Conjuntos. Livro de Gonçalves capıtulo 1 paragrafo 1. Um “conjunto

Conjuntos.
Livro de Gonçalves capı́tulo 1 paragrafo 1.
Um “conjunto” é uma coleção de objetos. Exemplos de conjuntos são
{1, 2, 3}, {a, b, c, d, e}, {x, y, z, w}.
Nessa notação a ordem não é levada em conta, assim por exemplo {1, 2, 3} =
{3, 2, 1} = {1, 3, 2}. Além disso, cada elemento é contado no máximo uma
vez, assim por exemplo {1, 1, 2, 2, 2} = {1, 2} (os conjuntos em que as repetições são permitidas são chamados de “multiconjuntos” - multiset). Os
objetos que pertencem ao conjunto A são chamados de “elementos” de A
e para dizer que a é um elemento de A escrevamos a ∈ A. Agora introduziremos algumas construções que correspondem aos conectivos lógicos
introduzidos na seção anterior.
(1) União. A ∪ B := {x : x ∈ A ou x ∈ B} (em linguagem natural: os elementos x tais que x pertence a A ou x pertence a B).
Conectivo lógico correspondente: OR. Se trata do conjunto cujos
elementos são definidos pela propriedade de pertencer a A ou a B.
Por exemplo {1, 3} ∪ {1, a, b} = {1, 3, a, b}.
(2) Interseção. A∩B := {x : x ∈ A e x ∈ B} (em linguagem natural:
os elementos x tais que x pertence a A e x pertence a B). Conectivo
lógico correspondente: AND. Se trata do conjunto cujos elementos
são definidos pela propriedade de pertencer simultaneamente a A e
a B. Por exemplo {1, 3, a, x, 8} ∩ {4, 8, u, x, 2} = {x, 8}.
(3) Complementar. Ac := {x : x 6∈ A} (em linguagem natural:
os elementos x tais que x não pertence a A). Construção lógica
correspondente: NOT. Se trata do conjunto dos cujos elementos são
definidos pela propriedade de não pertencer a A. O complementar
é construido em relação a um conjunto “maior”, por exemplo o
complementar de {1, 2} em {1, 2, 3, 4, 5} é {3, 4, 5}.
(4) Inclusão. A ⊆ B significa que “se x ∈ A então x ∈ B”. Construção lógica correspondente: ⇒ (implicação lógica). Por exemplo
a frase verdadeira “se o número natural n é divisı́vel por 4 então é
divisı́vel por 2” corresponde à inclusão
{4, 8, 12, 16, 20, 24, . . .} ⊆ {2, 4, 6, 8, 10, 12, . . .}.
Assim por exemplo {1} ⊆ {1, 2} ⊆ {1, 2, 3} e se trata de inclusões
próprias (não são igualdades).
IGUALDADE ENTRE CONJUNTOS. Se A e B são dois conjuntos, A = B significa que A ⊆ B e B ⊆ A.
Alguns exemplos notáveis de conjuntos:
(1) N = {0, 1, 2, 3, . . .} (números naturais).
(2) Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .} (números inteiros).
1
2
(3) Q = {a/b : a, b ∈ Z, b 6= 0} (números racionais).
(4) R é o conjunto dos números reais (racionais ∪ irracionais).
√
(5) C = {a + ib : a, b ∈ R} (números complexos), onde i = −1.
Temos a sequência de inclusões
N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C.
Tais inclusões são estritas (próprias), ou seja não são igualdades. Para
mostrar isso basta construir um elemento que contradiz a igualdade em
cada caso. Assim N 6= Z pois −1 ∈ Z mas −1 6∈ N (especificamente isso
mostra que Z 6⊆ N), Z 6= Q pois 3/2 ∈ Q mas 3/2 6∈ Z (especificamente isso
mostra que Q 6⊆ Z), Q 6∈ R pois π ∈ R mas π 6∈ Q (especificamente isso
mostra que R 6⊆ Q), e R 6= C pois i ∈ C mas i 6∈ R (especificamente isso
mostra que C 6⊆ R).
Vamos fazer um exemplo de demonstração com conjuntos.
Proposição. Se A, B, C são conjuntos, A∩(B ∪C) = (A∩B)∪(A∩C).
Demonstração. Para mostrar a igualdade entre os conjuntos dados
precisamos mostrar as duas inclusões.
(1) Primeira inclusão: queremos mostrar que A ∩ (B ∪ C) ⊆ (A ∩ B) ∪
(A ∩ C). Seja então x ∈ A ∩ (B ∪ C). Queremos mostrar que
x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). A nossa hipótese é que x ∈ A ∩ (B ∪ C),
ou seja x ∈ A e x ∈ B ∪ C. Daı́ sabemos que x ∈ A e pelo fato que
x ∈ B ∪ C tem dois casos possı́veis:
• Primeiro caso: x ∈ B. Nesse caso como x ∈ A temos x ∈ A∩B.
• Segundo caso: x ∈ C. Nesse caso como x ∈ A temos x ∈ A∩C.
Isso mostra que x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) e conclui essa parte.
(2) Segunda inclusão: queremos mostrar que (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ⊆
A ∩ (B ∪ C). Seja então x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). Queremos mostrar
que x ∈ A ∩ (B ∪ C). Sabemos que x ∈ A ∩ B ou x ∈ A ∩ C. Logo
temos dois casos:
• Primeiro caso: x ∈ A ∩ B. Nesse caso x ∈ A e x ∈ B. Como
B ⊆ B ∪ C temos também x ∈ B ∪ C logo x ∈ A ∩ (B ∪ C).
• Segundo caso: x ∈ A ∩ C. Nesse caso x ∈ A e x ∈ C. Como
C ⊆ B ∪ C temos também x ∈ B ∪ C logo x ∈ A ∩ (B ∪ C).
Os dois casos levam ao resultado que queremos, logo a demostração
desse item é terminada.
A demonstração é terminada.
O simbolo ⇔ é lido “se e somente se” e é definido por ⇐ ∧ ⇒ (ou seja,
se e somente se significa que as duas implicações valem simultaneamente).
Proposição. Sejam A e B dois conjuntos. Então A ⊆ B ⇔ A∪B = B.
Demonstração. Mostraremos as duas implicações.
3
(1) Primeira implicação: A ⊆ B ⇒ A ∪ B = B. Suponha então A ⊆ B.
Queremos mostrar que A ∪ B = B. Para mostrar essa igualdade
entre conjuntos precisamos mostrar as duas inclusões.
• Primeira inclusão: A ∪ B ⊆ B. Seja então x ∈ A ∪ B. Precisamos mostrar que x ∈ B. Tem dois casos: x ∈ A ou x ∈ B. No
segundo caso x ∈ B e acabou, no primeiro caso x ∈ A e como
A ⊆ B (que é a nossa hipótese) segue x ∈ B e acabou.
• Segunda inclusão: B ⊆ A ∪ B. Obvia (segue da definição de
união).
(2) Segunda implicação: A∪B = B ⇒ A ⊆ B. Suponha então A∪B =
B. Queremos mostrar que A ⊆ B. Para mostrar essa inclusão
precisamos mostrar que se x ∈ A então x ∈ B. Seja então x ∈ A,
em particular x ∈ A ∪ B (pois obviamente A ⊆ A ∪ B), mas por
hipótese A ∪ B = B logo x ∈ A ∪ B = B implica x ∈ B, como
queriamos.
A demonstração é terminada.
Existe um conjunto, chamado de “conjunto vazio”, caracterizado pela
propriedade de não conter elementos (ou de conter “zero elementos”). É
indicado por ∅. O conjunto vazio representa o “falso” pois a proposição
x ∈ ∅ é sempre falsa.
Proposição. Se A é um conjunto qualquer ∅ ⊆ A.
Demonstração. Precisamos mostrar que se x ∈ ∅ então x ∈ A. Mas
essa implicação é verdadeira (logicamente) pois a premessa x ∈ ∅ é falsa
(veja a definição de implicação lógica).
Exercı́cios.
Mostrar as proposições seguintes envolvendo os conjuntos A, B, C.
(1) A ∪ A = A.
(2) A ∩ B ⊆ A ∪ B.
(3) A ⊆ B se e somente se B c ⊆ Ac .
(4) Defina A − B = {a ∈ A : a 6∈ B} (os elementos de A que não
pertencem a B). Demonstre a versão de De Morgan em teoria de
conjuntos, ou seja A − (B ∩ C) = (A − B) ∪ (A − C).
(5) A − A = ∅.
(6) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
(7) Diga (justificando) se a igualdade seguinte é verdadeira ou falsa (se
for falsa encontre um contra-exemplo):
A − (B − C) = A − (B ∪ C).
(8) Dado um conjunto X seja P (X) = {A : A ⊆ X} (o conjunto dos
subconjuntos de X). Calcule P (∅), P ({∅}) e P ({1, 2, 3}). Se X
contem exatamente n elementos quantos elementos contem P (X)?
(9) Veja os exercı́cios do livro de Gonçalves, página 2 e 3 (paragrafo 1
do capı́tulo 1). Observe que a notação do livro para a inclusão ⊆
de conjuntos é ⊂.