(Lema de Yoneda). Sejam X e Y dois objetos de uma ca - MAT-UnB

Uma versão mais completa do lema de Yoneda é a seguinte.
Teorema (Lema de Yoneda). Sejam X e Y dois objetos de uma categoria C e sejam F : C → Set, G : C → Set definidos assim: F (A) =
HomC (X, A) (resp. F (A) = HomC (A, X)), G(A) = HomC (Y, A) (resp.
G(A) = HomC (A, Y )) e se ϕ : A → B é um morfismo em C pomos
F (ϕ) : F (A) → F (B), F (ϕ)(f ) = ϕ ◦ f (resp. F (ϕ) : F (B) → F (A),
F (ϕ)(f ) = f ◦ ϕ) e G(ϕ) : G(A) → G(B), G(ϕ)(f ) = ϕ ◦ f (resp. G(ϕ) :
G(B) → G(A), G(ϕ)(f ) = f ◦ ϕ). Se trata de funtores covariantes (resp.
contravariantes).
F ∼
= G se e somente se X ∼
=Y.
Demonstração. A ida ⇒ no caso covariante foi mostrada na aula passada. Vou mostrar a volta no caso covariante. A demonstração no caso
contravariante é analoga. Suponha então X ∼
= Y e estamos no caso covariante. Seja r : X → Y um isomorfismo. Queremos mostrar que F ∼
= G.
Seja h : F → G a transformação natural definida assim: se A ∈ Ob(C )
pomos hA : F (A) → G(A), hA (f ) = f ◦ r−1 . Se trata de um isomorfismo (de
conjuntos) cuja inversa é h−1
A (g) = g ◦ r (lembre-se que r é isomorfismo em
C ). Falta mostrar a naturalidade, ou seja, que se ϕ : A → B é um morfismo
em C então G(ϕ) ◦ hA = hB ◦ F (ϕ). Se α ∈ F (A) então G(ϕ)(hA (α)) =
G(ϕ)(α ◦ r−1 ) = ϕ ◦ α ◦ r−1 , e hB (F (ϕ)(α)) = hB (ϕ ◦ α) = ϕ ◦ α ◦ r−1 . Seja C uma categoria, seja I uma famı́lia de
Q indices e seja Xi um
` objeto
de C para todo i ∈ I. Lembre-se que produto i∈I Xi e coproduto i∈I Xi ,
se existirem, são objetos que verificam os isomorfismos funtoriais em X ∈
Ob(C ) seguintes.
Y
Y
HomC (X,
Xi ) ∼
HomC (X, Xi ),
=
i∈I
i∈I
a
Y
HomC ( Xi , X) ∼
HomC (Xi , X).
=
i∈I
i∈I
Se trata de construções uma o dual da outra, de fato na categoria C op cujos
objetos são os objetos de C e HomC op (A, B) = HomC (B, A) o que é um
produto em C vira coproduto em C op e vice-versa.
Proposição. Seja F : C → D um funtor. Se F é equivalência covariante de categorias então F leva produtos para produtos e coprodutos para
coprodutos. Se F é equivalência contravariante de categorias então F leva
coprodutos para produtos e produtos para coprodutos.
Demonstração. Vou mostrar que se F é equivalência covariante leva
produtos para produtos (as outras demonstrações são analogas).
Sejam
Q
Xi objetos de C com i ∈ IQe suponha Q
de ter um produto i∈I Xi . Queremos mostrar que (∗) F ( i∈I Xi ) ∼
= i∈I F (Xi ). Lembre-se que equivalência de categorias significa que para todo objeto A, B de C a função
HomC (A, B) → HomD (F (A), F (B)) induzida por F é isomorfismo de conjuntos (em outras palavras F é inteiramente fiel - fully faithful) e para todo
1
2
Y ∈ Ob(D) existe um X ∈ C tal que F (X) ∼
= Y (em outras palavras F é
essencialmente sobrejetivo - essentially surjective). Para mostrar (∗) basta
verificar a propriedade universal, ou seja temos que mostrar que
Y
Y
HomD (Y, F ( Xi )) ∼
HomD (Y, F (Xi ))
=
i∈I
i∈I
funtorialmente em Y ∈ Ob(D). Como F é equivalência, existe X ∈ Ob(C )
com F (X) ∼
= Y assim
Y
Y
HomD (Y, F ( Xi )) ∼
= HomD (F (X), F ( Xi ))
i∈I
i∈I
∼
= HomC (X,
Y
i∈I
∼
=
Y
i∈I
Xi ) ∼
=
Y
HomC (X, Xi )
i∈I
HomD (F (X), F (Xi )) ∼
=
Y
HomD (Y, F (Xi )).
i∈I
A funtorialidade vem do fato que se trata de isomorfismos “naturais”.
SOMA DIRETA.
Na categoria C dos grupos
A é um
Q abelianos (ou dos A-módulos, onde `
anel comutativo)L
o produto i∈I Xi é o produto direto, o coproduto i∈I Xi
é a soma direta
i∈I Xi . A soma direta é o conjunto dos elementos (xi )i
do produto tais que o conjunto {i ∈ I : xi 6= 0} é finito.LAssim tendo
uma famı́lia de morfismos
P Xi → X ganhamos um morfismo i∈I Xi → X
definido por f ((xi )i ) := i∈I fi (xi ) (essa soma
L faz sentido pois é uma soma
finita!). Vice-versa, tendo um morfismo f : i∈I Xi → X temos, para todo
i ∈ I, um morfismo
fi : Xi → X obtido levando a para f (a) onde a é o
L
elemento de i∈I Xi que tem a na posição i e zero nas outras.
PRODUTO TENSORIAL.
Seja A um anel comutativo e sejam M, N dois A-módulos. O produto
tensorial T = M ⊗A N é um A-módulo com uma função bilinear g : M ×
N → T (normalmente g(m, n) é indicado com m ⊗ n) com a propriedade
(universal) que se P é um A-módulo e f : M × N → P é uma função Abilinear existe um único morfismo A-linear f 0 : T → P tal que f 0 ◦ g = f .
Em outras palavras se C é a categoria dos A-modulos temos o isomorfismo
funtorial em X
BilA (M × N, X) ∼
= HomC (M ⊗A N, X)
onde BilA (M × N, X) é o conjunto das funções A-bilineares M × N → X.
Lembre-se que todo elemento de M ⊗A N é uma combinação A-linear de
coisas do tipo m ⊗ n com m ∈ M e n ∈ N .
Agora seja A um anel comutativo e considere a categoria C das Aálgebras comutativas. Se B, C são objetos de C então em particular são Amódulos e podemos construir o produto tensorial B ⊗A C. Ele tem estrutura
3
de A-álgebra definida por (b1 ⊗ c1 )(b2 ⊗ c2 ) := (b1 b2 ) ⊗ (c1 c2 ) extendido por
A-linearidade.
Proposição. Na categoria C das A-álgebras comutativas temos
a
B
C∼
= B ⊗A C.
Em outras palavras o coproduto de dois objetos é exatamente o produto tensorial sobre A.
`
Demonstração. Temos que se B C existe verifica a propriedade universal do coproduto que é
a
HomC (B
C, X) ∼
= HomC (B, X) × HomC (C, X)
`
funtorialmente em X. Então pelo lema de Yoneda para mostrar que B C ∼
=
B ⊗A C basta mostrar que
∼ HomC (B, X) × HomC (C, X)
HomC (B ⊗A C, X) =
funtorialmente em X. Se temos f : B ⊗A C → X podemos associar a f
um par (fB , fC ) ∈ HomC (B, X) × HomC (C, X) definindo fB (b) := f (b ⊗ 1)
e fC (c) := f (1 ⊗ c). Vice-versa se β : B → X e γ : C → X temos f :
B ⊗A C → X definido por f (b ⊗ c) := β(b)γ(c) extendido por A-linearidade.
f é realmente um homomorfismo de aneis pois
f ((b1 ⊗ c1 )(b2 ⊗ c2 )) = f ((b1 b2 ) ⊗ (c1 c2 )) = β(b1 b2 )γ(c1 c2 )
= β(b1 )β(b2 )γ(c1 )γ(c2 ),
f (b1 ⊗ c1 )f (b2 ⊗ c2 ) = β(b1 )γ(c1 )β(b2 )γ(c2 )
= β(b1 )γ(c1 )β(b2 )γ(c2 )
são iguais pois β(b2 )γ(c1 ) = γ(c1 )β(b2 ) (observe que aqui a comutatividade
é essencial: essa demonstração não funcionaria se C fosse a categoria das
A-álgebras não necessariamente comutativas). Essas duas correspondências
são uma a inversa da outra e isso conclui a demonstração. A funtorialidade
vem do fato que o que fizemos são passos “naturais”.
Em geometria algebrica o coproduto entra no jogo quando se consideram
aneis de polinômios pois se k é um corpo (ou um qualquer anel comutativo
- mas falo “corpo” pois vamos trabalhar com corpos) então na categoria C
das k-álgebras comutativas temos
a
a a
k[x1 ]
k[x2 ]
...
k[xn ] = k[x1 , . . . , xn ].
Assim k[x, y] é o coproduto de k[x] e k[y] (observe que o produto de k[x] e
k[y] é o produto direto k[x] × k[y]).
`
Vamos mostrar o caso n = 2. Para mostrar que k[x, y] = k[x] k[y]
temos que mostrar que
HomC (k[x, y], X) ∼
= HomC (k[x], X) × HomC (k[y], X).
4
A f : k[x, y] → X associamos o par (f |k[x] , f |k[y] ). Vice-versa dados α :
k[x]
k[y] → X definimos f : k[x, y] → X levando P (x, y) =
P →ci Xdi e β : P
ci
di
i ai x y para
i ai α(x) β(y) . Essas associações são uma a inversa da
outra.
LOCALIZAÇÃO.
Seja A um anel comutativo e S um subconjunto multiplicativamente
fechado de A com 1 ∈ S. Defina ≡ em A × S pondo (a, s) ≡ (b, t) se e
somente se existe u ∈ S tal que (at − bs)u = 0. Se trata de uma relação de
equivalência, vamos denotar com a/s a classe de equivalência de (a, s). Seja
S −1 A := {a/s : a ∈ A, s ∈ S}.
Então S −1 A (a localização de A com respeito a S) é um anel comutativo
com unidade. As operações são
at + bs
ab
ab
a b
+ =
,
= .
s
t
st
st
st
−1
Temos o morfismo estrutural f : A → S A que leva a para a/1. Observe
que f (s) é inversı́vel em S −1 A para todo s ∈ S (o inverso de s/1 é 1/s
se s ∈ S). A propriedade universal da localização é que se g : A → X é
um homomorfismo de aneis comutativos tal que g(S) consiste em elementos
invertı́veis então existe um único homomorfismo de aneis ϕ : S −1 A → X
tal que ϕ ◦ f = g. Em outras palavras se F (X) indica o conjunto dos
homomorfismos g : A → X tais que g(S) ⊆ U (X) (onde U (X) indica o
grupo dos elementos invertı́veis de X) então
F (X) ∼
= HomC (S −1 A, X)
funtorialmente em X ∈ Ob(C ), onde C é a categoria dos aneis comutativos.
Exercı́cios.
(1) Mostre que uma equivalência contravariante de categorias leva produtos para coprodutos. Q
`
(2) Mostre que em geral A B ∼
6 A B na categoria das k-álgebras
=
comutativas (k corpo).
(3) Mostre que se k[x1 , . . . , xn ] ∼
= k[x1 , . . . , xm ] na categoria das kálgebras comutativas então n = m.
[Dica: considere Hom(k[x1 , . . . , xn ], k).]
(4) Mostre que k[x1 , . . . , xn ] pode ser interpretada como a k-álgebra
comutativa livre com n geradores (cf. a lista de exercı́cios da aula
passada para a definição de objeto livre).