diagrama
abaixo comuta,
ϕ
B
∧
? .....
..
....
ϕ̃......
.
.
..
....
.
-A
..
.
*
.
.
...
(1.1)
C(∆B )
segue do lema acima que C ∗ (B) ∼
= C(∆B ).
Sem perda de generalidade, podemos supor que ϕ(B) = A e portanto
A é uma C*-algebra comutativa. Logo, pelo teorema de Gelfand-Naimark (11.18)
da página 289 de [12], temos que A é isometricamente isomorfa a C(∆A ), onde ∆A
denota os espaço dos homomorfismos complexos em A. Pelo teorema 11.9, página
280 de [12] sabemos que ∆A é um espaço de Hausdorff compacto. A partir de agora
vamos denotar ∆A por X. Então A ∼
= C(X).
h : X → ∆B
Agora, defina
, onde δx denota o homomorfismo de
x 7→ δx ◦ ϕ
avaliação em x. Precisamos mostrar que h é contı́nua. Como ∆B possui uma topologia inicial, é suficiente mostrar que b̂ ◦ h é contı́nua para todo b ∈ B. Estamos na
seguinte situação:
h
X → ∆B → C
x 7→ h(x) 7→ b̂(h(x))
8
Agora, note que b̂(h(x)) = b̂(δx ◦ ϕ) = δx ◦ ϕ(b) = ϕ(b)(x) e como
ϕ(b) ∈ C(X), b̂ ◦ h é contı́nua para todo b ∈ B. Logo h é contı́nua.
Com isto, podemos definir o homomorfismo ϕ̃ que estamos procurando.
Defina:
ϕ̃ : C(∆B ) → C(X)
f 7→ f ◦ h
É fácil ver que ϕ̃ é realmente um homomorfismo. Os detalhes desta
demonstração serão aqui omitidos, uma vez que esta é completamente análoga a
demonstração da proposição 2.3 do capı́tulo 2.
Falta mostrar que ϕ̃ é o único homomorfismo tal que o diagrama 1.1
comuta. Observe que
ϕ̃ ◦ ∧(b) |x = ϕ̃(b̂) |x = b̂ ◦ h |x = b̂ h(x) = b̂(δx ◦ ϕ) = δx ϕ(b) = ϕ(b) |x
e portanto o diagrama 1.1 comuta.
Finalmente, ϕ̃ é único, pois, se ϕ é um homomorfismo tal que o diagrama 1.1 comuta, temos que
ϕ̃(b̂) = ϕ̃ ◦ ∧(b) = ϕ(b) = ϕ ◦ ∧(b) = ϕ(b̂) ∀b ∈ B
e como Im(∧) = C(∆B ), ou seja, B̂ é denso em C(∆B ), segue que ϕ̃ = ϕ.
Proposição 1.14. Sejam A uma C*-algebra, B uma *-algebra e φ um homomorfismo injetor de A em B. Então kφ(x)k ≥ kxk ∀x ∈ A
Demonstração:
A demonstração desta proposição pode ser encontrada em [10], página
20, proposição 1.8.1.
Proposição 1.15. Se A e B sao C*-algebras e φ é um homomorfismo injetor de A
em B, então kφ(x)k = kxk.
Demonstração:
Como B é uma C*-algebra, por [12], página 338, existe um isomorfismo
isométrico de B em B(H), para algum espaço de Hilbert H. Vamos então considerar
B ⊆ B(H).
Assim, φ é uma representação de A e pela proposição 1.7 temos que
kφ(a)k ≤ kak. Pela proposição anterior, como φ é injetor, kφ(x)k ≥ kxk. Destas
duas desigualdades segue que kφ(x)k = kxk.
9
Corolário 1.16. Sejam A, B C*-algebras, φ um homomorfismo de A em B e I o
ψ
ker(φ). Considere a decomposição canônica de φ: A → AI → φ(A) → B Então, I é
fechado em A, φ(A) é fechado em B e ψ é um isomorfismo isométrico da C*-algebra
A
na C*-algebra φ(A)
I
Demonstração:
Como φ é um homomorfismo de C*-algebras, φ é contı́nuo e portanto
I é fechado. Logo, AI com a norma quociente é uma C*-algebra.
A
I
ψ
→ B
, obtido de φ
a →
7
φ(a); a ∈ a
passando-se o quociente, é injetivo e portanto, pela proposição 1.15, ψ é isométrico.
Logo, φ(A) é completo e portanto fechado em B.
Agora, note que o homomorfismo ψ :
Definição 1.17. Uma aproximação da unidade para uma C*-algebra A é um
net crescente {ui }i∈I onde I é um conjunto dirigido, tal que, 0 ≤ ui ≤ 1 e ∀a ∈ A
lim ui a = lim aui = a
Observação 1.18. Note que como ui é sempre positivo, segue da definição 11.27 de
[12], página 294, que ui é sempre hermitiano, ou seja, u∗i = ui ∀i ∈ I.
Proposição 1.19. Toda C*-algebra admite uma aproximação da unidade.
Demonstração:
A demonstração desta proposição pode ser encontrada em [14], teorema
3.1.1, pág. 78.
Proposição 1.20. Se I é um ideal fechado de uma C*-algebra A, então I = I∗
Demonstração:
Como I é um ideal fechado de A, I é uma C*-algebra.
Logo, pela proposição 1.19, existe uma aproximação da unidade {ui }i∈J
de I.
Seja x ∈ I. Então x = lim xui = lim ui x e x∗ = lim u∗i x∗ = lim ui x∗ .
Agora, como I é ideal, ui x∗ ∈ I, ∀i ∈ J, e como I é fechado, lim ui x∗ ∈ I. Portanto
x∗ ∈ I.
Proposição 1.21. Seja I um ideal fechado de uma C*-algebra A. Então o conjunto
{b ∈ I : b = b0 b00 , onde b0 , b00 ∈ I} é denso em I.
Demonstração:
Seja {ui } uma aproximação da unidade para I.
10
Então para todo a ∈ I, temos que a = lim ui a, onde ui ∈ I e a ∈ I.
Definição 1.22. Seja H =
M
Hi , onde Hi é um espaço de Hilbert para todo i em
i∈I
I um conjunto de ı́ndices. Queremos representar um operador T : H → H de forma
matricial. Como proceder?
Sejam Jk : Hk → H a inclusão de Hk em H Pk : H → Hk a projeção em
Hk . Defina o operador Tij : Hj → Hi como Tij = Pi ◦ T ◦ Jj .
P
Note que todo x = (xk )k∈I ∈ H pode ser escrito como x = k∈I Jk (xk ).
Então
P
P
T (x)i = Pi T (x) = Pi T
J
(x
)
=
P
T
J
(x
)
k k
i
k k
k∈I
P k∈I
P
= k∈I Pi T (Jk (xk )) = k∈I Tik (xk )
No caso em que I = N, esta igualdade pode ser descrita da seguinte
forma matricial:

  

..
T11 T12 . . .
x1
.
T21 T22
 x 2  P

−i−

   =  k∈I Tik xj 
..
..
..
.
..
.
.
.
A matriz a esquerda desta igualdade é a matriz do operador T .
Procedemos de forma análoga quando I é um conjunto de ı́ndices qualquer.


..
.


L
T11


Proposição 1.23. Se T = 
 é um operador diagonal em B( H),
T22


..
.
então kT k = supkTii k
Demonstração:
pP
Observe que kT (ξ1 , ξ2 , . . . )k = k(T11 ξ1 , T22 ξ2 , . . . )k =
kTii ξi k2 ≤
sup kTii kk(ξ1 , ξ2 , . . . )k. Logo kT k ≤ sup kTii k.
Por outro lado, kTii k = kT |Hi k ≤ kT k e portanto sup kTii k ≤ kT k
Assim, kT k = sup kTii k.
Proposição 1.24. Sejam A um C*-algebra, D um subconjunto denso de A e α uma
aplicação de S 1 = {z ∈ C : |z| = 1} nos automorfismo de A, α : S 1 → aut(A). Se
S1 → A
para todo d ∈ D a aplicação
é contı́nua, então para todo a ∈ A a
z 7→ αz (d)
aplicação z 7→ αz (a) é contı́nua.
11
Demonstração:
Seja a ∈ A.
Como D é denso em A, existe uma seqüência {di } contida em D, tal
que di → a. Sejam
fi : S 1 → A
z 7→ αz (di )
e
f : S1 → A
z 7→ αz (a)
Note que fi converge para f uniformemente, pois
kfi (z) − f (z)k = kαz (di ) − αz (a)k = kαz (di − a)k ≤ kdi − ak → 0
e como por hipótese todas as fi são contı́nuas, temos que f é contı́nua.
1.2
Um Pouco Sobre Grupos
Proposição 1.25. Seja ϕ : G → H um homomorfismo de grupo, e N um subgrupo
normal de G tal que ϕ |N = 0, onde 0 é o elemento neutro do grupo G. Então, existe
G
→ H tal que o diagrama abaixo comuta.
ϕ̃ : N
G
ϕ
-H
..
*
.
.
.
..
....
.
.
.
..
.ϕ̃...
.
.
.
..
?
....
.
.
.
G ..
N
Demonstração:
G
N
→ H
g 7→ ϕ(g); onde g ∈ g
Note que ϕ̃ esta bem definido, pois se g, h ∈ g então gh−1 ∈ N e
ϕ(gh−1 ) = 0. Logo, ϕ(g) = ϕ(h).
É claro que ϕ̃ faz o diagrama comutar. Falta apenas mostrar que ϕ̃ é
um homomorfismo. Mas isto segue da igualdade abaixo
Defina
ϕ̃ :
ϕ̃(g)ϕ̃(h) = ϕ(g)ϕ(h) = ϕ(gh) = ϕ̃(gh) = ϕ̃(gh)
Proposição 1.26. Seja U (H) o espaço do operadores unitários em um espaço de
Hilbert H. Seja u ∈ U (H). Então existe U um homomorfismo do grupo Z(aditivo)
U : Z → U (H)
dado por
n 7→ un
Demonstração:
U (n + m) = un+m = un um = U (n)U (m) e
12
U (0) = u0 = I
Proposição 1.27. Se Z é substituido por Zn (aditivo) na proposição acima, então
é necessário e suficiente que un = U (1)n = I para que a afirmação da proposição
citada seja válida.
Demonstração:
Suponha que U é um homomorfismo.
Sabemos que 1 somado n vezes esta na classe do 0. Ou seja,
1| + 1 +
{z. . . + 1} = 0
n×
Aplicando U de ambos os lados da equação acima, temos que
U (1) . . . U (1) = I
ou seja, U (1)n = I, e como U (1) = u segue que un = I.
Suponha agora que un = I.
Pela proposição acima, 1.26, sabemos que existe um homomorfismo
U : Z → U (H)
.
n 7→ un
Observe que U |nZ = I, pois U (kn) = ukn = (un )k = I k = I ∀ k ∈ Z
Ainda, como nZ é abeliano, é normal, ou seja, g nZ g −1 ⊆ nZ ∀g.
Logo, pela proposição 1.25, existe um homomorfismo Ũ tal que o diagrama abaixo
comuta
ϕ
Z
..
Z ...
nZ
?
....
..
..
Ũ
....
.
.
.
..
....
- U (H)
..
..*
.
...
1.3
Teoria de Representação
Nesta seção veremos alguns resultados sobre representações que serão
úteis no desenvolvimento deste trabalho. A definição de representação já foi introduzida na seção 1.1.
Proposição 1.28. Seja ρ : A → B(H) uma *-representação. Sejam: H0 = {ξ ∈ H :
L
ρ(a)ξ = 0 ∀a ∈ A} e H1 = span{ρ(a)ξ : a ∈ A, ξ ∈ H}. Então, H1 H0 = H.
13
Demonstração:
De [16], sabemos que se L é um subespaço fechado de H, então H =
⊥
L ⊕ L , onde L⊥ denota o subespaço ortogonal a L.
Assim, basta mostrarmos que H0 = H⊥
1 . Faremos isto em duas partes.
⊥
Primeiro, demonstraremos que H1 ⊆ H0 .
Seja y ∈ H⊥
1 . Então hρ(a)ξ, yi = 0 ∀a ∈ H, ξ ∈ H.
A igualdade acima implica que hξ, ρ(a)∗ yi = 0 ∀a ∈ H, ξ ∈ H, o que
por sua vez, implica que hξ, ρ(a∗ )yi = 0 ∀a ∈ H, ξ ∈ H.
Assim, para a∗ fixo, temos que hξ, ρ(a)yi = 0 ∀ξ ∈ H, e portanto
ρ(a)y = 0.
Logo, ρ(a)y = 0 para todo a ∈ A e y ∈ H0 .
Falta mostrarmos que H0 ⊆ H⊥
1.
Seja y0 ∈ H0 e y ∈ span{ρ(a)ξ : a ∈ A, ξ ∈ H}. Observe que y é um
P
somatório finito da forma
ρ(ai )ξi . Portanto,
X
X
X
hy, y0 i = h
ρ(ai )ξi , y0 i =
hρ(ai )ξi , y0 i =
hξi , ρ(a∗i )y0 i = 0
note que a última igualdade segue do fato de y0 pertencer a H0 .
⊥
Como L⊥ = L para qualquer subespaço L ⊆ H, temos que y0 ∈
span{ρ(a)ξ : a ∈ A, ξ ∈ H}⊥ , ou seja, y0 ∈ H⊥
1.
Observação 1.29. Se H0 = {0}, dizemos que a representação ρ é não degenerada,
e caso contrário, dizemos que ρ é degenerada.
L
Exemplo 1.30. Seja π a representação de C C em M3 (C) definida por:
L
π:C C → 
M3 (C) 
z 0 0

0 w 0
(z, w) 7→
0 0 0
Vamos encontrar H1 e H0 .
Demonstração:

   
z 0 0
λ
zλ





β = wβ  é igual a 0 para todo (z, w), se
Note que 0 w 0
0 0 0
γ
0
e somente se λ = β = 0.
Logo, H0 = {(0, 0, γ) : γ ∈ C} e H1 = {(λ, β, 0) : λ, β ∈ C}.
Observe que H0 ⊕ H1 = H.
Lema 1.31. Seja {An } ∈ B(H) uma sequência de operadores, tal que:
i) ∃ c ≥ 0 tal que kAn k ≤ c ∀n ∈ N
14
ii) ∃ H0 denso em H tal que {An x0 } converge ∀x0 ∈ H0
Então existe um operador A ∈ B(H) tal que An x → Ax ∀x ∈ H
Demonstração:
Seja x ∈ H. Vamos mostrar que a seqüência {An x} é de Cauchy.
Como H0 é denso em H, existe x0 ∈ H0 tal que kx − x0 k ≤ 3c . Por ii),
a seqüência {An x0 } converge, portanto é de Cauchy e assim existe N > 0 tal que, se
n, k ≥ N , então kAn x0 − Ak x0 k < 3 .
Agora, observe que
kAn x − Ak xk = kAn x − An x0 k + kAn x0 − Ak x0 k + kAk x0 − Ak xk
≤ kAn kkx − x0 k + kAn x0 − Ak x0 k + kAk kkx0 − xk ≤ 3 + 3 + 3 = Logo, {An x} é Cauchy e como H é completo, {An x} → y para algum
y ∈ H.
Defina A em x por Ax = y = lim{An x}.
Note que A ∈ B(H), pois
kAxk = k lim{An x}k = lim k{An x}k ≤ ckxk
Lema 1.32. Sejam {ui }i∈I ⊆ A aproximação da unidade para A e π : A → B(H)
uma representação. Então π(ui ) → PH1 fortemente, ou seja, π(ui )v → PH1 v ∀v ∈ H.
Demonstração:
Seja w ∈ span{π(x)v : x ∈ A, v ∈ H}, ou seja, w é um somatório
P
finito da forma w = π(xi )vi , onde xi ∈ A e vi ∈ H. Então
X
X
X
X
π(ui )
π(xi )vi =
π(ui ) π(xi )vi =
π(ui xi )vi →
π(xi )vi
assim, π(ui ) converge para a identidade no conjunto das somas finitas da forma
P
π(xi )vi , que é denso em H1 . Como kπ(ui )k ≤ kui k ≤ 1, segue do lema 1.31 que
π(ui )v1 → Iv1 para todo v1 ∈ H1 .
Agora, seja v ∈ H. Pela proposição 1.28, v = v0 + v1 , onde v0 ∈ H0 e
v1 ∈ H1 e portanto
π(ui )(v) = π(ui )(v1 ) + π(ui )(v0 ) = π(ui )(v1 )
e pelo que foi demonstrado no parágrafo anterior, o lado direito da igualdade acima
converge para v1 = PH1 v.
Observação 1.33. Se π : A → B(H) é não degenerada, então H = H1 e π(ui )
converge para a identidade fortemente.
15
Proposição 1.34. Seja I ideal fechado de uma C*-algebra A, e π : I → B(H) uma
representação não degenerada. Então, existe única representação π̃ : A → B(H) tal
que π̃ |I = π
Demonstração:
Seja {ui } uma aproximação da unidade para I e a ∈ A. Vamos mostrar
que π(aui ) converge fortemente para algum T ∈ B(H).
Como π é não degenerada, H = H1 . Seja w ∈ span{π(x)v : x ∈ I, v ∈
P
H}, ou seja, w é um somatório finito da forma w =
π(xi )vi , onde xi ∈ I e vi ∈ H.
Então
X
X
X
X
lim π(aui )
π(xi )vi = lim
π(aui ) π(xi )vi =
lim π(aui xi )vi →
π(axi )vi
i→∞
i→∞
i→∞
P
logo, π(aui ) converge no conjunto das somas finitas da forma
π(xi )vi , que é denso
em H1 . Ainda, kπ(aui )k ≤ kaui k ≤ kak, e portanto, pelo lema 1.31 existe Ta ∈ B(H)
tal que π(aui )w → Ta w para todo w ∈ H = H1 .
Estamos em condições de definir a extensão π̃ de π. Defina
π̃ : A → B(H)
a 7→ Ta
Se lembrarmos que pela prova do lema 1.31, Ta (w) = lim π(aui )w e
i→∞
kTa k ≤ kak, a demonstração de que π̃ é uma representação é direta.
Observação 1.35. Se π : I → B(H) for uma representação degenerada, então para
todo ξ0 ∈ H0 definimos π̃(ξ0 ) = 0.
Proposição 1.36. Seja π : I → B(H) uma representação e π̃ : A → B(H) a extensão de π, conforme a proposição 1.34. Seja J outro ideal de A e {vj } uma
aproximação da unidade para I ∩ J. Então π(vi a)ξ → π̃(a)ξ ∀ξ ∈ H, a ∈ J.
Demonstração:
Pela proposição 1.28, sabemos que H = H1 ⊕ H0 . Observe que a
proposição acima é válida em H1 , pois se a ∈ A e w ∈ H1 é um somatório finito
P
da forma w = π(xi )ξi , onde xi ∈ I e ξi ∈ H, então
X
X
X
π(vi a)
π(xi )ξi =
π(vi a)π(xi )ξi =
π(vi axi )ξi
e como axi ∈ I ∩ J, o último termo da igualdade acima converge para
X
π(axi )ξi =
X
π̃(axi )ξi =
X
π̃(a)π̃(xi )ξi = π̃(a)
X
π(xi )ξi
Assim, π(vi a) converge fortemente para π̃(a) no conjunto dos somatórios
P
finitos da forma
π(xi )ξi , que é denso em H1 . Portanto π(vi a) converge fortemente
para π̃(a) em H1 .
Agora, todo ξ ∈ H pode ser escrito da forma ξ1 + ξ0 , onde ξ1 ∈ H1 e
ξ0 ∈ H0 , e portanto
1.35
π(vi a)ξ = π(vi a)ξ1 + π(vi a)ξ0 = π(vi a)ξ1 → π̃(a)ξ1 = π̃(a)ξ1 + π̃(a)ξ0 = π̃(a)ξ
16
1.4
Fatos Topológicos
Definição 1.37. Um subconjunto A de um espaço topológico X é Raro se A não
tem interior.
Proposição 1.38. A união finita de conjuntos raros é raro.
Demonstração:
A demonstração desta proposição pode ser encontrada em [11], página
191.
Definição 1.39. Um espaço topologico X é dito Localmente Compacto se para
todo x ∈ X, existe um compacto K tal que x pertence ao interior de K.
Definição 1.40. Seja X localmente compacto e f uma função em X. Dizemos que
lim f (x) = L se, ∀ > 0, existe um compacto K ⊆ X tal que, ∀x ∈
/ K |f (x)−L| < x→∞
Definição 1.41. Se X é localmente compacto então C0 (X) = {f ∈ C(X) : lim f (x) =
x→∞
0}
Observação 1.42. Se X é localmente compacto então C0 (X) é uma C*-algebra,
onde as operações são definidas pontualmente e a involução é dada por ∗ : f → f .
Veja por exemplo, [14], exemplo 2.1.2, pág. 37.
Proposição 1.43. Seja X localmente compacto. Dado um fechado K ⊂ X e x0 ∈ X
tal que x0 ∈
/ K, então, ∃ h ∈ C0 (X) tal que 0 ≤ h ≤ 1 , h(K) = 0 e h(x0 ) = 1
Demonstração:
Vamos denotar Cc (X) como as funções contı́nuas em X que tem suporte
compacto, ou seja, Cc (X) = {f (x) ∈ C(X) : ∃ compacto L tal que f |Lc = 0}.
Como X é localmente compacto, para todo x ∈ X, existe um compacto
L tal que x pertence ao interior de L, que chamaremos de V . Note que V = L é
compacto e x ∈ V .
Pelo lema de Urysonh, [13] página 24, existe ϕ ∈ C(X) tal que 0 ≤
ϕ ≤ 1, ϕ(x) = 1 e ϕ |V c = 0. Observe que ϕ ∈ Cc pois ϕ |V = 0.
Como x não pertence a K, e K é fechado, pelo mesmo lema de Urysonh
acima, existe F ∈ C(X) tal que 0 ≤ F ≤ 1, F (x) = 1 e F |K = 0.
Tome h = F ϕ. Então h |K = 0, h(x) = 1 e 0 ≤ h ≤ 1. Ainda, h tem
suporte compacto e portanto h ∈ C0 (X).
Proposição 1.44. Seja U um subconjunto aberto de um espaço topologico localmente compacto X. Então U é localmente compacto.
17
Demonstração:
Esta demonstração pode ser encontrada em [15], página 200, corolário
1.
Nas duas definições que seguem abaixo, U é um conjunto aberto contido no espaço topológico localmente compacto X.
^
Definição 1.45. C
0 (U ) = {f ∈ C0 (X) : f |X\U = 0}
Observação 1.46. Vamos provar a seguir que C0 (U ) é naturalmente isomorfo a
^
C
0 (U ). Portanto, é comum no decorrer do texto nos referirmos a C0 (U ) sem alertarmos sobre qual das definições estamos usando.
^
Proposição 1.47. C0 (U ) é naturalmente isomorfo a C
0 (U ).
Demonstração:
Lembre que, pela definição 1.41, C0 (U ) = {f ∈ C(U ) : lim f (x) = 0}.
x→∞
Seja f pertencente a C0 (U ) definido em 1.41. Então f ∈ C(U ) e
lim f (x) = 0.
x→∞
(
f (x) x ∈ U ,
Defina f˜ da seguinte forma: f˜(x) =
0
X\U
^
Queremos demonstrar que f˜ pertence a C
0 (U ).
˜
˜
Como f |X\U = 0, basta mostrar que f ∈ C0 (X).
Agora, dado > 0, existe um compacto K ⊆ U tal que, se x ∈ U \ K
então |f (x)| < . Como
( K é um compacto em U , K é compacto em X e para todo
|f (x)| < se x ∈ U ,
x ∈ X \ K temos que
. Logo |f (x)| < para todo x ∈ X \ K
|f (x)| = 0 se x ∈
/ U.
e portanto lim f˜(x) = 0.
x→∞
Falta mostrar que f˜ ∈ C(X), ou seja, f˜ é contı́nua em x, para todo
x ∈ X. Vejamos:
i) Se x ∈ U
Então f˜ é contı́nua em x, pois U é aberto.
ii) Se x ∈
/U
Queremos mostrar que para todo > 0, existe um aberto V que contém x, tal
que para todo p ∈ V , |f˜(p)| < .
Como lim f (x) = 0, ∀ > 0, existe um compacto K ⊆ U tal que, ∀p ∈
x→∞
U \ K ,
|f (p) − 0| < .
Uma vez que X é Hausdorff, K é fechado. Assim, dado > 0, seja V = X \ K .
Então x ∈ V e |f˜(p)| < ∀p ∈ V . Logo f˜ ∈ C(X).
18
Temos a seguinte relação:
r
^
r : C0 (U ) → C
0 (U )
˜
f 7→ f
É claro que r é injetora. Vejamos a demonstração de que r é sobrejetora:
^
Seja f ∈ C
0 (U ). Note que r(f |U ) = f e portanto basta mostrarmos
que f |U ∈ C0 (U ). Para isto, é suficiente mostrarmos que lim f |U (x) = 0, onde o
x→∞
limite é tomado em U .
^
Como f ∈ C
0 (U ), f |X\U = 0 e dado > 0, existe um compacto K ⊆ X,
tal que para todo x ∈ X \ K, |f (x)| < .
Seja F = {x : |f (x)| ≥ }. F é fechado em X, e como f |X\U = 0,
F ⊆ U .
Observe que K 0 = K ∩ F é fechado em K, logo é compacto. Ainda,
K0 ⊆ U .
Agora, se x ∈ U \ K 0 então ou x ∈
/ K ou x ∈
/ F . Em ambos os casos
temos que |f (x)| < .
Logo, lim f |U (x) = 0.
x→∞
Observação 1.48. A relação r definida acima, é um *-isomorfismo isométrico de
C*-algebras.
Proposição 1.49. C0 (U ) ∩ C0 (V ) = C0 (U ∩ V )
Demonstração:
Usando a definição 1.45 de C0 (U ), o resultado acima segue.
Proposição 1.50. Sejam U,V localmente compactos e ∆ aberto contido em V. Seh
ja h um homeomorfismo de U em V (U → V ⊇ ∆). Considere C0 (∆) um ideal fechado de C0 (V ), que denotamos por C0 (∆) D C0 (V ) e seja α definida por
α : C0 (∆) → C0 (U )
. Então α(C0 (∆)) = C0 (h−1 (∆))
f 7→ f ◦ h
Demonstração:
Nesta proposição utilizaremos a definição 1.41 de C0 (∆).
Primeiro vamos mostrar que α(C0 (∆)) ⊆ C0 (h−1 (∆)).
Seja g ∈ α(C0 (∆)). Então, existe f ∈ C0 (∆) tal que g = α(f ) = f ◦ h.
Como f ∈ C0 (∆), existe um compacto K ⊆ ∆, tal que para todo
x ∈ ∆ \ K, |f (x)| ≤ . Observe que h−1 (K) é um compacto em h−1 (∆).
Agora, se y ∈ h−1 (∆) \ h−1 (K) então y = h−1 (x), onde x ∈ ∆ \ K e
portanto
|g(y)| = |f ◦ h(y)| = |f ◦ h(h−1 (x))| = |f (x)| ≤ 19
Assim, lim g(y) = 0 e como g(y) ∈ C(h−1 (∆)) temos que g ∈ C0 (h−1 (∆)).
y→∞
Falta mostrar que mostrar que C0 (h−1 (∆)) ⊆ α(C0 (∆)).
Seja g ∈ C0 (h−1 (∆)).
Defina f = g ◦ h−1 . É claro que f ∈ C(∆) e analogamente ao feito
acima, temos que lim f (x) = 0. Logo, f ∈ C0 (∆).
x→∞
Finalmente, observe que α(f ) = f ◦ h = g e portanto g ∈ α(C0 (∆)).
Proposição 1.51. Sejam U um aberto, f : U → C contı́nua e K = {x ∈ U :
|f (x)| ≥ }. Então f ∈ C0 (U ) se e somente se para todo > 0 K é compacto.
Demonstração:
Supor f ∈ C0 (U ).
Para 2 existe L ⊆ U compacto tal que ∀x ∈ Lc , |f (x)| < 2 .
Então K = {x ∈ U : |f (x)| ≥ } = {x ∈ L : |f (x)| ≥ }. Logo, K é
um subconjunto fechado do compacto L e portanto é compacto.
A volta é imediata.
20
Capı́tulo 2
Construção do Produto Cruzado
Dado um sistema dinâmico em um espaço de Hausdorff localmente
compacto X, existe um C*-sistema dinâmico associado, e reciprocamente, todo C*sistema dinâmico de forma (C0 (X), G, α) provém de um sistema dinâmico em X.
Assim, quando temos problemas envolvendo ações de grupo, é um caminho natural encontrarmos o C*-sistema dinâmico associado, acharmos respostas
neste ambiente e então tentarmos voltar para o problema original.
Também é usual, quando se tem um C*-sistema dinâmico bem conhecido, tentarmos encontrar um sistema dinâmico tal que o C*-sistema dinâmico
seja proveniente desta ação.
Neste capı́tulo, veremos um pouco da relação entre a teoria de sistemas
dinâmicos e a teoria de C*-algebras e conheceremos um pouco mais certos C*-sistema
dinâmicos.
Definição 2.1. Um Sistema Dinâmico baseado num grupo G, com espaço de
representação X (localmente compacto) é um homomorfismo de grupo β : G →
Homeo(X, X), onde Homeo(X, X) denota o conjunto de todos os homeomorfismos de
X em X. Denotaremos um sistema dinâmico por (X, G, β)
Definição 2.2. Um C*-sistema dinâmico é uma tripla (A, G, α), onde A é uma
C*-algebra, G é um grupo discreto e α é um homomorfismo de grupo α : G → Aut(A).
Aqui, Aut(A) denota o conjunto de todos os automorfismos de A e α é chamada de
ação de G em A.
Veremos agora alguns resultados necessários para provarmos as relações
entre sistemas dinâmicos e C*-algebras citadas acima.
No que segue, X e Y são espaços topológicos de Hausdorff localmente
compactos, h é um homeomorfismo de X em Y (h : X → Y) e φh de C0 (Y) em C0 (X)
é dada por
φh : C0 (Y) → C0 (X)
f 7→ f ◦ h
φ
φ
:
homeo(X,
Y)
→
iso
C
(Y),
C
(X)
0
0
Nosso objetivo é mostrar que
h 7→ φh
é um isomorfismo. Aqui iso C0 (Y), C0 (X) denota o conjunto de todos os isomorfismo de C0 (Y) em C0 (X).
21
Sera que φh esta bem definida? Sim! Vejamos a prova:
Proposição 2.3. φh esta bem definido, ou seja, φh (f ) ∈ C0 (X) ∀f ∈ C0 (Y) e φh é
um isomorfismo de C0 (Y) em C0 (X).
Demonstração:
f ◦ h é contı́nua pois f e h são.
Seja f ∈ C0 (Y). Se mostrarmos que limx→∞ f ◦ h = 0 então φh (f ) ∈
C0 (X).
Dado > 0, como f ∈ C0 (Y), existe K compacto contido em Y tal
que, para todo x ∈ Y \ K , |f (x)| < .
Como h−1 é contı́nua, h−1 (K ) é compacto em X, e se x ∈ X \ h−1 (K )
então f ◦ h(x) < .
Logo, limx→∞ f ◦ h = 0
Falta mostrar que φh é um isomorfismo. Vejamos:
Sejam λ, β escalares e f, g ∈ C0 (Y).
i) φh é multiplicativo, pois
φh (f g) |x = (f g) ◦ h |x = (f g)(h(x)) = f (h(x))g(h(x)) = φh (f ) |x φh (g) |x =
φh (f )φh (g) |x
ii) φh é injetora.
Seja f ∈ ker(φh ).
Então φh (f ) |x = 0 ∀x ∈ X ⇒ f ◦ h |x = 0 ∀x ∈ X
⇒ f h(x) = 0 ∀x ∈ X
⇒ f (y) = 0 ∀y ∈ Y, pois h é sobrejetora.
Logo f = 0 e φh é injetora.
iii) φh é sobrejetora, pois
Seja g(x) ∈ C0 (X).
Procedendo analogamente ao feito acima para mostrar que φh (f ) ∈ C0 (X),
temos que g ◦ h−1 ∈ C0 (Y).
Agora, note que φh (g ◦ h−1 ) |x = g ◦ h−1 h |x = g(x) e portanto φh é sobrejetora.
Proposição 2.4. Dado um isomorfismo ϕ : C0 (Y) → C0 (X), tal que ϕ(1) = 1,
existe único homeomorfismo h : X → Y tal que ϕ = φh .
Demonstração:
Seja ϕ um isomorfismo de C0 (Y) em C0 (X). Como podemos definir
um homeomorfismo h, de X em Y, tal que ϕ = φh ?
Para termos uma idéia intuitiva, suponha que exista h tal que ϕ = φh .
22
Lembre que os homomorfismos de C0 (X) nos complexos são as avaliações,
[12], exemplo 11.13, página 283. Vamos denotar o homomorfismo de avaliação no
ponto x ∈ X por δx . Então,
δx ◦ ϕ(f ) = δx ϕ(f ) = δx (f ◦ h) = f h(x) = δh(x) (f ).
Isto nos leva a definir h da seguinte forma:
Dado x ∈ X, δx ◦ ϕ é um homomorfismo em C0 (Y). Assim, como os
homomorfismos em C0 (Y) são as avaliações, existe y ∈ Y tal que δx ◦ ϕ = δy . Defina
então, h em x, por y.
Falta mostra que ϕ = φh e que h é um homeomorfismo. Vejamos
i) ϕ = φh , pois
φh (f )(x) = f h(x) = f (y) = δy (f ) = δx ◦ ϕ(f ) = δx ϕ(f ) = ϕ(f )(x)
ii) h é contı́nua
h
∼
Queremos mostrar que h : X → Y = ∆C0 (Y) é contı́nua. Como ∆C0 (Y) posx 7→ h(x) = y
sui uma topologia inicial, denotando por fˆ a transformada de Gelfand de uma
função f ∈ C0 (Y) (A definição de transformada de Gelfand pode ser encontrada em [12], definição 11.8, página 280), é suficiente mostrar que fˆ◦h é contı́nua
para toda f ∈ C0 (Y).
Estamos na seguinte situação:
ˆ
f
h
X → Y∼
→ C
= ∆C0 (Y)
x 7→ h(x) = y ∼
= δy 7→ fˆ(δy )
Agora, note que fˆ(δy ) = fˆ(δx ◦ ϕ) = δx ◦ ϕ(f ) = ϕ(f )(x) e como ϕ(f ) ∈ C0 (X),
fˆ ◦ h é contı́nua para toda f ∈ C0 (Y).
Logo h é contı́nuo.
iii) existe h−1 contı́nua.
Vamos construir diretamente h−1 , de uma forma análoga ao feito para construir
h.
Considere ϕ−1 : C0 (X) → C0 (Y). Vamos definir k : Y → X.
Dado y ∈ Y, δy ◦ ϕ−1 é um homomorfismo em C0 (X). Logo, existe x ∈ X tal
que δy ◦ ϕ−1 = δx . Defina k, em y, por x.
Procedendo analogamente ao feito na construção de h, temos que k é contı́nuo
e ϕ−1 = φk .
Falta apenas mostrar que k é a inversa de h. Vejamos:
Para x ∈ X, k ◦ h |x = k(h(x)) = k(y) = x0 , onde y é tal que δx ◦ ϕ = δy e x0 é
tal que δy ◦ ϕ−1 = δx0 .
Então, x0 é tal que δx0 = δy ◦ ϕ−1 = δx ◦ ϕ ◦ ϕ−1 = δx . Logo x0 = x e k ◦ h = I.
23
Analogamente prova-se que h ◦ k = I e portanto k = h−1 e h é um homeomorfismo.
Falta mostrar que h tal que ϕ = φh é único. Vejamos:
Suponha que existam homeomorfismos h1 e h2 tal que ϕ(f ) = φh1 (f ) =
φh2 (f ) ∀f ∈ C0 (Y).
Então f ◦ h1 |x = f ◦ h2 |x ∀f ∈ C0 (Y), ∀x ∈ X
⇒ f h1 (x) = f h2 (x) ∀f ∈ C0 (Y), ∀x ∈ X
Agora, suponha que existe x ∈ X tal que h1 (x) 6= h2 (x). Então, pela
proposição 1.43, existe f ∈ C0 (Y) tal que f |h1 (x) = 0 e f |h2 (x) = 1, o que é uma
contradição.
Logo h1 (x) = h2 (x) ∀x ∈ X.
Proposição 2.5. φ é um anti-homomorfismo. Ou seja, se h : X → Y e k : Y → Z
são homeomorfismos, então os isomorfismos associados φk : C0 (Z) → C0 (Y) e φh :
C0 (Y) → C0 (X) são tais que φkh = φh ◦ φk .
Demonstração:
(φh ◦φk )(f ) = φh ◦(φk (f )) = φh (f ◦k) = (f ◦k)◦h = f ◦(k◦h) = φkh (f )
Observe que não conseguimos mostrar que φ é um isomorfismo e sim
um anti-isomorfismo. Porém, isto é suficiente para provarmos a relação entre sistemas
dinâmicos e C*-algebras que desejamos. Vejamos:
Proposição 2.6. Dado um sistema dinâmico (X, G, β) existe um C*-sistema dinâmico
(C0 (X), G, α) associado. Assim, podemos dizer que (C0 (X), G, α) é proveniente de
(X, G, β).
Demonstração:
Pelas proposições 2.3 a 2.5, existe uma bijeção φ entre os homeomorfismos em X e os isomorfismos de C0 (X), dada por
φ
φ : homeo(X) → Aut(C0 (X))
h 7→ φh
β : G → homeo(X)
t 7→ ht
é um homomorfismo, para cada homeomorfismo βt = ht de X, associamos o automorfismo αt = φht−1 .
α : G → Aut(C0 (X))
Podemos então definir a ação α de G em C0 (X) por
t 7→ αt = φht−1
Note que α é um homomorfismo, pois
(αt ◦αs )(f ) = αt αs (f ) = αt (f ◦hs−1 ) = f ◦hs−1 ht−1 = f ◦hs−1 t−1 = f ◦h(ts)−1 = αts (f )
Assim, dado um sistema dinâmico (X, G, β), onde
Logo, (C0 (X), G, α) é o C*-sistema dinâmico associado ao sistema
dinâmico (X, G, β).
24
Proposição 2.7. Dado um sistema dinâmico (X, G, β) existe um C*-sistema dinâmico
(C0 (X), G, α) associado e reciprocamente, dado (C0 (X), G, α) existe (X, G, β) tal que
(C0 (X), G, α) é proveniente de (X, G, β) no sentido da proposição 2.6
Demonstração:
α : G → Aut(C0 (X))
t 7→ αt
é um homomorfismo, para cada automorfismo αt associamos o homeomorfismo ht
proveniente da proposição 2.4, ou seja, ht é o único homeomorfismo tal que αt = φht .
β : G → Homeo(X)
Defina o sistema dinâmico
.
t 7→ ht−1
Então, procedendo como na proposição anterior, vemos que o C*sistema dinâmico (C0 (X), G, α), é proveniente do sistema dinâmico (X, G, β).
Falta mostrar que (X, G, β) é realmente um sistema dinâmico, ou seja,
que β é um homomorfismo de grupo.
Para isto, basta provar que ht−1 ◦ hs−1 = h(ts)−1 , pois
Dado um C*-sistema dinâmico (C0 (X), G, α), onde
βt ◦ βs (x) = βt ◦ (hs−1 (x)) = ht−1 (hs−1 (x)) = ht−1 ◦ hs−1 (x) = h(ts)−1 (x) = βts (x)
Para provar que ht−1 ◦ hs−1 = h(ts)−1 , lembre que h(ts)−1 é o único
homeomorfismo tal que α(ts)−1 = φh(ts)−1 . Logo, se mostrarmos que ht−1 ◦ hs−1 é tal
que α(ts)−1 = φht−1 ◦hs−1 , temos que ht−1 ◦ hs−1 = h(ts)−1 . Mas isto segue da equação
abaixo
2.5
α(ts)−1 = αs−1 ◦ αt−1 = φhs−1 ◦ φht−1 = φht−1 ◦hs−1
Vamos agora estudar alguns C*-sistemas dinâmicos especiais. Em particular estaremos interessados no caso onde todos os automorfismos αt do C*-sistema
dinâmico são internos.
Definição 2.8. Seja φ um automorfismo da C*-algebra A. Então φ é um automorfismo interno de A se existe u ∈ A unitário tal que φ(a) = uau−1 ∀a ∈ A.
Exemplo 2.9. Seja A uma C*-algebra. Se u ∈ A é unitário, então o automorfismo
em A definido por φ(a) = uau−1 = uau∗ é um automorfismo interno.
Demonstração:
Basta verificar que φ é multiplicativo e satisfaz a propriedade da involução. Vejamos:
φ(a)φ(b) = uau−1 ubu−1 = uabu−1 = φ(ab)
e
φ(a)∗ = (uau−1 )∗ = (u−1 )∗ a∗ u∗ = ua∗ u−1 = φ(a∗ )
25
Exemplo 2.10. Seja h o homeomofismo no cı́rculo unitário, S 1 , que rotaciona um
h : S1 → S1
ponto z ∈ S 1 qualquer, por um ângulo θ fixo. Ou seja,
. Então
z 7→ eiθ z
φ : C(S 1 ) → C(S 1 )
o automorfismo φ na C*-algebra C(S 1 ), dado por
não é
f 7→ f ◦ h−1
interno. Mais ainda, o único automorfismo interno em C(S 1 ) é a identidade.
Demonstração:
Suponha que ψ é um automorfismo interno em C(S 1 ). Então, existe
u ∈ C(S 1 ) tal que ψ(f ) = uf u−1 ∀f ∈ C(S 1 ).
Mas, uf u−1 = uu−1 f = f e portanto ψ = I.
Dado um C*-sistema dinâmico (A, G, α), como o exemplo acima nos
mostra, nem sempre todo automorfismo é interno. É interessante encontrar uma
C*-algebra A oα G que contém A e tal que para todo t ∈ G, os automorfismos αt de
A sejam restrições de automorfismos internos. Isto motiva a definição de l1 (G, A):
Definição 2.11. Seja (A, G, α) um C* sistema dinâmico. Então
Y
X
A
kat k < ∞} ⊆
l1 (G, A) = {(at )t∈G : at ∈ A ∀t ∈ G e
t∈G
G
Defina a norma de um elemento a = (at )t∈G ∈ l1 (G, A) por
X
kat k
kak =
t∈G
Para a = (at )t∈G ∈ l1 (G, A) e b = (bt )t∈G ∈ l1 (G, A) defina as operações de multiplicação e convolução por:
X
(a ∗ b)γ =
at αt (bt−1 γ )
γ∈G
t∈G
(a∗ )γ = αγ (a∗γ −1 )
γ∈G
Estas operações estão bem definidas??
a ∗ b esta bem definida, pois:
X
i) A série
at αt (bt−1 γ ) converge em A, ∀γ, uma vez que converge absolutamente.
t∈G
Vejamos:
P
P
P
t∈G kat αt (bt−1 γ )k ≤
t∈G kat kkbt−1 γ k ≤
t∈G kat kkbk = kakkbk ≤ ∞
ii) (a ∗ b) ∈ l1 (G, A), já que:
P
P
P
P P
γ∈G k(a ∗ b)γ k =
γ∈G k
t∈G at αt (bt−1 γ )k ≤
γ
t kat αt (bt−1 γ )k
P P
P
P
P
P
≤ γ t kat kkαt (bt−1 γ )k = t kat k γ kαt (bt−1 γ )k ≤ t kat k γ kbt−1 γ k
P
= t kat kkbk = kakkbk ≤ ∞
26
Note que a∗ também esta bem definida, uma vez que:
iii) a∗ ∈ l1 (G, A), pois
P
P
P
1.15 P
∗
∗
∗
γ∈G kaγ k =
γ∈G kαγ (aγ −1 )k =
γ∈G k(aγ −1 ) k =
γ∈G kaγ −1 k = kak ≤
∞
Logo as operações de multiplicação e involução estão bem definidas em
l1 (G, A).
Tendo feito isto, podemos provar que l1 (G, A) é uma *-algebra de Banach normada.
Observação 2.12. De ii) e iii) temos que ka ∗ bk ≤ kakkbk e ka∗ k = kak
Proposição 2.13. l1 (G, A) é uma *-algebra de Banach normada.
Demonstração:
Sejam a = (at )t∈G , b = (bt )t∈G , e c = (ct )t∈G elementos de l1 (G, A).
Pela observação acima, basta mostrar as propriedades algébricas:
i) Distributividade
(a + b) ∗ c = a ∗ c + b ∗ c, pois
P
P
(a ∗ c + b ∗ c)γ = t∈G at αt (ct−1 γ ) + t∈G bt αt (ct−1 γ )
P
= t∈G (at + bt )αt (ct−1 γ ) = ((a + b) ∗ c)γ
a ∗ (b + c) = a ∗ b + a ∗ c, já que
P
P
(a ∗ b + a ∗ c)γ = t∈G at αt (bt−1 γ ) + t∈G at αt (ct−1 γ )
P
P
= t∈G at αt (bt−1 γ ) + αt (ct−1 γ ) = t∈G at αt (bt−1 γ + ct−1 γ )
P
= t∈G at αt ((b + c)t−1 γ ) = (a ∗ (b + c))γ
ii) Associatividade do escalar κ
κ(a ∗ b) = (κa) ∗ b, já que
P
P
(κ(a ∗ b))γ = κ t∈G at αt (bt−1 γ ) = t∈G (κat )αt (bt−1 γ ) = ((κa) ∗ b)γ
Procedendo de forma semelhante, temos que κ(a ∗ b) = a ∗ (κb)
iii) Associatividade.
(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)
Primeiro, note que:
P
P
P
−1 g −1 γ )
(a ∗ (b ∗ c))γ = g∈G ag αg (b ∗ c)g−1 γ = g∈G ag αg
b
α
(c
t
t
t
t∈G
P
P
P
P
= g∈G t∈G ag αg bt αt (ct−1 g−1 γ ) = g∈G t∈G ag αg (bt )αgt (ct−1 g−1 γ )
Por outro lado, temos que
27
P
P
P
((a ∗ b) ∗ c)γ = g∈G (a ∗ b)g αg (cg−1 γ ) = g∈G
t∈G at αt (bt−1 g ) αg (cg −1 γ )
P
P
P
g=t P
=
t∈G
g∈G ag αg (bg −1 t )αt (ct−1 γ ) =
g∈G
t∈G ag αg (bg −1 t )αt (ct−1 γ )
Fazendo a mudança de variáveis t → gt temos que o lado direito da equação
acima é igual a
P
P
g∈G
t∈G ag αg (bt )αgt (ct−1 g −1 γ ) = (a ∗ (b ∗ c))γ
iv) (κa)∗ = κa∗
(κa∗ )γ = κ(a∗ )γ = καγ (a∗γ −1 ) = αγ (κa∗γ −1 ) = αγ (κaγ −1 )∗ = αγ (κa)∗γ −1
= (κa)∗γ
∗
v) a∗ = a
(a∗ )∗t = αt ((a∗ )∗t−1 ) = αt [(αt−1 (a∗t ))∗ ] = αt [αt−1 ((a∗t )∗ )] = at
vi) (a + b)∗ = a∗ + b∗
(a∗ + b∗ )t = (a∗ )t + (b∗ )t = αt (a∗t−1 ) + αt (b∗t−1 ) = αt (a∗t−1 + b∗t−1 )
= αt ((at−1 + bt−1 )∗ ) = αt ((a + b)∗t−1 ) = (a + b)∗t
vii) (a ∗ b)∗ = b∗ ∗ a∗
Observe que,
P
∗ −1
−1
(a ∗ b)∗γ = αγ ((a ∗ b)γ −1 ∗ ) = αγ
a
α
(b
)
t∈G t t t γ
P
P
∗
∗
∗
∗
= αγ
t∈G αt (bt−1 γ −1 )at =
t∈G αγt (bt−1 γ −1 )αγ (at )
Por outro lado,
P
P
(b∗ ∗ a∗ )γ = t∈G ((b∗ )t )αt ((a∗ )t−1 γ ) = t∈G αt (b∗t−1 )αt αt−1 γ (a∗γ −1 t )
P
= t∈G αt (b∗t−1 )αγ (a∗γ −1 t )
Mudando a variável t por γt temos que o último termo da equação acima é
igual a
P
= t∈G αγt (b∗t−1 γ −1 )αγ (a∗t ) = (a ∗ b)∗γ
Finalmente, l1 (G, A) é completo, e a demonstração se faz de modo
P
Q
análogo ao feito em [13], página 49, para l1 (Xj ) = {(xj ) ∈ j∈J Xj : j∈J kxj k <
∞}, onde (Xj )j∈J é uma famı́lia de espaços de Banach.
Logo, l1 (G, A) é uma *-algebra de Banach normada.
Lembre que o objetivo de construir l1 (G, A) é encontrar uma C*algebra que contém A, onde para todo t ∈ G os automorfismos αt de A são restrições
de automorfismos internos.
Podemos ”ver”que a algebra original A esta contida em l1 (G, A), definindo a inclusão:
28
i : A → l1 (G, A)
, onde ã|g =
a 7→ ã
(
a g = e,
0 g=
6 e
Para mostrarmos que para todo t ∈ G os automorfismos αt de A são
restrições de automorfismos internos, precisamos definir elementos ut ∈ l1 (G, A).
Vejamos:
(
1 g = t,
u : G → l1 (G, A)
Defina
, onde ut |g =
t 7→ ut
0 g 6= t
Exemplo 2.14. Seja A uma C*-algebra e G o grupo dos inteiros Z. Então para todo
(. . . , 0, 0, |{z}
a , 0, 0, . . . )
(. . . , 0, 0, |{z}
1 , 0, 0, . . . )
a ∈ A, ã =
e para todo n ∈ Z, un =
a
a
0 coordenada
n coordenada
Nas proposições 2.15 até 2.20 faremos a demonstração do resultado
que estamos procurando:
Proposição 2.15. ue = 1̃ é a unidade em l1
Demonstração:
Seja a = (at )t∈G ∈ l1 (G, A)
P
Então (a1̃)γ = g∈G ag αg (1̃g−1 γ ).
Como 1̃g−1 γ = 0, exceto quando g −1 γ = e, ou seja, quando g = γ,
temos que
P
(a1̃)γ = g∈G ag αg (1̃g−1 γ ) = aγ αγ (1̃e ) = aγ αγ (1) = aγ
Também, como 1̃g = 0, exceto quando g = e, segue que
P
(1̃a)γ = g∈G 1̃g αg (ag−1 γ ) = 1̃e αe (ae−1 γ ) = αe (aγ ) = aγ
Logo 1̃ = ue é a unidade em l1 (G, A).
Proposição 2.16. A inclusão i é um *-isomomorfismo isométrico sobre sua imagem.
Demonstração:
Sejam a, b ∈ A e κ, β escalares.
Então,
(
0
se γ =
6 e,
• (κi(a) + βi(b))γ = (κã + β b̃)γ = κ(ãγ ) + β(b̃γ ) =
κa + βb se γ = e
^
= κa
+ βbγ = i(κa + βb)γ
P
• (i(a)i(b))γ = (ãb̃)γ = g∈G ãg αg (b̃g−1 γ ) = ãe αe (b̃γ ) = a˜(b)γ
(
ab se γ = e,
e γ = i(ab)γ
=
= (ab)
0 se γ =
6 e
29
• (i(a)∗ )γ = (ã∗ )γ = αγ (ãγ −1 )∗
(
a∗ se γ = e,
=
= i(a∗ )γ
0 se γ 6= e
P
• ki(a)k = kãk = g∈G kãg k = kãe k = kak
Proposição 2.17. u é um homomorfismo de grupo, isto é, ut us = uts ∀t, s ∈ G e
u(e) = 1̃.
Demonstração:
P
(ut us )γ = g∈G (ut )g αg (us )g−1 γ = αt (us )t−1 γ
(
1 se γ = ts,
=
= (uts )γ
0 se γ =
6 ts
(
1 se t−1 γ = s,
=
0 se t−1 γ 6= s
Proposição 2.18. ut é unitário para todo t ∈ G
Demonstração:
Para provarmos que ut é unitário, precisamos encontrar (ut )∗ .
Note que (ut )∗ γ = αγ (ut )∗γ −1 .
∗
Como (ut )γ é sempre 0 ou 1, temos que (ut )γ = (ut )γ . Uma vez que
αγ é um homomorfismo, segue que(
(
−1
1
se
γ
=
t,
1 se γ = t−1 ,
(u∗t )γ = (ut )γ −1 =
=
= (ut−1 )γ
0 se γ −1 6= t
0 se γ 6= t−1 .
Assim, (ut )∗ = ut−1
Agora, usando a proposição 2.17 temos que (ut )∗ ut = ut−1 ut = ut−1 t =
ue = 1̃ e analogamente ut (ut )∗ = 1̃. Logo ut é unitário.
Proposição 2.19. Para todo t ∈ G os automorfismos αt de A, dados no C* sistema
dinâmico, são restrições de automorfismos internos em l1 (G, A), ou seja, para todo
t ∈ G temos que ut i(a)ut−1 = i(αt (a)) ∀a ∈ A.
Demonstração:
Para facilitar as contas, vamos primeiro fazer a multiplicação de ut por
ã. Vejamos
(
P
αt (a) se g = t,
(ut ã)g = s∈G (ut )s αs (ãs−1 g ) = (ut )t αt (ãt−1 g ) =
0
se g 6= t
∗
Pelo feito na proposição anterior, já sabemos que (ut ) = (ut )−1 = ut−1 .
Então,
30
P
(ut ã)ut−1 γ = g∈G (ut ã)g αg (ut−1 )g−1 γ = αt (a)αt (ut−1 )t−1 γ
(
αt (a) se γ = e,
=
= i(αt (a)) γ
0
se γ 6= e
P
Proposição 2.20. Todo elemento de l1 (G, A) se escreve de forma única como t∈G i(at )ut
P
e portanto l1 (G, A) pode ser visto como o conjunto das somas do tipo t∈G i(at )ut ,
P
onde t∈G kat k < ∞.
Demonstração:
Seja a = (at )t∈G ∈ l1 (G, A).
(
P
at
Note que i(at )ut γ = g∈G (ãt )g αg (ut )g−1 γ = at (ut )γ =
0
P
Logo,
t∈G i(at )ut γ = aγ
se γ = t,
se γ =
6 t
Observação 2.21. É usual escrevermos
P
l1 (G, A), em vez de t∈G i(at )ut .
P
t∈G
at ut para um elemento pertencente a
Por último, gostarı́amos que l1 (G, A) fosse uma C*-algebra. Infelizmente, isto não acontece, como mostra o exemplo abaixo:
Exemplo 2.22. Seja A a C*-algebra dos Complexos, G o grupo dos inteiros e α a
α : Z → Aut(C) = {I}
ação trivial de Z em C, ou seja, a ação dada por
. Então,
n 7→ I
existem elementos em l1 (G, A) tais que ka∗ ak =
6 kak2 .
Demonstração:
˜ 1 + u1 − u−1 , ou seja, a−1 = −1,a0 = i + 1, a1 = 1 e
Seja a = i +
aγ = 0 nas outras coordenadas. De uma maneira pouco formal, podemos escrever a
da seguinte forma:
(. . . , 0, |{z}
−1 , |i +
1 , 0, 0, . . . )
{z 1}, |{z}
a=
a
a
−1 0 1a
Então,
(. . . , 0, |{z}
1 , 1| {z
− }i, |{z}
−1 , 0, 0, . . . )
a∗ =
a
a
−1 0 1a
Ou seja, a∗−1 = 1, a∗0 = 1 − i, a∗1 = −1 e a∗γ = 0 nas outras coordenadas.
P
∗
Assim, (a∗ a)s =
g∈G (a )g αg (a−g+s ) = 1a1+s + (1 − i)as − 1as−1 e
portanto,

−1 se s = −2,





2i
se s = −1,



4
se s = 0,
(a∗ a)s =

−2i se s = 1,





1
se s = 2,



0
caso contrário
31
√
√
√
Agora, note que kak2 = (1 + 2 + 1)2 = (2 + 2)2 = 4 + 4 2 + 2 =
√
6 + 4 2. Porém, ka∗ ak = 1 + 2 + 4 + 2 + 1 = 10.
Logo, ka∗ ak =
6 kak2 .
O fato de l1 (G, A) não ser uma C*-algebra, motiva a definição de produto cruzado. O produto cruzado é a C*-algebra que estamos procurando!!
Definição 2.23. Seja (A, G, α) um C*-sistema dinâmico. O Produto Cruzado de
A por G, pela ação α, denotado por A oα G, é a C*-algebra envolvente de l1 (G, A).
Observação 2.24. Provaremos mais adiante que l1 (G, A) possui uma representação
injetora, o que implica que N da definição de C*-algebra envolvente é {0} e portanto,
A oα G nada mais é do que o completamento de l1 (G, A) munido com a norma |k · k|.
32
Capı́tulo 3
Representações do Produto
Cruzado e Exemplos
Neste capı́tulo estaremos preocupados em conhecer melhor os produtos cruzados definidos no capı́tulo anterior. Em particular, dado um C*-sistema
dinâmico (A, G, α), queremos representar o produto cruzado A oα G, em algum espaço de operadores limitados de um espaço de Hilbert, B(H). Para obtermos uma
melhor compreensão dos produtos cruzados, incluimos alguns exemplos na segunda
parte do capı́tulo.
Vamos começar com um pouco de teoria de representação.
Definição 3.1. Dado (A, G, α) um
( C*-sistema dinâmico, uma Representação Coπ : A → B(H)
variante de (A, G, α) é um par
onde π é uma *-representação
u : G → U (H)
e u é um homomorfismo do grupo G no espaço dos operadores unitários U (H), tais
que ut π(a)(ut )−1 = π(αt (a)) ∀a ∈ A, ∀t ∈ G.
Denotaremos uma representação covariante por (π, u).
É interessante notar que para toda representação covariante de (A, G, α)
existe uma representação de A oα G associada, e vice-versa. É o que nos diz a
proposição:
Proposição 3.2. Existe correspondência biunivuca entre
1) Representações Covariantes de (A, G, α)
2) Representações de A oα G
Demonstração:
1) ⇒ 2)
Seja (π, v) uma representação covariante de (A, G, α).
Queremos definir uma representação φ de A oα G.
Como A oα G é a C*-algebra envolvente de l1 , pela proposição 1.11 é
suficiente definir uma representação em l1 .
33
Definamos então
φ : l1
X
at u t
φ B(H)
-
t∈G
X
π(at )vt
t∈G
Note que φ esta bem definida, pois
P
P
kφ(a)k = k π(at )vt k ≤ kπ(at )kkvt k
P
≤ kat k pois π é *-representação contrativa e vt é operador unitário.
= kak
E portanto φ(a) ∈ B(H).
Agora, vamos mostrar que φ é *-representação.
P
P
Sejam a = t∈G at ut e b = k∈G bk uk pertencentes a l1 .
i) φ é claramente linear.
ii) φ é multiplicativa pois
P
P
P
P
φ(a)φ(b) = φ( t at ut )φ( k bk uk ) = t π(at )vt k π(bk )vk
P
P
= t,k π(at )vt π(bk )vk = t,k π(at )vt π(bk )(vt )−1 vt vk
P
= t,k π(at )π(αt (bk ))vtk pois (π, v) é representação covariante
P P
P P
P P
= k t π(at αt (bk ))vtk = k t φ(at αt (bk )utk ) = φ( k t at αt (bk )ut uk )
P P
P
P
= φ( k t at ut bk uk ) = φ( t at ut k bk uk ) = φ(a)φ(b)
iii) φ é satisfaz a propriedade da involução
Primeiro, lembre que (a∗ )t = αt (a∗t−1 ).
P
Assim, φ(a∗ ) = φ( αt (a∗t−1 )ut )
Por outro lado,
P
P
P
P
φ(a)∗ = ( t π(at )vt )∗ = t (π(at )vt )∗ = t vt∗ π(a∗t ) = t vt−1 π(a∗t )
P
= t π(αt−1 (a∗t ))vt−1 pois (π, v) é representação covariante
P
P
= t π(αt (a∗t−1 ))vt = φ( t αt (a∗t−1 )ut ) = φ(a∗ )
2) ⇒ 1)
Seja φ : A oα G → B(H) uma *-representação de A oα G.
Queremos definir uma representação covariante de (A, G, α).
π : A → B(H)
v : G → B(H)
Sejam então,
e
a 7→ φ(ã)
t 7→ φ(ut )
onde ã é a inclusão de a em A oα G.
Vamos mostrar que (π, v) é representação covariante.
i) Claramente π é *-representação.
34
ii vt é unitário, pois
vt vt∗ = φ(ut )φ(ut )∗ = φ(ut (ut )∗ ) = φ(1̃) = I
vt∗ vt = φ(ut )∗ φ(ut ) = φ((ut )∗ ut ) = φ(1̃) = I
iii) π e v satisfazem a relação de covariança.
vt π(a)(vt )−1 = φ(ut )φ(ã)φ(ut )−1 = φ(ut )φ(ã)φ(u∗t ) = φ(ut ãu−1
t )
= φ(αt˜(a)) pela proposição 2.19
= π(αt (a))
Falta mostrar que a relação entre 1) e 2) é biunı́vuca.
Dada φ : A oα G → B(H) uma *-representação de A oα G, construa a
representação covariante (π, v) como na demonstração de 2) ⇒ 1)
Quem é a representação proveniente de (π, v) se procedermos como em
1) ⇒ 2)?
Chame de π × v a representação proveniente de (π, v).
Temos que
πX
× v : l1 → B(H)
X
at ut 7→
π(at )vt
t∈G
Seja a =
X
t∈G
at ut ∈ l1 .
t∈G
Note que
P
P
P
π × v(a) = t∈G π(at )vt = t∈G φ(ãt )φ(ut ) = φ(ãt ut )
P
= φ( ãt ut ) = φ(a)
Por último, seja (π, v) uma representação covariante de (A, G, α).
Construa a representação φ de A oα G conforme 1) ⇒ 2).
Quem é a representação covariante (π̃, ṽ) obtida de φ, se procedermos
como em 2) ⇒ 1)?
Note que
π̃ : A → B(H)
ṽ : G → B(H)
e
a 7→ φ(ã) = π(a)
t 7→ φ(ut ) = vt
Logo, π̃ = π e ṽ = v.
Observação 3.3. De agora em diante, a representação φ proveniente de uma representação covariante (π, u) será chamada de π × u.
Utilizando a proposição acima, podemos representar l1 (G, A) em um
B(H) de maneira 1-1. É o que nos diz o resultado abaixo.
Proposição 3.4. l1 (G, A) possui uma representação injetora, que é chamada Representação Regular de l1 (G, A).
35
Demonstração:
Seja π : A → B(H) uma representação injetora de A. (existe conforme
[12], página 338, cap. 12). M
Podemos então considerar A ⊆ B(H).
L
Seja
H=
Hg , onde Hg ≡ H.
g∈G
X
H se e somente se
kξg k2 h∞.
L
L g∈G
Defina π : A → B( H) e v : G → B( H) por:
Note que (ξ)g∈G ∈
L
e

..
g

.

π(a) = −e−

−g−
π(a)
π(αg−1 (a))
...
(vh (ξ))g = ξh−1 g para ξ ∈
L




H e h ∈ G.
L
Observe que para ξ ∈
H temos que (π(a)ξ)g = αg−1 (a)ξg .
Vamos mostrar que (π, v) é uma representação covariante de (A, G, α).
i) Primeiro vamos mostrar que π é uma *-representação
L
π(a) ∈ B( H) pois
X
X
X
kπ(a)ξk2 =
k(π(a)ξ)g k2 =
kαg−1 (a)ξg k2 ≤
kak2 kξg k2
g∈G
= kak2
X
g∈G
g∈G
kξg k2 = kak2 kξk2
g∈G
π é um *-homomorfismo, pois
[π(a + b)ξ]g = αg−1 (a + b)ξg = (αg−1 (a) + αg−1 (b))ξg = [π(a)ξ]g + [π(b)ξ]g
= [π(a)ξ + π(b)ξ]g = [(π(a) + π(b))ξ]g
[(π(a)π(b))ξ]g = [π(a)(π(b)ξ)]g = αg−1 (a)([π(b)ξ]g ) = αg−1 (a)(αg−1 (b)ξg )
= αg−1 (ab)ξg = [π(ab)ξ]g
X
X
hαg−1 (a)ξg , γg iH =
hξg , αg−1 (a)∗ γg i
hπ(a)ξ, γiL H =
g∈G
=
X
g∈G
g∈G
hξg , αg−1 (a∗ )γg i = hξ, π(a∗ )γiL H
Logo π(a)∗ = π(a∗ ) e portanto π é uma *-representação.
ii) v é homomorfismo de grupo no espaço dos operadores unitários em B(
L
vh ∈ B( H) pois
X
X
X
kuh (ξ)k2 =
k[uh (ξ)]g k =
kξh−1 g k =
kξj k = kξk
g∈G
g∈G
j∈G
36
L
H)
v é um homomorfismo de grupo, pois
[vt vs (ξ)]g = [vt (vs (ξ))]g = [vs (ξ)]t−1 g = ξs−1 t−1 g = ξ(ts)−1 g = [vts (ξ)]g
Para mostrarmos que vt é unitário para todo t, precisamos encontrar vt∗ .
Temos que vt∗ = vt−1 , pois
X
X
−1
hvt (ξ), γi =
hξt−1 g , γi =t g=s
hξs , γts i = hξ, vt−1 (γ)i
g∈G
s∈G
Portanto vt é unitário, uma vez que
[vt∗ vt (ξ)]g = [vt−1 (vt (ξ))]g = [vt (ξ)]tg = ξt−1 tg = ξg e
[vt vt∗ (ξ)]g = [vt (vt−1 (ξ))]g = [vt−1 (ξ)]t−1 g = ξtt−1 g = ξg
iii) Falta verificar a relação de covariança
Primeiro note que [π(a)(vt−1 (ξ))]g = αg−1 (a)[vt−1 (ξ)]g = αg−1 (a)ξtg .
E portanto,
[vt {π(a)(vt−1 (ξ))}]g = [π(a)(vt−1 (ξ))]t−1 g = αg−1 t (a)ξtt−1 g
= αg−1 (αt (a))ξg [π(αt (a))ξ]g
Logo, (π, v) é representação covariante.
Quem é a representação de l1 associada a (π, v) dada pela proposição
3.2?
Lembre que π × v é dada por:
π×v
πX
× v : l1 →
at u t →
7
t∈G
B(H)
X
π(at )vt
t∈G
Qual a matriz de (π × v)(a), onde a =
X
at u t ?
t∈G
Vejamos como é a coordenada g de (π × v)(a)(ξ) onde ξ é um vetor de
B(
L
H).
X
X
X
[(
π(at )vt )(ξ)]g = [
π(at )(vt (ξ))]g =
[π(at )(vt (ξ))]g
t∈G
t∈G
t∈G
X
X
−1
αg−1 (ags−1 )ξs
=
αg−1 (at )ξt−1 g =t g=s
t∈G
s∈G
Agora, podemos montar a matriz de π × v(a)
s−1
e
s

..
..
..
...
.
.
.
−1 
−g −· · · αg (ag−1 s ) αg (ag−1 ) αg−1 (ag−1 s−1 )

−e−· · ·
as
ae
as−1

−g− · · · αg−1 (ags ) αg−1 (ag ) αg−1 (ags−1 )
..
..
..
..
.
.
.
.
37
.. 
.

···

···

···
..
.
Finalmente, vamos mostrar que π × v é injetora.
Suponha que (π × v)(a) = 0.
L
Então, [(π × v)(a)(ξ)] = 0 ∀ξ ∈
Hg .
L
⇒ [(π × v)(a)(ξ)]e = 0 ∀ξ ∈
Hg .
X
M
⇒
as ξs−1 ∀ξ ∈
Hg .
s∈G
⇒ as = 0 ∀s
⇒a=0
Observação 3.5. Como Aoα G é a C*-algebra envolvente de l1 (G, A), pela proposição
1.11, podemos estender a representação regular de l1 (G, A) para A oα G, porém, esta
extensão não é necessariamente injetora.
3.1
Exemplos de Produto Cruzado
Para entender melhor a teoria desenvolvida até aqui, nesta seção veremos alguns exemplos de produto cruzado e suas respectivas representações.
Exemplo 3.6. Seja αk o automorfismo em Cn dado por:
αk [(λi )] = (µi ), onde
µi = λ(i+k)mod n
Por exemplo, α1 (λ1 , λ2 , . . . , λn ) = (λ2 , . . . , λ1 )
Seja α a ação dada por
α : Zn → Aut(Cn )
k 7→ αk
Então,
Cn oα Zn ∼
= Mn (C)
Demonstração:
Vamos definir uma representação covariante (φ, v) de Cn , Zn , α em
Mn (C).
Sejam
φ : Cn → 
Mn (C)
λ1

..
(λ1 , . . . , λn ) 7→ 
.
e
38

λn


v : Zn → Mn (C)

0 1 ···
 ..
. 0 1

..
1̄ 7→ 
.


···
1




..
. 

0 1
0
Note que v(k̄) = v(1)k = vk .
É claro que φ é uma *-representação, e como v(1)n = I, pela proposição
1.27 segue que v é um homomorfismo de grupo.
Falta verificar a relação de covariança, ou seja, temos que verificar que
∗
vk φ(a)vk = φ(αk (a)).
Observe que se a relação de covariança vale para k = 1, então ela é
válida, pois:
vk φ(a)vk∗ = v1k φ(a)(v1k )∗ = v1k−1 v1 φ(a)v1∗ (v1k−1 )∗
= v1k−1 φ(α1 (a))(v1k−1 )∗ = . . . = v1k−2 φ(α1 (α1 (a)))(v1k−2 )∗
= v1k−2 φ(α2 (a))(v1k−2 )∗ = . . . = v0 φ(αk (a))(v0 )∗ = φ(αk (a))
Então, vamos mostrar
Primeiro
 note que
0
···
1 0


∗
v1 =  . . . . . .


1 0
1
a relação de covariança para k = 1.



1
λ2




λ3




 e φ(α1 (a)) = 
.
.



.

λ1
0
Assim,



0
λ
0 1
2




 λ1
 0 1
0 λ3






 

.
.
.
.. ..
.
.
.
=
v1 φ(a) = 

 
.
.
.
. 
.







0 λn 
0 1
λn
λ1
0
1
0

E então,




v1 φ(a)v1∗ = 





=

0
λ1
λ2
λ3
..


λ2
0
···
1
 1 0

0 λ3


  .. ..

... ...


.
.


0 λn  
1 0 
0
1 0

.
λ1


 = φ(α1 (a))

Portanto, (φ, v) é uma representação covariante de (Cn , Zn , α), e pela
proposição 3.2, existe uma representação φ × v de l1 (Cn , Zn ) associada.
39
Quem é esta representação?
Pela prova da proposição, 3.2, sabemos que φ × v é dada por:
φ×v
X
l1 →
at u t →
7
t∈Zn
Seja a =
X
M
n (C)
X
φ(at )vt
t∈Zn
at ut ∈ l1 . Sabemos que cada at ∈ Cn .
t∈Zn
Vamos denotar at por (λt1 , λt2 , . . . , λtn ).
Então,

 

1
0
1
0
λ
1


 0 1
 

λ11
0 λ12

 







.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
φ(a1 )v1 = 


.
.
. =
.
.

 

1
1
λn 
0 1 
0 λn−1 
1
0
λ1
0


  n
2
0
0 λ1
0 0 1


..
..



λ21
.
. 
0

 0 0
 


 

..
.
.
=
φ(a2 )v2 = 
2



..
..

.
λn−2 
1 



 λ 2
λ2n 1 0
0
n−1
0
0
λ2n
0 1
0
E portanto,

λn1 λ11 λ21 · · · λn−1
1
λn−1 λn λ1 · · · λn−2 
2
2
2

 2
X

 ..
.
.
.
.
φ(at )vt =  .
.
. 

 2
t∈Zn
λn−1
λ1n−1 
λ1n λ2n · · ·
λnn

Agora que a matriz de φ × v é conhecida, é fácil ver que esta representação é injetora,
Xpois, se
φ(at )vt = 0 então, λti = 0 ∀i, ∀t ⇒ at = 0 ∀t.
t∈Zn
Ainda, como as dimensões de l1 (Cn , Zn ) e Mn (C) são as mesmas, temos
que φ × v é uma bijeção entre l1 (Cn , Zn ) e Mn (C).
Por último, lembre que o produto cruzado de (Cn , Zn , α) é a C*-algebra
envolvente de l1 (Cn , Zn ), ou seja, é o completamento de (l1 (Cn , Zn ), |k · k|).
Porém, a dimensão de l1 (Cn , Zn ) e (l1 (Cn , Zn ), |k · k|) é a mesma, ou
seja, n2 ; e como todo espaço de dimensão finita é completo, segue que não é necessário
fazer o completamento de (l1 (Cn , Zn ), |k·k|) para se encontrar a C*-algebra envolvente
de l1 (Cn , Zn ).
Assim, Cn o Zn ∼
= l1 (Cn , Zn ) ∼
= Mn (C).
40
Exemplo 3.7. Seja Z o grupo dos inteiros, C a C*-algebra dos complexos, e α a
ação dada por
α : Z → Aut(C)
n 7→ I
Então, C oα Z ∼
= C(S1 )
Demonstração:
Primeiro X
observe que se a = (an )n∈Z e b = (bm )m∈Z pertencem a
l1 (C, Z) então (ab)k =
an bk−n , pois αn = I ∀n.
n∈Z
Para demonstrar este exemplo, precisaremos de dois lemas. Vejamos:
Lema 3.8. Para todo homomorfismo ϕ : l1 (C, Z) → C, existe único z0 ∈ S 1 tal que
P
ϕ(a) = an z0n
Demonstração:
Seja ∆l1 o conjunto de todos os homomorfismo complexos de l1 (C, Z).
Seja u o elemento de l1 (C, Z) que é sempre 0, menos a direita da
u = (. . . , |{z}
0 , 1, 0, . . . )
coordenada 0, onde u vale 1. Ou seja,
0a
2
u∗ = (. . . , 1, |{z}
0 , 0, . . . )
u = (. . . , |{z}
0 , 0, 1, 0, . . . )
e
Note que
a
0a
0
∗
Assim, os polinômios em u e u são densos em l1 (C, Z). Já sabemos
que l1 (C, Z) é uma *-algebra de Banach. Se provarmos que l1 (C, Z) é comutativa,
segue pela primeira parte do teorema 11.19 de [12] que ∆l1 é homeomorfo ao espectro
de u, que denotaremos por σ(u).
X
X
k−n=s
Porém, note que (ab)k =
an bk−n =
bs ak−s = (ba)k e então
n∈Z
s∈Z
l1 (C, Z) é comutativa e ∆l1 ∼
= σ(u)
Quem é σ(u)?
Observe que uu∗ = 1 = u∗ u e portanto σ(u) ⊆ S 1 .
Queremos mostrar que σ(u) = S 1 .
Seja z ∈ S 1 .
Defina ϕ ∈ ∆l1 por
ϕ
l1 (C, Z) → C
P
(an )n∈Z 7→
an z n
Note que ϕ é um homomorfismo, pois para a = (an )n∈Z e b = (bm )m∈Z
em l1 (C, Z) temos que:
i) ϕ(a) esta bem definido, uma vez que
P
P
P
kan z n k ≤ kan k|z|n = kan k = kak.
P
E portanto,
an z n converge, já que converge absolutamente.
ii) Claramente, ϕ é linear.
41
iii) ϕ é multiplicativa, pois
X
X
X
ϕ(a)ϕ(b) =
an z n
bm z m =
an bm z n+m
n
=
X
k
X
m
n,m
an b m z k =
n, m
n+m=k
X X
n
k
an bk−n z k = ϕ(ab)
iv) ϕ satisfaz a propriedade da involução, já que
X
X
X
X
ϕ(a)∗ =
an z n =
an z −n =
a−n z n =
a∗−n z n = ϕ(a∗ )
n
n
n
n
Agora, observe que ϕ(u) = z.
Logo, z pertence a imagem da transformada de Gelfand de u, ou seja,
z ∈ Im(û).
Mas, pelo teorema 11.9 de [12], sabemos que Im(û) = σ(u), e assim
z ∈ σ(u).
Então, σ(u) = S 1 e portanto ∆l1 ∼
= S 1.
Por último, observe que para todo z ∈ S 1 ,
é um homomorfismo complexo.
ϕ
ϕ : l1 (C, Z) → C
P
(an )n∈Z 7→
an z n
Lema 3.9. A correspondência ϕ ∈ ∆l1 ←→ z0 ∈ S 1 é um homeomorfismo.
Demonstração:
Pelo lema 3.8 sabemos que para todo ϕ ∈ ∆l1 , existe z ∈ S 1 tal
P
que ϕ (an )n∈Z =
an z n . Também do lema 3.8, temos que para todo z ∈ S 1 ,
P
ϕz : (an )n∈Z 7→
an z n é um homomorfismo complexo.
ϕ
ϕ : S 1 → ∆l1
Queremos mostrar que
é contı́nua. Como ∆l1 possui
z 7→ ϕz
uma topologia inicial, denotando por â a transformada de Gelfand de um elemento
a = (an )n∈Z ∈ l1 , é suficiente mostrar que â ◦ ϕ é contı́nua para todo a ∈ l1 .
Estamos na seguinte situação:
ϕ
â
S 1 → ∆l1 → C
z 7→ ϕz 7→ â(ϕz )
P
Agora, note que â(ϕz ) = ϕz (a) =
an z n e portanto â ◦ ϕ é contı́nua
para todo a ∈ l1 .
Logo ϕ é contı́nua, e como ∆l1 é compacto e Hausdorff segue que ϕ−1
também é contı́nua.
Voltando ao nosso exemplo, lembre que CoZ é a C*-algebra envolvente
de l1 , C (l1 ), que, pela proposição 1.13 é isometricamente isomorfa a C(∆l1 ). Como,
pelo lema 3.9 ∆l1 é homeomorfo a S 1 , segue que C o Z ∼
= C(S 1 )
∗
42
Exemplo 3.10. Sejam U e V operadores em B(L2 (S 1 )) definidos por:
U ξ |z = zξ(z)
V ξ |z = ξ(e−iθ z), onde θ ∈ IR é fixo
Então a C*-algebra gerada por U e V , C ∗ (U, V ), é isometricamente isomorfa a um
quociente de C(S1 ) oα Z, onde α é a ação dada por αn (f ) |z = f (e−inθ z).
Observação 3.11. Chamamos o operador U de operador de multiplicação por z.
Demonstração:
Precisamos de algumas propriedades dos operadores U e V antes de
seguirmos com a demonstração. Vejamos:
i) U é unitário
Quem é U ∗ ?
Sejam ξ, γ ∈ L2 (S 1 ). Então,
Z
Z
hU ξ, γi =
(U ξ)z γ(z)dz =
S1
S1
zξ(z) γ(z)dz =
Z
ξ(z)zγ(z)dz = hξ, Mz γi
S1
Assim, U ∗ = Mz , onde Mz ξ |z = zξ(z).
Conhecendo U ∗ podemos provar que U é unitário. Vejamos:
(U U ∗ )(ξ) |z = U (U ∗ ξ) |z = z(U ∗ ξ |z ) = zzξ(z) = |z|2 ξ(z) = ξ(z)
Note que a última igualdade segue do fato de z pertencer a S 1 .
Analogamente verifica-se que (U ∗ U )(ξ) |z = ξ(z).
Portanto, U é unitário.
ii) V é unitário.
Quem é V ∗ ?
Sejam ξ, γ ∈ L2 (S 1 ). Então,
R
R
R 2π
hV ξ, γi = S 1 (V ξ)z γ(z)dz = S 1 ξ(e−iθ z)γ(z)dz = 0 ξ(e−iθ eiλ )γ(eiλ )dλ
R 2π
0
λ−θ=λ0 R 2π
= 0 ξ(ei(λ−θ) )γ(eiλ )dλ =
ξ(eiλ )γ(ei(λ0 +θ) )dλ0
0
R 2π
R
0
= 0 ξ(eiλ )γ(eiθ eiλ0 )dλ0 = S 1 ξ(z)γ(eiθ z)dz = hξ, V ∗ γi
Portanto, V ∗ ξ |z = ξ(eiθ z)
Agora que conhecemos V ∗ , podemos provar que V é unitário. Vejamos:
(V V ∗ )(ξ) |z = V (V ∗ ξ) |z = V ∗ ξ(e−iθ z) = ξ(eiθ e−iθ z) = ξ(z)
Analogamente verifica-se que (V ∗ V )(ξ) |z = ξ(z).
Portanto, V é unitário.
43
iii) Espectro de U é igual a S 1
Lembre que U é o operador de multiplicação por z, Mz . Assim, podemos usar
o exercı́cio 20, da página 343 de [12], e portanto σ(U ) é a imagem essencial de
z.
Sem muito rigor, podemos dizer que a imagem essencial de uma função f :
Ω → C é o conjunto dos pontos x ∈ C tais que, para todo r > 0, a imagem
inversa por f da bola de centro x e raio r não tem medida nula. Mais detalhes
sobre a imagem essencial podem ser obtidos em [12], página 318.
Então, com a definição acima, podemos ver que a imagem essencial de z é S 1 .
Logo, σ(U ) = S 1
iv) A C*-algebra gerada por U , C ∗ (U ), é isomorfa a C(S 1 )
Pela construção de C ∗ (U ), segue que os polinômios em U e U ∗ são densos nesta
C*-algebra e portanto, pelo teorema 11.19 da página 290 de [12], temos que
C ∗ (U ) ∼
= C(σ(U )) = C(S 1 ).
v) U e V são tais que U V = eiθ V U
(U V )(ξ) |z = U (V ξ) |z = z(V ξ(z)) = zξ(e−iθ z)
(V U )(ξ) |z = V (U ξ) |z = U ξ(e−iθ z) = e−iθ zξ(e−iθ z)
Logo, U V = eiθ V U
Tendo em mãos estes resultados, vamos provar que existe uma representação π × v de C(S 1 ) o Z em B(L2 (S 1 )), que é proveniente de uma representação
covariante (π, v) tal que:
π
z 7→ U
v
1 7→ V
Quem é esta representação (π, v)?
Por iv), sabemos que existe um isomorfismo de C(S 1 ) em C ∗ (U ) ⊆
2
1
B(L (S )). Chamaremos este isomorfismo de π.
Pelo teorema 11.19, página 290 de [12], temos que o isomorfismo dado
em iv), ou seja, π, é tal que, se f (λ) = λ ∀λ ∈ σ(U ) então π(f ) = U . Logo, como
σ(U ) = S 1 , temos que π(z) = U .
Como V é unitário, pela proposição 1.26, segue que v definido por
v : Z → B(L2 (S 1 ))
é um homomorfismo de grupo.
n
7→ V n
Falta apenas mostrar a relação de covariança para provarmos que (π, v)
é uma representação covariante de (C(S 1 ), Z, α).
Pelo já feito no exemplo 3.6, basta verificar a relação de covariança para
o caso n = 1, ou seja, basta verificar que VX
π(f )V ∗ = π(α1 (f )). Primeiro, vamos
demonstrar para polinômios da forma pn =
an z n e depois para uma f ∈ C(S 1 )
z∈Z
qualquer.
Vejamos:
44
P
P
P
v)
V π(pn )V ∗ = V π( an z n )V ∗ =
an V π(z)n V ∗ =
an V U n V ∗ =
P
P
an e−inθ U n V V ∗ = an e−inθ U n
Por outro lado,
P
P
P
α1 (pn ) |z = α1 ( an z n ) |z = an (e−iθ z)n = an e−inθ z n e portanto
P
P
P
π(α1 (z)) = π( an e−inθ z n ) = an e−inθ π(z n ) = an e−inθ U n = V π(pn )V ∗
forma
X
Agora, seja f ∈ C(S 1 ). Então f = lim pn onde pn é um polinômio da
an z n e a relação de covariança vale, pois:
z∈Z
V π(f )V ∗ = V π(lim pn )V ∗ = lim V π(pn )V ∗ = lim π(α1 (pn )) = π(α1 (f ))
Portanto, (π, v) é uma representação covariante de (C(S 1 ), Z, α) e pela
proposição 3.2, existe uma representação π × v de C(S 1 ) o Z associada. Sabemos
que π × v é tal que:
π×v
1
C(SP
)oZ →
ft ut →
7
2
1
B(L
P (S )) P
π(ft )Vt = π(ft )V t
Note que U, V ∈ Im(π × v) e que Im(π × v) ⊆ C ∗ (U, V ) ⊆ B(L2 (S 1 ))
Então, como C ∗ (U, V ) é a menor C*-algebra que contém U e V , se
mostrarmos que Im(π × v) é uma C*-algebra, segue que Im(π × v) = C ∗ (U, V ).
Mas, pelo corolário 1.16 temos que Im(π × v) é uma C*-algebra iso1 )oZ
metricamente isomorfa a C(S
.
ker(π×v)
Logo Im(π × v) = C ∗ (U, V ).
45
Capı́tulo 4
O Produto Cruzado por Ações
Parciais de um Grupo Discreto G e
Exemplos
As noções de um sistema dinâmico e de um C*-sistema dinâmico, dadas
no capı́tulo 2 podem ser generalizadas pela definição de Ação Parcial. Neste contexto
mais geral, ainda é possı́vel construir o produto cruzado de uma C*-algebra A por
um grupo discreto G. Vejamos como:
Definição 4.1. Uma Ação Parcial de um Grupo G em um conjunto Ω é um par
θ = ({∆t }t∈G , {ht }t∈G ), onde para cada t ∈ G, ∆t é um subconjunto de Ω e ht :
∆t−1 → ∆t é uma bijeção satisfazendo para todo t,s pertencentes ao grupo G:
i ∆e = Ω e he é a identidade em Ω
ii ht (∆t−1 ∩ ∆s ) = ∆t ∩ ∆ts
iii ht (hs (x)) = hts (x), x ∈ ∆s−1 ∩ ∆s−1 t−1
Se Ω é um espaço topológico, precisamos que:
cada ∆t seja um subconjunto aberto de Ω
ht seja um homeomorfismo de ∆t−1 em ∆t
Se θ = ({Dt }t∈G , {αt }t∈G ) é uma ação parcial de G em uma C*-algebra
A é necessário que:
Cada Dt seja um ideal bilateral fechado de A
αt seja um *-isomorfismo de Dt−1 em Dt
Proposição 4.2. Seja θ = ({∆t }t∈G , {ht }t∈G ) uma ação parcial. Então ht−1 =
(ht )−1 ∀t ∈ G.
46
Demonstração:
Como θ = ({∆t }t∈G , {ht }t∈G ) é ação parcial, temos que:
ht−1 (ht (x)) = ht−1 t (x) = he (x) = x ∀x ∈ ∆t−1 ∩ ∆t−1 t , ou seja, para
todo x ∈ ∆t−1 ∩ ∆e = ∆t−1
E
ht (ht−1 (x)) = htt−1 (x) = he (x) = x ∀x ∈ ∆t ∩ ∆tt−1 , ou seja, para
todo x ∈ ∆t ∩ ∆e = ∆t
Existe outra definição possı́vel de ação parcial, e que em alguns casos
é mais fácil de ser verificada. É o que nos diz a
Proposição 4.3. θ = ({∆t }t∈G , {ht }t∈G ) é ação parcial se e somente se valem:
i) ∆e = Ω e he é a identidade em Ω
ii) ht ◦ hs ⊆ hts (com os respectivos domı́nios)
Demonstração:
Suponha que i) e ii) valem. Vamos mostrar que θ = ({∆t }t∈G , {ht }t∈G )
é ação parcial.
Note que neste caso, a conclusão da proposição 4.2 vale.
i) Temos que o domı́nio de ht ◦ hs = {x ∈ ∆s−1 : hs (x) ∈ ∆t−1 }
Mas, se hs (x) ∈ ∆t−1 então x ∈ h−1
s (∆t−1 ) e portanto,
−1
dom(ht ◦ hs ) = ∆s−1 ∩ h−1
s (∆t−1 ∩ ∆s ) = hs (∆t−1 ∩ ∆s ).
Por hipótese, dom(ht ◦ hs ) ⊆ dom(hts ) e então, h−1
s (∆t−1 ∩ ∆s ) ⊆ ∆s−1 t−1 .
Assim,
h−1
s (∆t−1 ∩ ∆s ) ⊆ ∆s−1 ∩ ∆s−1 t−1
Fazendo a mudança de variáveis s−1 = i e t−1 = j temos que
hi (∆j ∩ ∆i−1 ) ⊆ ∆i ∩ ∆ij
Falta mostrar que hs (∆s−1 ∩ ∆t ) ⊇ ∆s ∩ ∆st
Por 4.1 temos que (∆t−1 ∩ ∆s ) ⊆ hs (∆s−1 ∩ ∆s−1 t−1 ).
Fazendo s−1 t−1 = t0 temos:
(∆st0 ∩ ∆s ) ⊆ hs (∆s−1 ∩ ∆t0 )
Portanto hs (∆s−1 ∩ ∆t ) = ∆s ∩ ∆st
47
(4.1)
ii) Se x ∈ ∆s−1 ∩ ∆s−1 t−1 então x ∈ dom(ht ◦ hs ) pois
hs (∆s−1 ∩ ∆s−1 t−1 ) = ∆s ∩ ∆t−1 e portanto hs (x) ∈ ∆t−1 = dom(ht )
Como ht ◦ hs ⊆ hts temos que ht (hs (x)) = hts (x), x ∈ ∆s−1 ∩ ∆s−1 t−1
Logo θ = ({∆t }t∈G , {ht }t∈G ) é ação parcial.
A volta é bem mais curta. Vejamos:
Suponha que θ = ({∆t }t∈G , {ht }t∈G ) é ação parcial.
Basta mostra que ht ◦ hs ⊆ hts
Já sabemos que se x ∈ dom(ht ◦ hs ) então x ∈ ∆s−1 ∩ h−1
s (∆t−1 ∩ ∆s ).
Como θ = ({∆t }t∈G , {ht }t∈G ) é ação parcial isto implica que
x ∈ ∆s−1 ∩ ∆s−1 ∩ ∆s−1 t−1 ⊆ ∆s−1 t−1 = dom(hts ).
Finalmente, se x ∈ dom(ht ◦ hs ) então x ∈ ∆s−1 ∩ ∆s−1 t−1 e portanto
ht (hs (x)) = hts (x) pois θ = ({∆t }t∈G , {ht }t∈G ) é ação parcial.
É interessante notar que a proposição 2.7 ainda vale quando falamos
em ações parciais, ou seja, dada uma ação parcial em X, existe ação parcial em C0 (X)
associada e reciprocamente, toda ação em C0 (X) é proveniente de uma ação parcial
em X. No restante desta dissertação só usaremos a primeira parte desta afirmação,
e por isto só provaremos esta parte.
Exemplo 4.4. Dado uma ação parcial θ = ({∆t }t∈G , {ht }t∈G ) de G em um espaço
topológico localmente compacto Ω, seja Dt = {f ∈ C0 (Ω) : f |∆ct ≡ 0} E C0 (Ω) ou
αt : Dt−1 → Dt
seja, Dt = C0 (∆t ) Agora, defina αt por:
Temos que αt é
f 7→ f ◦ h−1
t
ação parcial na C*-algebra C0 (Ω).
Demonstração:
Aqui vamos usar a definição 1.41 de Dt .
Primeiro precisamos verificar se αt esta bem definida para todo t. Ou
seja, vamos mostrar que f ◦ h−1
∀t.
t ∈ Dt
−1
f ◦ht é contı́nua em ∆t pois é a composição de duas funções contı́nuas.
Então falta mostrar que lim f ◦ h−1
t = 0.
x→∞
De > 0
Como f ∈ C0 (∆t−1 ) = Dt−1 existe compacto K ⊆ ∆t−1 tal que
∀x ∈ ∆t−1 \ K ,
|f (x)| < Como ht é homeomorfismo, ht (K ) é compacto em ∆t .
Se y ∈ ∆t \ ht (K ) então existe x ∈ ∆t−1 \ K tal que ht (x) = y.
−1
Assim |f ◦ h−1
t (y)| = |f ◦ ht (ht (x))| = |f (x)| < −1
Então, lim f ◦ h−1
t = 0 (em ∆t ) e f ◦ ht ∈ Dt
x→∞
Agora vamos mostrar que αt é ação parcial na C*-algebra C0 (Ω)
48
i) αt é isomorfismo.
Sejam f, g ∈ Dt−1 . Então,
−1
−1
αt (f · g) |x = (f · g) ◦ h−1
|x = (f · g)(h−1
t
t (x)) = f (ht (x)) · g(ht (x)) =
αt (f ) |x ·αt (g) |x = αt (f ) · αt (g) |x
−1
∗ −1
∗
αt (f ∗ ) |x = f ∗ ◦ h−1
t |x = f (ht (x)) = f (ht (x)) = αt (f ) |x = αt (f ) |x
αt é claramente linear
αt é injetor.
Seja f ∈ Ker(αt ) Então αt (f ) |x = 0 ∀x ∈ ∆t
⇒ f ◦ h−1
t |x = 0 ∀x ∈ ∆t
⇒ f (h−1
t (x)) = 0 ∀x ∈ ∆t
⇒ f (y) = 0 ∀y ∈ ∆t−1 pois h−1
é um homeomorfismo de ∆t em ∆t−1
t
Então f = 0.
αt é sobrejetor.
Seja g ∈ Dt
f : ∆t−1 → C
x 7→ g ◦ ht (x)
Procedendo analogamente ao feito quando demonstramos que αt esta bem
definido, temos que f ∈ Dt−1 .
Defina f por
Como αt (f ) = g ◦ ht ◦ h−1
t = g temos que αt é sobrejetor.
ii) Cada Dt é um ideal, pois pelo exercı́cio 3 cap. 11 de [12] os ideais fechados de
C(Ω) são da forma IF = {f ∈ C(Ω) : f |F = 0} = C0 (X \ F ) onde F é fechado.
iii) De = C0 (Ω) e αe = Id. em C0 (Ω)
Como θ = ({∆t }t∈G , {ht }t∈G ) é ação parcial, temos que ∆e = Ω e he = Id. em
Ω.
Assim, De = {f ∈ C0 (Ω) : f |∆ce = 0} = {f ∈ C0 (Ω) : f |∅ = 0} = C0 (Ω) e
αe : C0 (Ω) → C0 (Ω)
f 7→ f ◦ h−1
e = f
Logo αe = Id. em C0 (Ω)
iv) αt (Dt−1 ∩ Ds ) = Dt ∩ Dts
Pela proposição 1.49 temos que:
αt (C0 (∆t−1 ) ∩ C0 (∆s )) = αt (C0 (∆t−1 ∩ ∆ts ))
h
−1
t
∆t−1 ⊇ ∆t−1 ∩ ∆s
∆t →
αt
Agora, note que estamos na seguinte situação: Dt−1 →
Dt
f 7→ f ◦ h−1
t
49
(4.2)
Então, podemos aplicar a proposição 1.50 e portanto, a expressão 4.2 é igual
a:
C0 ((ht−1 )−1 (∆t−1 ∩ ∆s )) = C0 (ht (∆t−1 ∩ ∆s )) =
= C0 (∆t ∩ ∆ts ) pois θ = ({∆t }t∈G , {ht }t∈G ) é ação parcial.
= C0 (∆t ) ∩ C0 (∆ts ) pela proposição 1.49
= Dt ∩ Dts
v) αt (αs (f )) = αts (f ) ∀f ∈ Ds−1 ∩ Ds−1 t−1
Sabemos que Ds−1 ∩ Ds−1 t−1 = C0 (∆s−1 ∩ ∆s−1 t−1 ) conforme definição 1.41 e a
proposição 1.49.
Assim, para f ∈ Ds−1 ∩ Ds−1 t−1 basta verificar a igualdade para x ∈ ∆s−1 ∩
∆s−1 t−1 . Temos que:
αt (αs (f )) |x = αt f ◦ h−1
s |x = f ◦ hs−1 ht−1 |x = f (hs−1 (ht−1 (x))) =
= f (hs−1 t−1 (x)) pois θ = ({∆t }t∈G , {ht }t∈G ) é ação parcial
= αts (f ) |x
Como construir o produto cruzado neste ambiente mais geral? Começamos
definindo uma espécie de l1 (G):
Definição 4.5. Dado αt : Dt−1 → Dt uma ação parcial, onde Dt é ideal fechado
P
P
de A, seja L = { t∈G ag δg : ag ∈ Dg e
t∈G kag k < ∞} ⊆ l1 (G, A). Para
a = (at )t∈G ∈ L e b = (bt )t∈G ∈ L defina as operações de multiplicação e convolução
por:
P
(a ∗ b)γ = t∈G αt (αt−1 (at )bt−1 γ )
(a∗ )γ = αγ (a∗γ −1 )
Estas operações estão bem definidas??
a ∗ b esta bem definida?
i A série
P
t∈G
αt (αt−1 (at )bt−1 γ ) converge ∀γ?
Vejamos:
P
t∈G kαt (αt−1 (at )bt−1 γ )k
P
= t∈G kαt−1 (at )bt−1 γ k pois como αt é *-isomorfismo podemos utilizar 1.14.
P
≤ t∈G kαt−1 (at )kkbt−1 γ k
P
= t∈G kat kkbt−1 γ k utilizando 1.14 novamente.
P
≤ t∈G kat kkbk ≤ kakkbk ≤ ∞
50
ii (a ∗ b)γ ∈ Dγ ?
Note que αt−1 (at )bt−1 γ ∈ Dt−1 ∩ Dt−1 γ pois Dt é ideal para todo t.
Como αt é ação parcial, αt (Dt−1 ∩ Dt−1 γ ) = Dt ∩ Dγ
Logo αt (αt−1 (at )bt−1 γ ) ∈ Dγ
∀t. Ou seja, (a ∗ b)γ ∈ Dγ
iii (a ∗ b) ∈ L?
P
P
P
γ∈G k(a ∗ b)γ k =
γ∈G k
t∈G αt (αt−1 (at )bt−1 γ )k
P P
P P
≤ γ t kαt−1 (at )bt−1 γ k ≤ γ t kat kkbt−1 γ k
P P
P
P
P
= t γ kat kkbt−1 γ k = t kat k γ kbt−1 γ k = t kat kkbk
= kakkbk
a∗ esta bem definida?
ii’ (a∗ )γ ∈ Dγ ? Sim, pois (a∗ )γ = αγ (a∗γ −1 ) e αγ é um isomorfismo de Dγ −1 em Dγ .
iii’ a∗ ∈ L ??
P
P
P
∗
∗
γ∈G k(aγ −1 )k = kak ≤ ∞
γ∈G k(aγ −1 )k =
γ∈G kαγ (aγ −1 )k =
Observação 4.6. De iii e iii’ temos que ka ∗ bk ≤ kakkbk e ka∗ k = kak
Proposição 4.7. L é uma *-algebra de Banach normada.
Demonstração:
Pela observação acima, basta mostrar as propriedades algébricas:
i) Distributividade
(a + b) ∗ c = a ∗ c + b ∗ c
P
P
(a ∗ c + b ∗ c)γ = t∈G αt (αt−1 (at )ct−1 γ ) + t∈G αt (αt−1 (bt )ct−1 γ )
P
= t∈G αt (αt−1 (at + bt )ct−1 γ ) = ((a + b) ∗ c)γ
a ∗ (b + c) = a ∗ b + a ∗ c
P
P
(a ∗ b + a ∗ c)γ = t∈G αt (αt−1 (at )bt−1 γ ) + t∈G αt (αt−1 (at )ct−1 γ )
P
= t∈G αt (αt−1 (at )(bt−1 γ + ct−1 γ )) = (a ∗ (b + c))γ
ii) Associatividade do escalar κ
κ(a ∗ b) = (κa) ∗ b
P
P
(κ(a ∗ b))γ = κ t∈G αt (αt−1 (at )bt−1 γ ) = t∈G αt [κ(αt−1 (at )bt−1 γ )]
P
P
= t∈G αt [(καt−1 (at ))bt−1 γ )] = t∈G αt (αt−1 (κat ))bt−1 γ )] = ((κa) ∗ b)γ
Analogamente temos que (κ(a ∗ b))γ = (a ∗ (κb))γ
51
iii) Associatividade.
(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)
Note que é suficiente demonstrarmos a associatividade para elementos da forma
ak δk . Para isto, precisamos do seguinte lema:
Lema 4.8. Se {ui } é uma aproximação da unidade para Dr−1 e se ar e bs são
elementos de Dr e Ds respectivamente, então
(ar δr ) ∗ (bs δs ) = lim ar αr (ui bs )δrs
i
Demonstração:
Observe que
(ar δr )∗(bs δs ) = αr αr−1 (ar )bs δrs = lim αr αr−1 (ar )ui bs δrs = lim ar αr (ui bs )δrs
i
i
Agora, sejam ar , bs e ct elementos de Dr , Ds e Dt respectivamente e seja {ui }
é uma aproximação da unidade para Dr−1 . Então
−1
(ar δr ∗ bs δs ) ∗ ct δt = lim ar αr (ui bs )δrs ∗ ct δt = lim αrs αrs ar αr (ui bs ) ct δrst
i
i
−1
ar αr (ui bs ) ∈ Ds−1 ∩Ds−1 r−1 .
Observe que ar αr (ui bs ) ∈ Dr ∩Drs e portanto αrs
Se {vj } é uma aproximação da unidade para Ds−1 ∩Ds−1 r−1 então o lado direito
da equação acima é igual a
−1
lim lim αrs αrs ar αr (ui bs ) vj ct δrst = lim lim ar αr (ui bs )αrs (vj ct )δrst =
i
j
i
j
= lim lim ar αr (ui bs )αr αs (vj ct ) δrst = lim lim ar αr ui bs αs (vj ct ) δrst
i
j
i
j
= lim lim ar αr αs αs−1 (ui bs )vj ct δrst
i
j
note que ui bs ∈ Dr−1 ∩ Ds e portanto αs−1 (ui bs ) ∈ Ds−1 ∩ Ds−1 r−1 . Assim o
lado direito da equação acima é igual a
lim ar αr αs αs−1 (ui bs )ct δrst
i
Agora, suponha que bs = b0s b00s onde b0s e b00s pertencem a Ds . Com isto, a
expressão acima é igual a
00
0
lim αr αr−1 (ar )αs αs−1 (ui bs )αs−1 (bs )ct δrst
i
0
00
= lim αr αr−1 (ar )ui bs αs αs−1 (bs )ct δrst
i
0
00
= αr αr−1 (ar )bs αs αs−1 (bs )ct δrst = αr αr−1 (ar )αs αs−1 (bs )ct δrst
52
Por outro lado,
ar δr ∗ (bs δs ∗ ct δt ) = ar δr ∗ αs αs−1 (bs )ct )δst = αr αr−1 (ar )αs αs−1 (bs )ct δrst
Logo, mostramos que (ar δr ∗bs δs )∗ct δt = ar δr ∗(bs δs ∗ct δt ) sempre que bs = b0s b00s ,
onde b0s e b00s pertencem a Ds .
Mas, pela proposição 1.21, o conjunto B = {b ∈ Ds : b = b0 b00 } é denso em Ds
e portanto todo bs ∈ Ds se escreve como bs = lim bi onde bi ∈ B.
Portanto (ar δr ∗ bs δs ) ∗ ct δt = (ar δr ∗ lim bi δs ) ∗ ct δt = lim(ar δr ∗ bi δs ) ∗ ct =
lim ar δr ∗ (bi δs ∗ ct ) = ar δr ∗ (bs δs ∗ ct δt )
iv) (κa)∗ = κa∗
(κa∗ )γ = κ(a∗ )γ = καγ (a∗γ −1 ) = αγ (κa∗γ −1 ) = αγ (κaγ −1 )∗ = (κa)∗γ
∗
v) a∗ = a
(a∗ )∗t = αt ((a∗ )∗t−1 ) = αt [(αt−1 (a∗t ))∗ ] = αt [αt−1 ((a∗t )∗ )] = at
vi) (a + b)∗ = a∗ + b∗
(a∗ + b∗ )t = (a∗ )t + (b∗ )t = αt (a∗t−1 ) + αt (b∗t−1 ) = αt (a∗t−1 + b∗t−1 )
= αt ((at−1 + bt−1 )∗ ) = αt ((a + b)∗t−1 ) = (a + b)∗t
vii) (a ∗ b)∗ = b∗ ∗ a∗
P
(a ∗ b)∗γ = αγ ((a ∗ b)γ −1 ∗ ) = αγ [{ t∈G αt (αt−1 (at )bt−1 γ −1 )}∗ ]
P
P
= αγ [ t∈G αt∗ (αt−1 (at )bt−1 γ −1 )] = αγ [ t∈G αt (bt−1 γ −1 ∗ αt−1 (at ∗ ))]
P
= t∈G αγ [αt (bt−1 γ −1 ∗ αt−1 (at ∗ ))]
P
∗
∗
=
t∈G αγt (bt−1 γ −1 αt−1 (at ))] pois θ = ({∆t }t∈G , {ht }t∈G ) é ação parcial e
∗
bt−1 γ −1 αt−1 (at ∗ ) ∈ Dt−1 ∩ D(γt)−1
Por outro lado,
P
(b∗ ∗ a∗ )γ = t∈G αt [αt−1 ((b∗ )t )(a∗ )t−1 γ ]
P
= t∈G αt {αt−1 [αt (bt−1 ∗ )]αt−1 γ (aγ −1 t ∗ )} (1)
Fazendo γ −1 t = s temos que
P
(1)= s∈G αγs (bs−1 γ −1 ∗ αs−1 (as ∗ ))] = (a ∗ b)∗γ
Ainda, L é completo, e a demonstração se faz de modo análogo ao feito
na proposição 2.13.
Definição 4.9. O Produto Cruzado de A por G pela ação α, denotado por Aoα G
é a C*-algebra envolvente de L.
53
Como sempre, estamos interessados em representar o produto cruzado
em algum B(H). Para isto definiremos uma representação em L e depois a estenderemos para o produto cruzado pela propriedade universal 1.11.
Vamos então demonstrar a:
Proposição 4.10. L tem uma representação injetora (regular).
Demonstração:
Seja π : A → B(H) uma representação injetora de A. (existe conforme
[12], página 338, cap. 12). Podemos então considerar A ⊆ B(H)
Queremos achar uma representação para L.
Procedendo analogamente ao feito no capı́tulo 2 terı́amos, para a ∈ A:
e
g


..
.


π(a)
π̃(a) = −e−



−g−
π(αg−1 (a))

..
.
L
e λ : G → B( H) definido por (λh (ξ))g = ξh−1 g paraM
h∈G
L
Hg onde Hg ≡
Lembre do capı́tulo 2, que
H é uma notação para
g∈G
H.
Assim para x =
P
π̃(ak )λk
P
ak δk ∈ L gostarı́amos de definir (π̃ × λ)(x) por
Porém, ak ∈ Dk e na definição de π̃(ak ) temos π(αg−1 (ak )) que não
esta bem definido.
Como proceder??
Uma vez que π ◦ αg−1 é representação de Dg , pela prop. 1.34, existe πg
uma representação da C*-algebra A em B(H) que estende π ◦ αg−1 , ou seja, que faz
o diagrama abaixo comutar.
Dg
αg−1
? ....
- D −1
g
..
....
π..g.....
.
.
.
.
...
π B(H)
..
.*
.
.
.
....
(4.3)
A
Definamos então, [π̃(a)(ξ)]g por πg (a)ξg , onde ξ ∈ B(
Portanto a matriz de π̃(a) é dada por:
54
L
H).
e


−e−
π̃(a) =

−g−

−k−
..
g
k

.
π(a)
πg (a)
πk (a)
..
.






Observe que De = A e αe = Id, logo πe (a) = π(a). Ainda, para
ag ∈ Dg temos que πg (ag ) = π(αg−1 (ag )).
L
Utilizando o mesmo λ do capı́tulo 2, ou seja, λ : G → B( H) definido
por [λh (ξ)]g = ξh−1 g para h ∈ G, podemos definir (π̃ × λ)(a), onde a ∈ L.
π̃ ×
Pλ : L → B(H)
P
ag δg 7→
π̃(ag )λg
P
Qual a matriz de (π̃ × λ)(a), onde a = ag δg ??
Vejamos como é a coordenada g de (π̃ × λ)(a)(ξ) onde ξ é um vetor de
B(
L
H).
P
P
[(π̃ × λ)(a)(ξ)]g = [( t∈G π̃(at )λt )(ξ)]g = [ t π̃(at )λt (ξ)]g
P
P
= t [π̃(at )λt (ξ)]g = t πg (at )[λt (ξ)]g
P
= t πg (at )ξt−1 g fazendo t−1 g = s temos:
P
= s πg (ags−1 )ξs
Assim a coordenada g, s de (π̃×λ)(a) é πg (ags−1 ) e a matriz de (π̃×λ)(a)
é dada por:
s−1

...

−g −1 −· · ·

−e−· · ·

−g− · · ·
..
.
e
s
..
..
..
.
.
.
πg−1 (ag−1 s ) πg−1 (ag−1 ) πg−1 (ag−1 s−1 )
π(as )
π(ae )
π(as−1 )
πg (ags )
πg (ag )
πg (ags−1 )
..
..
..
.
.
.
.. 
.

···

···

···
..
.
Agora vamos mostrar que (π̃ × λ) é uma representação injetora de L.
L
i) (π̃ × λ) esta bem definida? Ou seja, (π̃ × λ) ∈ B( H)?
P
Para a = ag δg temos que
P
P
P
kπ̃ × λ( ag δg )k = k π̃(ag )λg k ≤
kπ̃(ag )kkλg k
P
≤ kag k pois π̃ é representação e λ é unitário.
= kak ≤ ∞
ii) É claramente linear.
iii) é multiplicativa?
55
Como (π̃×λ) é linear, basta mostrar que (π̃×λ) é multiplicativa para elementos
da forma ak δk
Assim, é interessante notar que
k −1


π̃ × λ(ak δk ) = −e−

−g−
..
k −1 g

.
π(ak )
πg (ak )
...




Queremos mostrar que (π̃ × λ)(aj δj ) (π̃ × λ)(ak δk ) |ξ = π̃ × λ(aj δj ak δk ) |ξ
Sabemos que (αj δj )(αk δk ) = αj (αj −1 (aj )ak )δjk . Chamando a segunda parte
desta igualdade de d, aj δj de b e ak δk de c, temos que mostrar que:
(π̃ × λ)(b)(π̃ × λ)(c) |ξ = (π̃ × λ)(d) |ξ
Assim, temos:
(π̃ × λ)(b) (π̃ × λ)(c) (ξ) = (π̃ × λ)(b) [(π̃ × λ)(c)(ξ)] =

..
.
P

−g−
(π̃ × λ)(b)  s πg (cgs−1 )ξs 
..
.

(4.4)
Agora, cgs−1 6= 0 ⇐⇒ gs−1 = k ⇐⇒ s = k −1 g e portanto o vetor em 4.4 é igual
a


..
.


(π̃ × λ)(b) πg (ak )ξk−1 g 
−g−
(4.5)
..
.

..
.


Chamando πg (ak)ξk−1 g  de ξ˜ temos que o vetor em 4.5 é igual a
..
.


..
.
P

˜ =
(π̃ × λ)(b)(ξ)
 s πg (bgs−1 )ξ˜s −g−
..
.

(4.6)
Agora, como bgs−1 6= 0 ⇐⇒ gs−1 = j ⇐⇒ s = j −1 g temos que a equação em
4.6 é igual a




..
..
.
.




= πg (aj )ξ˜j −1 g 
−g− = πg (aj )πj −1 g (ak )ξk−1 j −1 g 
−g−
..
..
.
.
56
Por outro lado,

..
.
P

(π̃ × λ)(d) |ξ =  s πg (dgs−1 )ξs −g−
..
.

(4.7)
Mas, dgs−1 6= 0 ⇐⇒ gs−1 = jk ⇐⇒ s = k −1 j −1 g, e então a equação em 4.7 é
igual a




..
..
.
.




−g− = πg [αj (αj −1 (aj )ak )]ξk−1 j −1 g 
−g−
πg (djk )ξk−1 j −1 g 
..
..
.
.
Assim, obtemos o resultado desejado se provarmos o seguinte lema:
Lema 4.11. πg (aj )πj −1 g (ak ) = πg [αj (αj −1 (aj )ak )] ou
πg (bj )πj −1 g (ck ) = πg (djk )
Demonstração:
Lembre que πg é extensão de π ◦ αg−1 tal que o diagrama 4.3 comuta. Ainda, se
L
π : Dg−1 → B(H) é degenerada, então, na linguagem do prop 1.34 H = H1 H0
e πg (a)(ξ0 ) = 0 ∀ξ ∈ H0 .
Seja Hg1 = span{π(a)v : a ∈ Dg−1 , v ∈ H}
0
Note que não é necessário considerar Hg1 = span{παg−1 (a)v : a ∈ Dg , v ∈ H}
0
pois αg−1 é um isomorfismo de Dg em Dg−1 , o que implica que Hg1 ' Hg1 .
Seja Pg a projeção em Hg1 . Pelo lema 1.32 sabemos que π(ugi ) → Pg fortemente,
onde {ugi } é uma aproximação da unidade para Dg−1 . Então
Lema 4.12. πg (a)Pg = πg (a) = Pg πg (a) ∀a ∈ A.
Demonstração:
Note que
πg (a)Pg (v) = πg (a)( lim π(ugi )v)
= lim
j→∞
π(augj )
lim
i→∞
i→∞
π(ugi )v
conforme a definição de πg no prop 1.34
= lim lim π(augj ugi )v
j→∞ i→∞
= lim π(augj )v pois augj ∈ Dg−1
j→∞
= πg (a)v
e por outro lado,
πg (a∗ )Pg = πg (a∗ ) ⇒ (πg (a∗ )Pg )∗ = (πg (a∗ ))∗ ⇒ Pg∗ (πg (a∗ ))∗ = (πg (a∗ ))∗
⇒ Pg πg (a) = πg (a)
57
Precisamos de mais um lema:
Lema 4.13. π(u)πg (bj )πj −1 g (ck ) = π(u)πg (djk ) para u ∈ Dg−1
Seja f ∈ A. Então,
π(u)πg (f ) = π[αg−1 (αg (u))]πg (f ) = πg (αg (u))πg (f ) = πg (αg (u)f )
= π(αg−1 (αg (u)f )) pois αg (u)f ∈ Dg
Logo,
π(u)πg (f ) = π(αg−1 (αg (u)f )) ∀f ∈ A
(4.8)
Assim, usando a igualdade acima, temos que
π(u)π(djk ) = π(u)π(αj [αj −1 (aj )ak ]) = π(αg−1 [αg (u)αj (αj −1 (aj )ak )])
Por outro lado,
π(u)πg (bj )πj −1 g (ck ) = π(u)πg (aj )πj −1 g (ak ) = π(αg−1 [αg (u)aj ])πj −1 g (ak )
Note que αg (u)aj ∈ Dg ∩ Dj . Logo, como αg−1 é ação parcial, αg−1 [αg (u)aj ] ∈
Dg−1 ∩ Dg−1 j ⊆ Dg−1 . Assim, usando 4.8 com αg−1 [αg (u)aj ] no lugar de u e
j −1 g no lugar de g temos que o lado direito da equação acima é igual a
π(αg−1 j {αj −1 g [αg−1 (αg (u)aj )]ak })
e, como o produto é associativo, temos que π(αg−1 [αg (u)αj (αj −1 (aj )ak )]) =
π(αg−1 j {αj −1 g [αg−1 (αg (u)aj )]ak })
Finalmente, podemos demonstrar que πg (bj )πj −1 g (ck ) = πg (djk )
Seja {ui } uma aproximação da unidade para Dg−1 .
Então, por 4.13
π(ui )πg (bj )πj −1 g (ck ) = π(ui )πg (djk )
⇒ lim π( ui )πg (bj )πj −1 g (ck ) = lim π(ui )πg (djk )
i→∞
i→∞
⇒ Pg πg (bj )πj −1 g (ck ) = Pg πg (djk ) por 1.32
⇒ πg (bj )πj −1 g (ck ) = πg (djk ) utilizando 4.12
58
iv) Satisfaz a propriedade da involução, ou seja, (π̃ × λ)(a∗ ) = ((π̃ × λ)(a))∗
Basta mostrar para elementos da forma ak δk pois:
P
P
P
(π̃ × λ)[( ak δk )∗ ] = π̃ × λ[ (ak δk )∗ ] = π̃ × λ[(ak δk )∗ ]
P
P
P
= [π̃ × λ(ak δk )]∗ = [ π̃ × λ(ak δk )]∗ = [π̃ × λ( ak δk )]∗
Lembre que (ak δk )∗ = αk−1 (a∗k )δk−1
Agora,
[π̃ × λ(ak δk )]∗ = (π̃(ak )λk )∗ = λk−1 π̃(ak )∗ = λk−1 π̃(a∗k )
Por outro lado,
π̃ × λ[(ak δk )∗ ] = π̃ × λ(αk−1 (a∗k )δk−1 ) = π̃(αk−1 (a∗k ))λk−1
Assim, para obtermos o resultado desejado, basta mostrar que
π̃(αk−1 (ak )) = λk−1 π̃(ak )λk
∀ak ∈ Dk
(4.9)
L
Denotaremos os vetores ξ ∈
H que são zero em todas as coordenadas, exceto
na coordenada g, onde valem x, por xδg .
L
Como o span{xδg : x ∈ H} é denso em
H, é suficiente mostrar a igualdade
4.9 para os vetores da forma xδg .
Vejamos,
π̃(αk−1 (ak ))xδg = [πg (αk−1 (ak ))x]δg
Agora, note que (λk (xδg ))j = (xδg )k−1 j , e como (xδg )k−1 j 6= 0 ⇔ k −1 j = g ⇔
j = kg, temos que λk (xδg ) = xδkg .
Portanto,
λk−1 π̃(ak )λk (xδg ) = λk−1 π̃(ak )(xδkg ) = λk−1 [πkg (ak )x]δkg = (πkg (ak )x)δg
Então, para obtermos a igualdade 4.9 é suficiente mostrar que:
πkg (ak ) = πg (αk−1 (ak ));
ak ∈ D k
(4.10)
Seja {vi } aproximação da unidade para Dk ∩ Dkg
πkg (ak ) = lim πkg (vi ak )
i→∞
= lim π(αg−1 k−1 (vi ak )) pela proposição 1.36.
i→∞
= lim π(αg−1 αk−1 (vi ak )) pois α é ação parcial.
i→∞
= lim πg (αk−1 (vi ak )) pois vi ak ∈ Dk ∩ Dkg ⇒ αk−1 (vi ak ) ∈ Dk−1 ∩ Dg
i→∞
= lim πg (αk−1 (vi )αk−1 (ak ))
i→∞
= πg (αk−1 (ak )) pois αk−1 (vi ) é aproximação da unidade para Dk−1 , Dk ∩
αk−1
Dk−1 ∩ Dg
Dkg →
59
v) é injetora. Análogo ao feito na proposição 3.4.
4.1
Exemplos de Produtos Cruzados por Ações
Parciais
Depois de demonstrações como a da seção anterior, nada como alguns
exemplos:
Exemplo 4.14. Seja X um espaço topológico consistindo de n pontos, digamos X =
{1, 2, .., n}, seja G o grupo dos inteiros e A a C*-algebra C(X). Se ∆−j = {i ∈ X :
i + j ∈ X} e hj (i) = i + j então θ = ({∆t }t∈G , {ht }t∈G ) é ação parcial. Quem é
Aoα G onde α é a ação parcial proveniente da ação θ?
Demonstração:
Primeiro vamos mostrar que θ = ({∆t }t∈G , {ht }t∈G ) é ação parcial.
É claro que ∆j é aberto e hj é homeomorfismo de ∆j −1 em ∆j . Também é fácil
ver que ∆0 = X e h0 = Id.
hj (∆−j ∩ ∆l ) = ∆j ∩ ∆j+l
Seja y ∈ hj (∆−j ∩ ∆l ).
Então y = hj (x) = x + j onde x ∈ ∆−j ∩ ∆l . Agora, y − j = x + j − j = x ∈ X
logo y ∈ ∆j e y − (j + l) = x + j − j − l = x − l ∈ X pois x ∈ ∆l . Assim,
y ∈ ∆j+l
Por outro lado, seja x ∈ ∆j ∩ ∆j+l .
Tome y = x − j. Então x = hj (x) e y ∈ ∆−j ∩ ∆l pois y + j = x ∈ X e
y − l = x − j − l ∈ X pois x ∈ ∆j+l .
hl (hj (x)) = hl+j (x),
x ∈ ∆−j ∩ ∆−j−l
É claro.
Assim, mostramos que θ = ({∆t }t∈G , {ht }t∈G ) é ação parcial.
Quem são os ∆j ?
∆0 = X
∆1 = {i ∈ X : i − 1 ∈ X} = {2, . . . , n}
∆2 = {3, . . . , n}
..
.
∆−1 = {i ∈ X : i + 1 ∈ X} = {1, . . . , n − 1}
∆−2 = {1, . . . , n − 2}
..
.
∆n−1 = {n}
∆−(n−1) = {1}
60
Ainda, Dj = C0 (∆j ) ∼
= C|∆j | e L =
M
C0 (∆j ). Note que ∆j = ∅ se
j∈Z
|j| > n − 1.
Temos então, que a dimensão de L é n+(n−1)+. . .+1+(n−1)+. . .+1
= (1 +
+ (1 + n) n2 − n = (1 + n)n − n = n2 .
Logo, C(X) o Z ∼
= L, pois para encontrarmos o produto cruzado, que
nada mais é do que a C*-algebra envolvente de L, não será necessário completar L
com a norma k| · |k, uma vez que todo espaço de dimensão finita é completo.
n) n2
Um elemento a ∈ L é da forma a−(n−1) δ−(n−1) + . . . + a−1 δ−1 + a0 δ0 +
a1 δ1 + . . . + an−1 δn−1 onde ai ∈ C(∆i ).
Temos o seguinte isomorfismo:
g:L → M
n (C)

a10
a1−1
a1−(n−1)


..
..


.
.


 2

...
y
 a1

a−1


.
.

..
..
a−(n−1) δ−(n−1) + . . . + an−1 δn−1 7→ 
az0




.
n−1 
x
..

a
a
−1
1




...
..
..


.
.
n
n
n
an−1
a1
a0
onde, por exemplo, ax1 é o valor da função a1 no ponto x ∈ ∆1 .
A única propriedade de isomorfismo que necessita de demonstração é
a multiplicação.
Como g é linear, basta mostrar que g é multiplicativa para elementos
da forma ak δk .
X
Note que ∀a ∈ Dk a =
a(i)1i onde a(i) ∈ C e 1i é a função
i∈∆k
caracterı́stica do ponto i, e assim, se mostrarmos que
g(1x δk 1y δl ) = g(1x δk )g(1y δl ),
x ∈ ∆k , y ∈ ∆l
temos o resultado desejado, pois:
X
X
g(aδk bδl ) = g(
a(i)1i δk
b(j)1j δl )
i∈∆k
= g(
XX
j∈∆l
a(i)1i δk b(j)1j δl )
i∈∆k j∈∆l
=
XX
a(i)b(j)g(1i δk 1j δl )
XX
a(i)b(j)g(1i δk )g(1j δl )
XX
g(a(i)1i δk )g(b(j)1j δl )
i∈∆k j∈∆l
=
i∈∆k j∈∆l
=
i∈∆k j∈∆l
61
(4.11)
=
X
g(a(i)1i δk )
i∈∆k
X
g(b(j)1j δl )
j∈∆l
= g(aδk )g(bδl )
Então, vamos mostrar 4.11.
Primeiro vamos calcular 1x δk 1y δy .
Aqui, o sı́mbolo [x = y] se refere a função boleana que é 1 quando
x = y e 0 se x 6= y
1x δk 1y δl = αk (αk−1 (1x )1y )δk+l
Porém,αk−1 (1x ) |z∈∆k−1 = 1x ◦ hk |z = 1x (hk (z)) = 1x (k + z)
= [x = k + z] = [x − k = z] = 1x−k (z)
Assim,
αk−1 (1x ) = 1x−k
(4.12)
E portanto 1x δk 1y δy = αk (1x−k 1y )δk+l = [x − k = y]αk (1y )δk+l
= [x − k = y]1y+k δk+l usando 4.12
= [x = y + k]1y+k δk+l = [x = y + k]1x δk+l
Por outro lado,
g(1x δk ) = eij ou seja a matriz que tem o 1 como única coordenada não
nula, na posição ij. Note que este 1 tem que estar na diagonal k, logo i − j = k.
Ainda, 1 é o x-ésimo elemento da diagonal, logo i = x.
Também, g(1y δl ) = ei0 j 0 , onde i0 − j 0 = l e i0 = y.
Sabemos que
eij ei0 j 0 = [j = i0 ]eij 0
(4.13)
Aonde esta o 1 de eij 0 ?
Temos que i − j = k e i0 − j 0 = l. Somando estas duas equações e
lembrando que neste caso j = i0 , temos que i − j 0 = k + l. Ainda, como i = x temos
que 1 é o x-ésimo elemento da diagonal k + l de eij 0 . Assim, o lado direito da equação
4.13 é igual a
g([i − k = y]1x δk+l ) = g([x − k = y]1x δk+l ) = g([x = y + k]1x δk+l )
E portanto 4.11 esta demonstrado.
Finalmente, temos C(X) o G ∼
=L∼
= Mn (C)
Exemplo 4.15. O Hodômetro.
Sejam Xi = {0, 1} ∀i ∈ N. Considere X =
Y
i∈N
topologia produto.
62
Xi =
Y
{0, 1}, com a
N
Note que os elementos de X são da forma x = (x1 , . . . , xn , . . . ) onde
xi = 0 ou xi = 1.
Lembre que a topologia produto é a topologia inicial tal que as proPj
jeções Pj : X → Xj são contı́nuas.
Definamos h : X → X ,onde h((x1 , x2 , . . . )) é definida de forma que na
primeira coordenada que aparece um zero é colocado 1 no seu lugar e 0 a esquerda
desta coordenada. O resto é mantido. De forma mais precisa, dado x ∈ X, x =
(x1 , . . . , xn , . . . ), seja i = min{i : xi = 0}. Então,


0 j < i
h(x) = (0, . . . , |{z}
0 , 1, xi+1 , . . . )
h(x)j = 1 j = i ou seja,

i−1

xj j > i
Por exemplo:
h(0, 0, 1, 0, 0, 1, . . . ) = (1, 0, 1, 0, 0, 1, . . . )
h(1, 1, 1, 0, 0, . . . ) = (0, 0, 0, 1, 0, . . . )
Note que h age como um hodômetro de carro. Porém não como um
hodômetro usual, e sim um hodômetro binário e infinito. Observe que cada iteração
de h significa uma unidade de distância percorrida.
Agora, note que não podemos aplicar h para o ponto (1, 1, 1, 1, . . . )
onde todas as coordenadas são 1. Então, h é definida em
h : X \ {(1, 1, 1, . . . )} → X \ {(0, 0, 0, . . . )}
Definamos então hn = hn = h ◦ h ◦ . . . h e ∆−n como o domı́nio de hn .
Note que
∆−1 = X \ {(1, 1, 1, . . . )}
∆1 = X \ {(0, 0, 0, . . . )}
∆−2 = X \ {(1, 1, 1, . . . ), (0, 1, 1, 1, . . . )}
∆2 = X \ {(0, 0, 0, . . . ), (1, 0, 0, . . . )}
∆−3 = X \ {(1, . . . ), (0, 1, 1, . . . ), (1, 0, 1, 1, . . . )} ∆3 = X \ {(0, . . . ), (1, 0, . . . ), (0, 1, 0, 0, . . . )}
..
..
.
.
Será que h é um homeomorfismo? Será uma ação parcial?
Sim, e a provas destes fatos são casos particulares das seguintes proposições:
Proposição 4.16. Sejam X =
Y
i∈N
Xi =
Y
{0, 1}, com a topologia produto e f :
N
U ⊆ X → X uma função tal que ∀x ∈ U ∀ n ∈ N, existe m tal que a enésima
coordenada de f (x) só depende das m primeiras coordenadas de x, ou seja, ∀x0 ∈ X
tal que x0i = xi ∀i = 1, . . . , m vale que f (x)n = f (x0 )n . Então f é contı́nua.
Demonstração:
Queremos mostrar que dada uma vizinhança V de f (x), existe uma
vizinhança U de x tal que f (x) ∈ V ∀x ∈ U .
Seja V um aberto que contem f (x).
63
Se pk são as projeções
[ em Xk , então, por [15], pág. 243 sabemos que
os abertos em X são da forma
Bi , onde Bi = ∩j=1...l p−1
ij (Uij ), ou ainda, Bi =
i∈I
Y
Ui1 × . . . Uil ×
Xj , onde Uik são abertos em Xk
j6=ik
Em particular, V é da forma acima e como f (x) ∈ V , existe i0 tal
que f (x) ∈ Bi0 . Sem perda de generalidade, a partir de agora, vamos supor que
V = ∩j=1...l p−1
j (Uj ).
Agora, note que os abertos em Xk são o espaço todo, o vazio, e os
conjuntos {0} e {1}. Assim, se algum Uj for o espaço todo ou o vazio, a parcela
p−1
j (Uj ) pode ser descartada de V .
Y
Portanto, V consiste na ∩j=1...g p−1
Xk , onde
j (Uj ) = U1 × . . . Ug ×
k6=j
Uj = {0} ou Uj = {1}.
Mas f (x) ∈ V(, portanto pi (f (x)) ∈ Ui para i = 1 . . . g.
{0} sef (x)i = 0
Assim, Ui =
{1} sef (x)i = 1
Finalmente, podemos dizer que V = {y ∈ X : yi = f (x)i , para i =
1 . . . g}.
Agora, para cada i = 1 . . . g, escolha mi satisfazendo a hipótese, ou
0
seja, ∀x ∈ X tal que x0n = xn ∀n = 1, . . . , mi vale que f (x)i = f (x0 )i .
Seja M = max{m1 , . . . , mg }.
Considere Q = {x0 : x0n = xn ∀n = 1 . . . M }.
Pelo que já foi feito, é fácil ver que Q é aberto, e Q contem x.
Ainda, se x0 ∈ Q então f (x0 )i = f (x)i ∀i = 1 . . . g.
Portanto f (x0 ) ∈ V e f é contı́nua.
Dados X um espaço localmente compacto, U e V abertos contidos
em X e h : U → V , um homeomorfismo, a proposição abaixo nos da uma forma
de encontrar uma ação parcial proveniente de h. Com isto, podemos encontrar
muitos exemplos de ações parciais. Em particular, a demonstração de que θ =
({∆t }t∈Z , {ht }t∈Z ) é ação parcial no exemplo 4.14 segue facilmente desta proposição.
Proposição 4.17. Sejam X um espaço localmente compacto, U e V subconjuntos
abertos de X e h : U → V , um homeomorfismo. Defina ∆−n = dom(hn ) e hn :
hn
∆−n → ∆n por hn . Então θ = ({∆t }t∈Z , {ht }t∈Z ) é ação parcial.
Demonstração:
Primeiro vamos mostrar que ∆n é aberto para todo n por indução.
Para n = 0, ∆0 = dom(Id.) = X que é aberto.
Suponha que ∆−n é aberto (hipótese de indução).
Temos que ∆−(n+1) = {x ∈ ∆−n : hn (x) ∈ U }, pois hn+1 = h(hn ).
Como hn : ∆−n → X é fácil ver que ∆−(n+1) = (hn )−1 (U ).
64
Portanto ∆−(n+1) é aberto relativo a ∆−n . Mas por hipótese, ∆−n é
aberto em X, logo ∆−(n+1) também é aberto em X.
É claro que hn é homeomorfismo de ∆−n em ∆n .
Para mostrar que θ = ({∆t }t∈Z , {ht }t∈Z ) é ação parcial, vamos usar a
proposição 4.3 e mostrar que hn ◦ hm ⊆ hn+m .
Seja x ∈ dom(hn ◦ hm ). Então, hn ◦ hm (x) esta bem definida.
Vamos dividir a demonstração em vários casos:
i) n, m > 0
h ◦ . . . ◦ h h ◦ . . . ◦ h(x)
= hn+m (x)
Note que hn ◦ hm (x) = hn ◦ hm (x) = | {z } | {z }
n×
m×
ii) n, m < 0
−1
h−1 ◦ .{z
. . ◦ h−1} h
. . ◦ h−1}(x)
| ◦ .{z
Note que hn ◦ hm (x) = |
= (h−1 )−(n+m) (x)
−n×
−m×
= hn+m (x)
iii) n > 0, m < 0
h ◦ . . . ◦ h h−1 ◦ .{z
. . ◦ h−1}(x)
Note que hn ◦ hm (x) = | {z } |
= hn+m (x)
n×
−m×
iv) n < 0, m > 0
Análogo ao caso anterior.
Assim, em todos os casos, hn+m (x) esta bem definido, e portanto hn ◦ hm ⊆ hn+m .
65
Capı́tulo 5
Propriedades de C0(X) oα G, onde α
é proveniente de uma ação parcial
em X
Dada uma ação parcial em X, pelo exemplo 4.4, sabemos que existe
uma ação parcial α em C0 (X) associada. Gostarı́amos de encontrar alguns resultados
sobre o produto cruzado de C0 (X) por α. Porém, só conseguimos encontrar resultados
para uma espécie de produto cruzado reduzido, que vamos definir agora.
Se θ = ({Dt }t∈G , {αt }t∈G ) é uma ação parcial de G em uma C*-algebra
L
A, então pela proposição 4.10 temos uma representação π̃×λ de L em B( H). Logo,
L
pela propriedade universal 1.11 existe único homomorfismo ϕ : A o G → B( H)
que faz o diagrama abaixo comutar.
(π̃ × λ)
L
∩
..
? .....
AoG
....
.
....
ϕ
.
.
.
....
....
- B(⊕H)
..
...*
..
Observação 5.1. Apesar de (π̃ ×λ) ser injetor, não é necessário que ϕ seja injetor.
Observação 5.2. Na demonstração da proposição 4.10 utilizamos o fato de A ter
uma representação injetora π. Neste capı́tulo, consideraremos A como uma subalgebra de B(H), e não faremos distinção entre um elemento a ∈ A e π(a) ∈ B(H).
Definição 5.3. O Produto Cruzado Reduzido, denotado por A or G, é:
A or G = (π̃ × λ)(L)
Para a demonstração dos resultados obtidos no final deste capı́tulo, é
essencial definirmos uma ”esperança condicional”. Vejamos:
Definição 5.4. A Esperança Condicional E
66
Na verdade, vamos definir uma esperança condicional E no produto
cruzado A oG e outra, Er , no produto cruzado reduzido A or G. Para isto, considere
AoG
a
ϕ-
B(⊕Hg )
- ϕ(a)
δee-
B(He )
- δee (ϕ(a))
onde δee (ϕ(a)) é a coordenada ee da matriz de ϕ(a).
Definimos Er em A or G por δee |Aor G e E em A o G por Er ◦ ϕ.
Note que ϕ(a) ∈ A or G para todo a em A o G.
Observando a matriz de (π̃ × λ)(a) na proposição 4.10, temos que Er
age da seguinte forma em (π̃ × λ)(L) ⊆ A or G:
A or G → A ∼
= B(H)
P
Er
π̃ × λ( ag δg ) 7→ π(ae ) ∼
= ae
Note também que E age da seguinte forma em L:
AoG → A∼
= B(H)
P
E
ag δg 7→ π(ae ) ∼
= ae
Observação 5.5. Note que E e Er são contrativos.
Observação 5.6. Para grupos abelianos discretos, E também pode ser construı́do a
partir de uma forma integral. Isto será feito no apêndice.
É interessante saber se Er é fiel, ou seja, se Er (x∗ x) = 0 implica que
x = 0. A resposta é sim, mas para demonstrarmos isto precisamos do seguinte lema:
Lema 5.7. Seja T ∈ B(⊕H) tal que T ≥ 0 e Tgg = 0 ∀g ∈ G. Então T = 0.
Demonstração:
Faremos a demonstração para o caso 2x2. O caso geral é análogo.
Note que
Tgg Tgh
ξg
ξg
Tgg (ξg ) + Tgh (ξh )
ξ
,
=
, g
=
Thg Thh
ξh
ξh
Thg
(ξg )+ Thh (ξh )
ξh
ξ
= hTgh (ξh ), ξg i + hThg (ξg ), ξh i ≥ 0 ∀ g pois T ≥ 0 e Tgg = 0 ∀g ∈
ξh
G.
Chame hTgh (ξh ), ξg i de a, e hThg (ξg ), ξh i de b.
Assim, para ξh := iξh temos que ia − ib ≥ 0 e para ξg := iξg temos que
−ia + ib ≥ 0.
Portanto, ia ≥ ib ≥ ia, logo, ia = ib ⇒ a = b.
67
Então, como a + b ≥ 0 ∀ξh , ξg e a = b temos que a ≥ 0 ∀ξh , ξg , ou
seja,
hTgh (ξh ), ξg i ≥ 0 ∀ξh , ξg
(5.1)
Porém, 5.1 também vale para −ξh e portanto hTgh (ξh ), ξg i ≥ 0 ∀ξh , ξg ,
o que implica que Tgh = 0.
Analogamente se prova que Thg = 0.
Proposição 5.8. Er é fiel em A or G, ou seja, Er (x∗ x) = 0 implica que x = 0.
Demonstração:
Primeiro vamos mostrar que Tgg = πg (Tee ) ∀T ∈ A or G.
Se T ∈ (π̃×λ)(L), lembrando da matriz de T dada em 4.10, o resultado
acima segue.
Se T ∈ A or G então T = lim Ti onde Ti ∈ π̃ × λ(L) e portanto
Tgg = lim(Ti )gg = lim πg ((Ti )ee ) = πg (lim(Ti )ee ) = πg (Tee )
Agora, podemos demonstrar que Er é fiel.
Seja T ∈ A or G, T ≥ 0. (lembre que x∗ x ≥ 0)
Se Er (T ) = 0, então Tee = Er (T ) = 0 e pelo provado acima Tgg =
πg (Tee ) = 0 ∀g. Logo, pelo lema 5.7, segue que T = 0, e Er é fiel.
Observação 5.9. Em A o G, E não precisa ser fiel. Na verdade, E é fiel se e
somente se ϕ é injetora.
Demonstração:
Observe que E(x∗ x) = Er (ϕ(x∗ x)) = Er (ϕ(x)∗ ϕ(x)) e como Er é fiel
temos que E(x∗ x) = 0 se e somente se ϕ(x) = 0
Proposição 5.10. kag δg kAor G = kag δg kAoG = kag k
Primeiro vamos mostrar a proposição para o caso em que g = e, ou
seja, vamos mostrar que
k(π̃ × λ)(ae δe )kAor G = kae k = kae δe kAoG
Lembre que a matriz de (π̃ × λ)(ae δe ) é dada por
e


−e−

−g− 
..
g

.
π(ae )
πg (ae )
..
68
.




Pela proposição 1.23, k(π̃ × λ)(ae δe )k = sup k((π̃ × λ)(ae δe ))gg k
= sup kπg (ae )k ≤ kae k ∀g e como kπ(ae )k = kae k, temos que k(π̃ ×
λ)(ae δe )k = kae k.
Agora, kae δe kAoG = sup{kπ(ae δe )k : π é representação de L} ≤
≤ kae δe k = kae k.
Mas, (π̃ × λ) é representação de L, e kπ̃ × λ(ae δe )k = kae k.
Logo, kae δe kAoG = kae k
Agora estamos em condições de demonstrar a proposição. Note que:
kag δg k2 = k(ag δg )(ag δg )∗ k = k(ag δg )(αg−1 (a∗g )δg−1 k
= kαg [αg−1 (ag )αg−1 (a∗g )]δe k = kag a∗g δe k
= kag a∗g k pelo feito acima para o caso g = e
= kag k2
Seja α a ação proveniente de uma ação parcial θ = ({∆t }t∈G , {ht }t∈G )
em um espaço localmente compacto de Hausdorff conforme o exemplo 4.4, ou seja,
α : Dt−1 → Dt
Dt = C0 (∆t ) e t
f 7→ f ◦ h−1
t
Queremos encontrar propriedades de C0 (X) or G a partir de propriedades da ação parcial θ = ({∆t }t∈G , {ht }t∈G ). Uma das propriedades de θ em
que estamos interessados é quando ela é topologicamente livre ou não.
Definição 5.11. A ação parcial θ é Topologicamente livre se, ∀t ∈ G \ {e} o
conjunto Ft := {x ∈ ∆t−1 : ht (x) = x} tem interior vazio.
Observação 5.12. Ft pode não ser fechado em relação a X, porém é fechado relativo
a ∆t−1 . Ainda, Ft = Ft−1
Demonstração:
Por exemplo, se ht = Id. então Ft = ∆t−1 que não precisa ser fechado.
Agora, seja xi ∈ Ft tal que xi → x ∈ ∆t−1 . Então ht (xi ) → ht (x) e
ht (xi ) = xi → x. Logo ht (x) = x.
Claramente Ft = Ft−1 .
Proposição 5.13. A ação parcial θ em X é topológicamente livre se e somente se
n
[
para todo subconjunto finito {t1 , t2 , ..., tn } de G\{e}, o conjunto
Fti tem interior
i=1
vazio.
Demonstração:
Conforme a definição 1.37, é suficiente mostrar que ∀t ∈ G \ {e} o
conjunto Ft é raro. Depois, basta usar a proposição 1.38 que nos diz que a união
finita de conjuntos raros é um conjunto raro.
69
Como Ft é fechado relativo a ∆t−1 , podemos escrever Ft = C ∩ ∆t , com
C um fechado em X
Suponha que ∃V ⊂ Ft aberto.
Então,
V ⊂ Ft = C ∩ ∆t ⊂ C ∩ ∆t = C ∩ ∆t
Assim,
V ∩ ∆t ⊂ C ∩ ∆t = Ft
Portanto, como V ∩ ∆t é aberto contido em Ft e θ é topologicamente
livre, temos que V ∩ ∆t = ∅
Agora, já que V e ∆t são abertos disjuntos, cada um é disjunto do
fecho do outro, ou seja, V ∩ ∆t = ∅ e V ∩ ∆t = ∅.
Mas,V ⊂ Ft ⊂ C ∩ ∆t ⊂ ∆t .
Então V = ∅
Logo, Ft é raro.
Para obtermos o teorema principal desta dissertação, precisamos primeiro
de alguns resultados:
Proposição 5.14. Seja t ∈ G \ {e}, f ∈ Dt e x0 ∈
/ Ft . Então, ∀>0, ∃ g ∈ C0 (X)
tal que:
i) g(x0 ) = 1,
ii) kg(f δt )gk ≤ ,
iii) 0 ≤ g ≤ 1
Demonstração:
Dividiremos a prova em dois casos, dependendo se x0 ∈ dom(ht−1 ) =
∆t ou não:
i x0 ∈
/ ∆t Seja K := {x ∈ ∆t : |f (x)| ≥ }
Estamos na situação da proposição 1.51. Logo K é um subconjunto compacto
de ∆t e x0 ∈
/ K. Ainda, pela proposição 1.43,
∃ g ∈ C0 (X) tal que 0 ≤ g ≤ 1, g(x0 ) = 1 e g(K) = 0
Ainda,
kgδ0 (f δt )gδ0 k ≤ kgδ0 f δt k kgδ0 k ≤ kgδ0 f δt k = kαe (αe−1 (g)f )δet k = kgf δt k


x∈K
0
= kgf k ≤ pois, gf = 0
x∈
/K


≤ x ∈ ∆t \ K
70
ii x0 ∈ ∆t
Então ht−1 (x0 ) esta bem definido e é diferente de x0 (x0 ∈
/ Ft ).
Como X é Hausdorff, existem abertos V1 e V2 tais que V1 ∩ V2 = ∅, x0 ∈ V1 e
ht−1 (x0 ) ∈ V2 .
Podemos assumir que V1 ⊂ ∆t e V2 ⊂ ∆t−1
Seja V := V1 ∩ ht (V2 ).
Como x0 ∈ V ⊂ V1 e ht−1 (V ) ⊂ V2 , segue que
ht−1 (V ) ∩ V = ∅
(5.2)
Usando a proposição 1.43 para x0 e X \ V temos que existe g ∈ C0 (X) tal que
0 ≤ g ≤ 1, g(x0 ) = 1 e g(X \ V ) = 0.
Falta mostrar que kgδe (f δt )gδe k ≤ .
Note que gδe (f δt )gδe = (αe (αe−1 (g)f )δet ) · (gδe ) = gf δt · gδe = αt (αt−1 (gf )g)δt
Então, como suporte de αt−1 (gf ) ⊆ ht−1 (V ) (faremos a demonstração logo
abaixo) e suporte de g ⊆ V , 5.2 implica que gδe (f δt )gδe = 0.
Suporte de αt−1 (gf ) ⊆ ht−1 (V ) pois, se x ∈ supp(αt−1 (gf )), então αt−1 (gf ) |x 6=
0
Mas, 0 6= αt−1 (gf ) |x = gf (ht (x)) = g(ht (x)) · f (ht (x)).
Logo g(ht (x)) 6= 0, o que implica em ht (x) ∈ V ⇒ x ∈ ht−1 (V ).
Lema 5.15. Se (C0 (X), G, α) é uma ação parcial topologicamente livre, então ∀c ∈
C0 or G e ∀ > 0, existe h ∈ C0 (X) tal que
i khE(c)hk ≥ kE(c)k − ii khE(c)h − hchk ≤ iii 0 ≤ h ≤ 1
Demonstração:
X
Suponha que c é uma combinação linear finita da forma c =
at δt ,
t∈Γ
onde Γ é um subconjunto finito de G
Neste caso, Er (c) = ae e definimos ae = 0 se e ∈
/ Γ.
Seja V = {x ∈ X : |ae (x) > kae k − }.
Note que V é diferente de vazio pela definição de norma e aberto.
Então, ∃ x0 ∈ V tal que x0 ∈
/ Ft ∀t ∈ Γ \ {e} pois,[se supormos por
absurdo que ∀x ∈ V , x ∈ Ft para algum t ∈ Γ temos que V ⊂
Ft . Porém V é
t∈Γ
aberto e isto contraria a proposição 5.13 pois α é topologicamente livre.
71
Assim, com at no lugar de f na proposição 5.14, segue que ∀ > 0 e
∀t ∈ Γ existem funções ht satisfazendo:
kht (at δt )ht k ≤
ht (x0 ) = 1,
Seja h =
Y
|Γ|
e 0 ≤ ht ≤ 1
ht
t∈Γ\{e}
Então
i khae hk = sup|hae h(x)| ≥ |h(x0 )ae (x0 )h(x0 )| = |ae (x0 )| > kae k − X
X
ii khae h − hchk = khae h − h
hat δt hk
at δt hk = k
t∈Γ
≤
khat δt hk =
X
kht at δt ht k pois 0 ≤ ht ≤ 1∀t
t∈Γ\{e}
≤
X
t∈Γ\{e}
X
k(
t∈Γ\{e}
Y
ht )at δt
t∈Γ\{e}
Y
ht k
t∈Γ\{e}
t∈Γ\{e}
<
iii Ok.
Assim a proposição esta provada para todo elemento da forma
X
at δt ,
t∈Γ
onde Γ é um subconjunto finito de G. Usando o fato de que estes elementos formam
um conjunto denso em A or G vamos provar a proposição para todo elemento d ∈
A or G.
Seja d ∈ A or G. X
at δt tal que kd − ck < 3
Então, existe c =
t∈Γ
Pare este c, a proposição vale, e portanto para
i, ii, iii. Vamos mostrar que h satisfaz i, ii, iii, para d.
3
existe h satisfazendo
i Análogo ao feito anteriormente para c. Apenas note que Er (d) ∈ C0 (X).
ii khEr (d)h − hdh| = khEr (d − c)h + hEr (c)h − hdh + hch − hchk
= khEr (d − c)h + hEr (c)h − hch + h(c − d)hk
≤ khEr (d − c)k + kh + hEr (c)h − hchk + kc − dk
≤
3
+ 3 +
3
=
iii ok
Com estes resultados, estamos em condições de provar o teorema principal deste trabalho, que vai nos dar algumas propriedades de C0 (X) or G.
72
Teorema 5.16. [1] Suponha (C0 (X), G, α) é uma ação parcial topologicamente livre.
Se I é um ideal de A or G com I ∩ C0 (X) = {0}, então I = {0}. Uma representação
do produto cruzado reduzido C0 (X) or G é fiel se e somente se é fiel em C0 (X).
Demonstração:
q
rG
Sejam q : C0 (X) or G → C0 (X)o
a aplicação quociente e a ∈ I um
I
elemento positivo (a ≥ 0). É claro que q(a) = 0.
Assim, dado > 0, escolha h ∈ C0 (X) satisfazendo as condições i, ii,
iii, do lema 5.15.
Então,
kq(hEr (a)h)k = kq(hEr (a)h) − q(hah)k pois hah ∈ I
= kq(h(Er (a) − a)h)k ≤ pela proposição 5.15.
Como I ∩ C0 (X) = 0, q é injetor em C0 (X) e pela proposição 1.14, q é
isometrico em C0 (X).
Logo,
khEr (a)hk = kq(hEr (a)h)k ≤ e pelo lema 5.15,
khEr (a)hk ≥ kEr (a)k − Assim, kEr (a)k ≤ 2 ∀ e então Er (a) = 0.
Como Er é fiel no produto cruzado reduzido, Er (a) = 0 implica que
a = 0 e portanto I = {0}.
Agora, seja π : C0 or G → B(H) um representação de C0 or G.
i Se π é injetora então π é injetora em C0 (X).
ii Se π é injetora em C0 (X)
Sabemos que ker(π) é um ideal e ker(π) ∩ C0 (X) = {0}. Então, pelo provado
acima, temos que ker(π) = {0} e π é injetora.
Nosso objetivo final é poder dizer quando o produto cruzado reduzido
C0 (X) or G é simples, ou seja, não possui ideais bilaterais fechados. Para isto vamos
precisar da definição de uma ação parcial minimal.
Definição 5.17. Um subconjunto V de X é invariante pela ação parcial θ em X
se hs (V ∩ ∆s−1 ) ⊂ V ∀s ∈ G. Um ideal J em C0 (X) é invariante pela ação parcial
correspondente α em C0 (X) se αt (J ∩ Dt−1 ) ⊂ J ∀t ∈ G
Proposição 5.18. Se U é um conjunto aberto invariante, então o ideal associado
C0 (U ) é invariante, e reciprocamente, para todo ideal invariante, existe um conjunto
aberto invariante associado.
73
Demonstração:
Primeiro suponha U invariante.
Devemos mostrar que αt (C0 (U ) ∩ Dt−1 ) ⊆ C0 (U ) ∀t ∈ G.
Mas C0 (U ) ∩ Dt−1 = C0 (U ) ∩ C0 (∆t−1 ) = C0 (U ∩ ∆t−1 ) pela proposição
1.49.
Assim, vamos mostrar que αt (C0 (U ∩ ∆t−1 )) ⊆ C0 (U )
Seja f ∈ C0 (U ∩ ∆t−1 ).
Então αt (f ) = f ◦ ht−1 ∈ C0 (U ), pois
- É contı́nua já que αt é a composição de duas funções contı́nuas.
- Dado > 0, como f ∈ C0 (U ∩ ∆t−1 ), existe um compacto K contido
em U ∩ ∆t−1 tal que para todo x ∈ (U ∩ ∆t−1 ) \ K, |f (x)| < .
Assim, ht (K) é compacto e ht (K) ⊂ U pois U é invariante.
Ainda, se x ∈ U \ ht (K) então |αt (f )(x)| = |f (ht−1 (x)| < pois
ht−1 (x) ∈
/ K.
Portanto C0 (U ) é invariante.
Agora, suponha que I é um ideal invariante.
Pelo Exercı́cio 3 capı́tulo 11 de [12], sabemos que I = C0 (U ), onde U
é aberto.
Vamos mostrar que U é invariante, ou seja ht (U ∩ ∆t−1 ) ⊂ U ∀t ∈ G.
Seja x ∈ U ∩ ∆t−1 . Suponha que ht (x) ∈
/ U.
Como X é localmente compacto, por [15], página 198, existe uma vizinhança compacta K de x, tal que K ⊆ U . Vamos chamar o interior de K por
int(K)
Pelo teorema de Urysohn, existe f ∈ C(X) tal que f |x = 1 e f |int(K)c =
0.
Note que f ∈ C0 (U ).
Como I é invariante, αt (f ) ∈ I, ou seja, f ◦ ht ∈ C0 (U ) ∀t ∈ G.
Em particular, f ◦ ht−1 ∈ C0 (U ). Mas, note que
0 = f ◦ ht−1 (ht (x)) = f (x) = 1
o que é um absurdo, proveniente da hipótese de que ht (x) ∈
/ U.
Proposição 5.19. Se V é um subconjunto invariante de X então V também é invariante.
Demonstração:
Queremos mostrar que hs (V ∩ ∆s−1 ) ⊂ V ∀s ∈ G.
Seja v ∈ V ∩ ∆s−1 . Então v ∈ ∆s−1 e v = lim vi , onde vi ∈ V .
Como ∆s−1 é aberto, a partir de algum ı́ndice os vi tem que pertencer
a ∆s−1 . Vamos então supor, sem perda de generalidade, que vi ∈ ∆s−1 .
74
Agora notemos que hs (v) = hs (lim vi ) = lim hs (vi ). Como V é invariante, temos que hs (vi ) ∈ V ∀i e portanto hs (v) ∈ V .
Proposição 5.20. Um subconjunto V ⊆ X é invariante se e somente se seu complementar também é.
Demonstração:
Seja V um subconjunto invariante de X. Então hs (V ∩ ∆s−1 ) ⊂ V ∀s ∈
G.
Suponha que V c não é invariante. Então existem t ∈ G e x ∈ V c ∩∆t−1
tais que ht (x) ∈ V .
Note que ht (x) ∈ V ∩∆t e como V é invariante temos que ht−1 (ht (x)) ∈
V . Mas ht−1 (ht (x)) = x e portanto x ∈ V o que é uma contradição.
Definição 5.21. A ação parcial θ em X é minimal se não existem subconjuntos
abertos de X, θ invariantes; a não ser ∅ e X, ou equivalentemente se a ação parcial
α em C0 (X) não tem ideais próprios invariantes não triviais.
Observação 5.22. Na definição acima, podemos substituir subconjuntos abertos de
X por subconjuntos fechados de X.
No próximo capı́tulo estaremos interessados em mostrar que a ação
parcial proveniente do Hodômetro, 4.15, é minimal. Para isto vamos precisar de
uma equivalência para o conceito de minimalidade através de órbitas. Vejamos:
Definição 5.23. Seja θ = ({∆t }t∈G , {ht }t∈G ) uma ação parcial em X. A Órbita de
um elemento x ∈ X é definida como o conjunto
O(x) = {hs (x) : s ∈ G e ∆s−1 3 x}
Proposição 5.24. Uma ação parcial θ em X é minimal se e somente se O(x) é
densa em X para todo x ∈ X.
Demonstração:
Suponhamos que θ é minimal.
Seja x ∈ X. Vamos mostrar O(x) é invariante, isto é, hs (O(x)∩∆s−1 ) ⊆
O(x) ∀s ∈ G.
Seja ht (x) ∈ O(x) ∩ ∆s−1 . Então ht (x) ∈ ∆s−1 ∩ ∆t e x ∈ ∆t−1 .
Portanto
x ∈ ht−1 (∆s−1 ∩ ∆t ) = ∆t−1 ∩ ∆t−1 s−1
Logo hs (ht (x)) = hst (x) e portanto pertence a órbita de x.
75
Mostramos então que O(x) é invariante. Pela proposição 5.19, O(x)
também é invariante. Como θ é minimal segue que O(x) = X.
Suponhamos agora que O(x) é densa em X para todo x.
Seja V um subconjunto fechado invariante de X. Se V 6= ∅ então existe
x∈V.
Como V é invariante, O(x) ⊆ V e portanto O(x) ⊆ V = V .
Mas, por hipótese, O(x) = X e então X ⊆ V . Assim,
X=V
e θ é minimal.
Lema 5.25. Seja I ideal fechado de A or G. Então A ∩ I E A é invariante.
Demonstração:
Queremos mostrar que αg (A ∩ I ∩ Dg−1 ) ⊆ A ∩ I ∀g ∈ G
Seja a ∈ A ∩ I. (a ∼
= aδe )
Vamos mostrar que se a ∈ Dg−1 então αg (a) ∈ A ∩ I.
Sejam ui uma aproximação da unidade em Dg e vj uma aproximação
da unidade em Dg−1 .
Note que (ui δg )(aδe )(vj δg−1 ) ∈ A ∩ I.
Ainda, (ui δg )(aδe )(vj δg−1 ) = αg (αg−1 (ui )a)δg vj δg−1
= (ui αg (a)δg )vj δg−1 = αg [αg−1 (ui αg (a))vj ]δe
= ui αg (a)αg (vj )δe ∈ A ∩ I
Assim, limj→∞ limi→∞ ui αg (a)αg (vj )δe ∈ A ∩ I.
Mas limj→∞ limi→∞ ui αg (a)αg (vj )δe = limj→∞ αg (avj )δe
= αg (a)δe .
Portanto, αg (a) ∈ A ∩ I.
Observação 5.26. No lema acima, quando falamos de A, usamos a indentificação
A∼
= Aδe .
Corolário 5.27. Se uma ação parcial é topologicamente livre e minimal então o
produto cruzado reduzido associado é simples.
Demonstração:
Seja I um ideal fechado de C0 (X) or G.
Pelo lema 5.25, I ∩ C0 (X) or G é invariante e como a ação é minimal,
I ∩ C0 (X) or G = {0}.
Logo, pelo teorema 5.16, temos que I = {0}.
76
Capı́tulo 6
Aplicações dos Resultados do
Capı́tulo Anterior para alguns
casos particulares
Sejam X um espaço de Hausdorff compacto, σ um homeomorfismo em
β : C(X) → C(X)
X, σ : X → X e β um automorfismo em C(X) definido por
f 7→ f ◦ σ −1
Vamos definir uma ação do grupo dos inteiros Z em C(X) por
α : Z → Aut(C(X))
n 7→ β n
Agora podemos construir C(X) oα Z.
Nosso objetivo é mostrar que se (X, σ) é topologicamente livre e minimal, então C(X) oα Z é simples.
Definição 6.1. (X, σ) é topologicamente livre se o conjunto Fn = {x ∈ X : σ n x = x}
não contem ponto interior para todo n.
Definição 6.2. (X, σ) é minimal se e somente se ∀F ⊆ X, F fechado, invariante
por σ (isto é, σ(F ) = F ), então F = ∅ ou F = X.
Vamos agora, considerar σ como uma ação parcial θ de Z em X onde
∆n = X ∀n e hn = σ n ∀n ∈ Z.
Proposição 6.3. Suponhamos que (X, σ) seja topologicamente livre e minimal. Então
θ é topologicamente livre e minimal conforme as definições 5.13 e 5.21 do capı́tulo
anterior.
Demonstração:
É claro que se (X, σ) é topologicamente livre então θ é topologicamente
livre.
Agora suponha que (X, σ) é minimal.
Seja U um aberto invariante de X conforme a definição 5.17.
Observe que hn (U ∩ ∆−n ) = hn (U ∩ X) = hn (U ) ∀n ∈ Z.
77
Então, como U é invariante, temos que hn (U ) ⊂ U ∀n ∈ Z. Em
particular, h−n (U ) ⊂ U , o que implica que U ⊂ hn (U ). Logo hn (U ) = U ∀n ∈ Z.
Finalmente, note que hn (X \ U ) = X \ hn (U ) = X \ U . Logo, X \ U é
invariante por hn para todo n ∈ Z e como (X, σ) é minimal, temos que X \ U = ∅ ou
X \ U = X.
Assim, U = ∅ ou U = X.
Podemos agora utilizar os resultados do capı́tulo anterior, para a ação
parcial proveniente da ação θ como no exemplo 4.4. Observe porém, que nossos
resultados são para o produto cruzado reduzido e para C0 (X).
Como estamos interessados no caso em que X é compacto, temos que
C0 (X) = C(X). Vamos mostrar que o produto cruzado reduzido C(X)or Z é isomorfo
ao produto cruzado C(X) o Z e portanto os resultados do capı́tulo anterior podem
realmente ser aplicados para C(X) o Z. Para fazer esta demonstração, precisamos
primeiro da seguinte proposição:
Proposição 6.4. A esperança condicional E é fiel em A o Z, onde A é uma C*algebra.
Demonstração:
Seja a ∈ A o Z tal que E(a∗ a) = 0 e seja ψ um funcional positivo em
A o Z.
Utilizando as notações do apêndice e lembrando a definição 7.12, temos
R 2π
1
∗
∗
que E(a a) = 2π
α
g
eiθ (a a) dθ e portanto,
0
Z 2π
Z 2π
∗
∗
0=ψ
α
g
ψ α
g
g
eiθ (a a) dθ =
eiθ (a) α
eiθ (a) dθ
0
0
∗
∗
o que implica que ψ α
g
eiθ (a a) = 0 ∀θ, pois ψ é um funcional positivo (ψ(a a) ≥
0 ∀a).
Para θ = 0 temos que ψ(a∗ a) = 0 para todo funcional positivo. Pelo
teorema 12.39 da página 336 de [12], existe um funcional positivo Ψ em A o Z tal
que Ψ(a∗ a) = kak2 . Como Ψ(a∗ a) = 0 segue que a = 0.
Proposição 6.5. Se A é uma C*-algebra então existe um isomorfismo entre A o Z
e A or Z.
Demonstração:
Do capı́tulo anterior, temos um homomorfismo sobrejetor
ϕ
ϕ : A o Z → A or Z
Vamos mostrar que ϕ é injetor e portanto ϕ é um isomorfismo. Lembre
que E é definido como E = Er ◦ ϕ.
78
Seja b ∈ A o Z tal que ϕ(b) = 0. Então
0 = Er (ϕ(b)∗ ϕ(b)) = Er (ϕ(b∗ b)) = E(b∗ b)
e pela proposição anterior b = 0.
Podemos agora enunciar a
Proposição 6.6. Se (X, σ) é topologicamente livre e minimal e α é a ação proveniente de σ como no inı́cio do capı́tulo, então o produto cruzado C(X)oα Z associado
é simples.
Demonstração:
Segue diretamente dos resultados acima e do corolário 5.27.
Voltando ao exemplo 4.14, onde X = {1, 2, .., n}, ∆−j = {i ∈ X :
i + j ∈ X} e hj (i) = i + j, se mostrarmos que a ação parcial θ = ({∆t }t∈G , {ht }t∈G )
é topologicamente livre e minimal, conforme as definições 5.13 e 5.21, então pelo
corolário 5.27, C(X) or Z é simples e pela proposição 6.5 C(X) or Z ∼
= C(X) o Z ∼
=
Mn (C). Vejamos:
Proposição 6.7. Nas notações do exemplo 4.14 a ação parcial θ = ({∆t }t∈G , {ht }t∈G )
é topologicamente livre e minimal.
Demonstração:
Note que Ft := {x ∈ ∆t−1 : ht (x) = x} = ∅ ∀t ∈ Z \ {e} e portanto θ
é topologicamente livre.
Agora, seja U = {i, . . . , j} um subconjunto de X tal que U 6= X. Seja
k∈
/ U . Então hk−j (j) = k e portanto U não é invariante. Observe que ∆j−k = {i ∈
X : i − j + k ∈ X} e portanto j ∈ ∆j−k .
Logo não existem subconjuntos invariantes de X e θ é topologicamente
livre.
Proposição 6.8. A ação parcial θ = ({∆t }t∈G , {ht }t∈G ) no exemplo do Hodômetro,
4.15, é topologicamente livre e minimal. Portanto o produto cruzado associado é
simples.
Demonstração:
É claro que θ é topologicamente livre.
Para mostrarmos que θ é minimal vamos usar a proposição 5.24, ou
seja, vamos mostrar que O(x) é densa em X para todo x ∈ X.
79
Lembre que os elementos de X são da forma x = (x1 , . . . , xn , . . . ) onde
xi = 0 ou xi = 1 e pelo feito na proposição 4.16, sabemos que uma vizinhança V de
x é da forma
V = {y ∈ X : yi = xi ; i = 1..n}
Seja x ∈ X. Vamos então mostrar que sua órbita é densa.
Seja z ∈ X outro ponto qualquer de X e seja U = {y ∈ X : yi = zi ; i =
1..n} uma vizinhança qualquer de z.
Queremos mostrar que existe um elemento da órbita de x que pertence
a U.
Aplicando h−1 sucessivamente em x (fazendo o hodômetro voltar ao
x0 = (0, . . . , |{z}
0 , xn+1 , . . . )
passado), podemos voltar ao ponto
, ou seja,
n
(
0 j5n
(x0 )j =
xj j > n
Agora, fazendo o hodômetro andar para frente, ou seja, aplicando h
sucessivamente em x0 um número finito de vezes, conseguimos um ponto da órbita
de x que pertence a U .
80
Conclusões
O resultado central da nossa dissertação de mestrado nos diz que se
uma ação parcial é topologicamente livre e minimal, então o produto cruzado reduzido associado é simples. Agora, sabendo que o produto cruzado reduzido associado é
simples, o que podemos dizer sobre a ação parcial? É fácil mostrar que ela é minimal, veja por exemplo [8], porém, mesmo no caso particular de uma ação global, não
podemos afirmar se ela é topologicamente livre ou não. Este é apenas um exemplo
da dificuldade que temos para afirmarmos alguma coisa de interesse sobre a ação
parcial que originou o produto cruzado reduzido. Portanto, a tarefa de obtermos
resultados sobre o produto cruzado reduzido associado a uma ação parcial, que possam ser ”traduzidos”em resultados sobre a ação parcial é um problema em aberto e
muito interessante.
Também é interessante sabermos quando o produto cruzado reduzido
de uma C*-algebra A por um grupo G é isomorfo ao produto cruzado. Como vimos no
capı́tulo 6, isto está diretamente ligado ao fato da esperança condicional E ser fiel ou
não, o que conforme visto no apêndice, depende do grupo G. A propriedade do grupo
G de induzir uma esperança condicional fiel ou não chamamos de amenabilidade. As
questões sobre amenabilidade de grupos surgiram naturalmente, porém estas não
foram o objeto do presente trabalho, ficando seu estudo adiado para o futuro...
Finalmente, concluı́mos que não é fácil utilizarmos a relação entre a
teoria de sistemas dinâmicos e C*-algebras, mas quando obtemos resultados, eles são
recompensadores. Ainda, como esta é uma área relativamente nova, ainda temos
muito o que estudar...
81
Apêndice - A Construção de E na
forma integral
No capı́tulo 6 foi necessário utilizarmos uma construção de E que não
havia sido introduzida antes. Neste apêndice, faremos esta construção de E em AoZ,
onde A é uma C*-algebra e Z é o grupo dos inteiros.
Seja z ∈ {z ∈ C : |z| = 1} = S 1 . Defina
α
czP: l1 (Z, A) → lP
1 (Z, A)
∞
∞
n
a
δ
→
7
−∞ n n
−∞ z an δn
Proposição 7.9. α
cz é um automorfismo para todo z ∈ S 1 .
Demonstração:
∞
X
Sejam a =
∞
X
an δn e b =
−∞
bn δn . Vamos denotar [c
αz (a)]k como a
−∞
coordenada k de α
cz (a).
α
cz (a)c
αz (b) = α
cz (ab)
Note que
P
P
[c
αz (a)c
αz (b)]k = n∈Z [c
αz (a)]n αn ([c
αz (b)]k−n ) = n∈Z z n an αn (z k−n bk−n )
P
P
= n∈Z z n z k−n an αn (bk−n ) = n∈Z z k an αn (bk−n )
Por outro lado
[c
αz (ab)]k = z k (ab)k = z k
X
an αn (bk−n )
n∈Z
α
cz (a)∗ = α
cz (a∗ )
Observe que
[c
αz (a)∗ ]k = αk ([c
αz (a)]∗−k ) = αk ((z −k a−k )∗ ) = αk (z −k (a−k )∗ ) = αk (z k (a−k )∗ )
Por outro lado,
[c
αz (a∗ )]k = z k [a∗ ]k = z k αk (a∗−k ) = αk (z k (a−k )∗ )
kc
αz (a)k = kak
kc
αz (a)k =
X
n∈Z
kz n an k =
X
n∈Z
82
|z|n kan k =
X
n∈Z
kan k = kak
α
cz é sobrejetora
∞
X
Seja b =
bn δn ∈ l1 (Z, A).
−∞
Tome a =
∞
X
z −n bn δn . Note que a ∈ l1 (Z, A), pois
−∞
kak =
X
X
kz −n bn k =
n∈Z
|z|n kbn k =
n∈Z
X
kbn k = kbk < ∞
n∈Z
É claro que α
cz (a) = b
Queremos estender α
cz para A o Z. Se i é a inclusão de l1 (Z, A) em
AoZ, então i◦ α
cz é um homomorfismo contrativo e pela proposição 1.11 existe único
*-homomorfismo α
fz tal que o diagrama abaixo comuta:
l1 (Z, A)
? .....
α
cz....
.
iAoZ
..
.*
.
.
.
....
l1 (Z, A) ⊂
..
α
f
.z...
.
.
.
..
...
AoZ
Nosso próximo passo é mostrar que α
fz é um automorfismo em A o Z
e que a aplicação
S 1 → aut(A o Z)
z 7→ α
fz
é um homomorfismo. Vejamos:
Proposição 7.10. α
fz ◦ α
fw = α
g
f1 = IAoZ
zw e α
Demonstração:
X
Seja a =
an δn pertencente a l1 (Z, A). Então
n∈Z
P
P
α
fz ◦ α
fw (a) = α
fz i ◦ α
cw ( an δn ) = α
fz i( wn an δn )
P
P
P
=i◦α
cz ( wn an δn ) = i( z n wn an δn ) = i( (zw)n an δn )
=i◦α
d
g
zw (a) = α
zw (a)
Portanto, α
fz ◦ α
fw (a) = α
g
zw (a) para todo a ∈ l1 (Z, A) e como l1 (Z, A)
é denso em A o Z, temos que α
fz ◦ α
fw (a) = α
g
zw (a) em A o Z.
Agora, note que α
f1 (a) = i ◦ α
c1 (a) = i(a) para todo a ∈ l1 (Z, A). Logo,
como l1 (Z, A) é denso em A o Z, temos que α
f1 = I em A o Z.
83
Finalmente, observe que α
fz ◦ αg
f1 = I e analogamente αg
αz =
z −1 = α
z −1 ◦f
I. Assim, α
fz é bijetora e portanto é um automorfismo.
Estamos prestes a definir E na sua forma integral, mas antes precisamos de mais uma proposição,
S1 → A o Z
é contı́nua.
z 7→ α
fz (x)
Proposição 7.11. Para todo x ∈ A o Z, a função
Demonstração:
Seja a ∈ A o Z um elemento da forma
N
X
an δn . Observe que a é um
−N
somatório finito e α
fz (a) =
N
X
z n an δn .
−N
Portanto, a aplicação z → α
fz (a) é contı́nua para todo a pertencente a
N
X
AZ, o conjunto das somas finitas da forma
an δn , que é denso em l1 (G, A). Como
−N
l1 (G, A) é denso em AoZ, temos que AZ também é denso em AoZ e pela proposição
1.24 segue que a aplicação z → α
fz (x) é contı́nua para todo x ∈ A o Z.
Vejamos a definição de E na forma integral:
Definição 7.12. Seja A uma C*-algebra. Defina F de A o Z em A o Z no elemento
x ∈ A o Z por
Z 2π
1
F (x) =
α
g
eiθ (x) dθ
2π 0
Falta apenas verificar que F coincide com o E definido em 5.4. Vejamos:
Proposição 7.13. Se A é uma C*-algebra então a aplicação F de A o Z em A o Z
definida acima, é igual a esperança condicional E definida em 5.4.
Demonstração:
Primeiro note que F é contı́nuo, pois
Z 2π
Z 2π
1
1
kF (x)k =
kg
αeiθ (x)k dθ =
kxk dθ = kxk
2π 0
2π 0
Observe que nos elementos da forma an δn ∈ A o Z, F age da seguinte
forma:
F (an δn ) =
=
1
2π
R 2π
0
1
2π
R 2π
0
α
g
eiθ (an δn ) dθ =
einθ an δn dθ =
1
2π
R 2π
0
84
1
2π
einθ
R 2π
α
d
eiθ (an δn ) dθ
(
ae δe n = 0
dθ an δn =
0
n=
6 0
0
Logo, F
X
n∈Z
an δn
= ae δe e portanto F = E em l1 (Z, A). Como
l1 (Z, A) é denso em A o Z, segue que F = E em A o Z.
Observação 7.14. A construção de E descrita acima pode ser generalizada para
um grupo discreto abeliano G.
85
Referências Bibliográficas
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Generated By Partial Isometries, 1997, revised 1999.
[2] R. Exel, Twisted Partial Actions, A Classification or Regular C*-Algebraic
Bundles, Proc. London Math. Soc. (3) 74, no. 2, pp. 417-443, 1997.
[3] R. Exel, Circle Actions on C*-Algebras, Partial Automorphisms, and a Generalized Pimsner-Voiculescu Exact Sequence, J. Functional Analysis 122, pp.
361-401, 1994.
[4] R. Exel, Aproximately Finite C*-Algebras and Partial Automorphisms, Mathematica Scandinavica 77, pp. 281-288, 1995.
[5] R. Exel, Amenability for Fell Bundles, J. reine angew. Math. 492, pp. 41-73,
1997.
[6] R. Exel, Cuntz-Krieger Algebras for Infinite Matrices, J. reine angew. Math.
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[7] K. McClanahan, K-Theory for Partial Crossed Products by Discret Groups,
J. Functional Analysis 130, pp. 77-117, 1995.
[8] J. Tomiyama, The Interplay Between Topological Dynamics and Theory Of C*Algebras, Lecture Notes Series, number 2, Research Institute of Mathematics,
Global Analysis Research Center, Seoul National University, Korea, 1992.
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Topológicos, Dissertação de Mestrado, Instituto de Matemática e Estatı́stica,
Universidade de São Paulo, 1997.
[10] J. Dixmier, C*algebras, segunda edição, North-Holland, 1982.
[11] N. Bourbaki, General Topology, part 2. Elements of Mathematics, AddisonWesley Publishing Company, 1966.
[12] W. Rudin, Functional Analysis - Second Edition. International Series in Pure
and Applied Mathematics, McGraw-Hill, 1991.
[13] G. K. Pedersen, Analysis Now. Graduate Texts in Mathematics, Springer,
1998.
86
[14] G. J. Murphy, C*-Algebras and Operator Theory. Academic Press, 1990.
[15] E. L. Lima, Elementos de Topologia Geral. Ao Livro Técnico S. A., 1970.
[16] E. Kreyszig, Introductory Functional Analysis With Applications. John Wiley
& Sons, 1989.
87

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