CEDERJ MÉTODOS DETERMINÍSTICOS - AP1

CEDERJ
MÉTODOS DETERMINÍSTICOS - AP1 - 2012.1
Questão 1 (1,5 pontos). Uma empresa teve seus lucros anuais reduzidos em 20% no ano
de 2011 (lucrou neste ano 20% a menos do que em 2010). Para compensar esta redução nos
lucros, a empresa está realizando cortes de gastos e tentando atingir novos consumidores.
Para que os ganhos de 2012 voltem ao mesmo nı́vel que os de 2010, os lucros de 2012 devem
ser quantos porcento superiores aos de 2011?
Solução:
Vamos chamar de L o lucro obtido em 2010. Em 2011 a empresa lucrou apenas 0, 8L
(pois lucrou 20% a menos que no ano anterior). Para que os ganhos voltem a L em 2012, a
empresa deve lucrar 0,2L a mais que no ano anterior (quando lucrou 0, 8L). Como sabemos,
0,2L é um quarto ou 25% de 0, 8L. Logo os lucros de 2012 devem ser 25% superiores aos de
2011 para retornar ao mesmo nı́vel de 2010.
Questão 2 (3 pontos). Sejam A = {10, 11} e B = {11, 12} Em cada item abaixo, escreva
por extenso a proposição dada, decida se é verdadeira ou falsa e justifique suas resposta
analisando os elementos dos conjuntos em questão.
a) ∃x ∈ A, ∃y ∈ B; x = y
Existe x pertencente a A e existe y pertencente a B tais que x é igual a y.
Proposição verdadeira. Basta tomar x = 11 e y = 11.
b) ∀x ∈ A, ∀y ∈ B, x < y;
Para todo x pertencente a A e para todo y pertencente a B, x é menor que y.
Proposição falsa. Tomando x = 11 e y = 11, vemos que não vale x < y.
1
c) ∀x ∈ A, ∃y ∈ B; y = x + 1;
Para todo x pertencente a A, existe y pertencente a B tal que y é igual a x mais um.
Proposição verdadeira. Para x = 10 tomamos y = 11 e temos que x = y + 1. Para
x = 11 tomamos y = 12 e temos que x = y + 1.
d) ∃y ∈ B; ∀x ∈ A, y = x + 1;
Existe y pertencente a B tal que para todo x pertencente a A, y é igual a x mais um.
Proposição falsa. Vemos que y = 11 não é igual a x + 1 para todo x em A (basta tomar
x = 11). Também o y = 12 não satisfaz a proposição, já que para x = 10 não vale
x + 1 = 12.
Questão 3 (3 pontos). Tome como premissas as seguintes proposições sobre um conjunto
C:
1) C ⊂ N;
2) Se 5 é elemento de C, então todos os naturais múltiplos de 5 também são elementos
de C;
3) Se 10 é elemento de C, então 20 não é elemento de C;
4) Se 3 é elemento de C então 5 também pertence a C;
A partir das premissas dadas, indique se a proposição em cada item abaixo expressa uma
conclusão válida ou não sobre o conjunto C e justifique sua resposta.
a) 5 pertence a C.
Não expressa conclusão válida. Pela premissa 2 vemos que 10 e 20 não podem pertencer
a C simultaneamente, logo 5 não pode pertencer a C (pois pela primeira premissa, se
5 ∈ C então todos os múltiplos de 5 também deveriam pertencer a C).
2
b) 10 pertence a C e 20 não pertence a C.
Não expressa conclusão válida. Observe que, por exemplo, o conjunto A = {20} satisfaz
todas as premissas dadas. Logo não podemos concluir que 10 pertence a C nem que
20 não pertence (e muito menos que estas duas coisas acontecem simultaneamente).
c) 3 não pertence a C.
Conclusão válida. Conforme já vimos no item a), 5 não pode pertencer a C. Mas pela
premissa 4, se 3 pertencer a C, 5 também tem que pertencer. Logo concluı́mos que 3
não pertence a C.
d) Existe algum elemento em C que é múltiplo de 5.
Não expressa conclusão válida. Basta observar que, por exemplo, o conjunto B = {2, 4}
satisfaz todas as premissas dadas. Logo não podemos concluir que existe em C algum
múltiplo de 5.
e) Nenhum elemento de C é múltiplo de 5.
Não expressa conclusão válida. Como já vimos no item b), por exemplo, o conjunto
A = {20} satisfaz todas as premissas dadas. Logo não podemos concluir que não existe
em C nenhum múltiplo de 5.
f) Todos os múltiplos de 5 são elementos de C.
Não expressa conclusão válida. Como já vimos no item d) não é possı́vel nem mesmo
afirmar, a partir das premissas dadas, que existe em C um múltiplo de 5. Logo não podemos de forma alguma concluir que todos os múltiplos de 5 pertencem a C (considere,
por exemplo, os conjuntos A e B já citados).
Questão 4 (2,5 pontos). Resolva as expressões:
6 4
7
2
1
1
3
7
+
× −
÷
+
+
a) − −
10 10
12 8
5 15
9 9
3
b)
15a2 − 5a 20b2
·
+ (b12 )1/3 · b−2
5ab
3a − 1
a)
=
=
=
=
=
=
=
=
7
−
10
7
−
10
7
−
10
7
−
10
7
−
10
21
−
30
21
−
30
21
−
30
21
−
30
−
−
−
−
−
−
−
−
7
6 4
2
3
1
1
+
× −
÷
+
+
10
12 8
5 15
9 9
21
6 4
1
2 1
1
+
× −
÷
+
+
5
8 8
15 15
9 9
1 3 22 6 4
÷ +
× −
5 8 15 9 9
1 8 22 2 4
× +
× −
5 3
5
9 9
8
44 4
+
−
15 45 9
8
44 20
+
−
15 45 45
8
24
+
15 45
8
8
+
15 15
b)
15a2 − 5a 20b2
·
+ (b12 )1/3 · b−2
5ab
3a − 1
5a(3a − 1) 20b2
=
·
+ b4 · b−2
5ab
3a − 1
3a − 1 20b2
·
+ b2
=
b
3a − 1
2
= 20b + b
4